Egzamin

rok 2010/2011

Zadanie 2:

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

gdzie L jest okręgiem x

2

+y

2

=R

2

zorientowanym ujemnie względem swojego wnętrza.

Rozwiązanie:

Twierdzenia Greena brzmi

następująco:

Jeżeli

1. obszar D

ᴄR

2

jest domkni

ęty i normalny względem obu osi,

2. brzeg L obszaru D jest dodatnio zorientowany,
3. pole

=[P,Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na D,

to

Obliczanie całki:

1) Sprawdzam, czy obszar D jest

domknięty i normalny względem obu osi:

x=rcos(

α)

y=rsin(

α) gdzie rЄ[0,R] αЄ[0,2π]

x'=-rsin(

α)

y'=rcos(

α)

J=

=r

2)

Aby brzeg L był dodatnio zorientowany: K=-L

3) P

x

=x

2

y

Q

y

=-xy

2

Funkcje

różniczkowalne w sposób ciągły na D

P

y

=x

2

Q

x

=-y

2

Przechodzę na współrzędne biegunowe:

=

= (

r

4

|

0

R

)(

α)

|

0

2

π

=

R

4

(2π) =

πR

4

Odpowiedź:

=

πR

4

Autor:

Weronika Rozłonkowska

grupa

10

9.12.2013