1

Egzamin maturalny z matematyki

poziom podstawowy

Czas pracy: 170 minut

W zadaniach od 1. do 26. wybierz i zaznacz jedyną poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (1 pkt)
Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.



A.

2

6

x

 

B.

6

2

x

 

C.

4

2

x

 

D.

4

2

x

 

Zadanie 2. (1 pkt)
Miesięczna opłata za parking była równa 150 zł. Po podwyżce opłaty o 20% nowa
wysokość opłaty to
A. 152

zł. B.

153

zł. C.

170

zł. D.

180

zł.

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba

5

4

4

7

7



jest równa

A.

5

16

7

. B.

1

7

. C.

3
2

7

. D.

5

7

.

Zadanie 4. (1 pkt)
Liczba

6

6

log 18 log 3



jest równa

A.

1
2

. B.

1. C.

6

log 15

. D.

6

log 21

.

Zadanie 5. (1 pkt)

Dziedziną wyrażenia

2

2

x

x



jest suma przedziałów

A.



 



; 2

2;







.

B.



 



; 2

2;

    

.

C.



 

 



; 2

2;0

0;

   





.

D.



   



;0

0; 2

2;









.

Zadanie 6. (1 pkt)

Rozwiązaniem nierówności

2

2

3

x

x



 

jest przedział

A.





; 4

 

. B.





; 2

 

. C.





2;

 

. D.





4;

 

.

x

6

x

0

2

2

Zadanie 7. (1 pkt)

Wyrażenie

10

6

2

x



jest równe

A.

10

3

x



. B.

5

6

x



. C.

5

3

x



. D.

5

6

2

x



.

Zadanie 8. (1 pkt)

Wskaż liczbę przeciwną do

x

, gdy

2

:1

2

3

x



A.

10

3



B.

3

10

C.

6
5

D.

6
5



Zadanie 9. (1 pkt)

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej

  



2

3

f x

m

x







. Wynika stąd, że

A.

5

m

 

. B.

1

m

 

. C.

1

m



.

D.

5

m



.

Zadanie 10. (1 pkt)

Z faktu, że funkcja liniowa

  



3

4

f x

m

x







jest malejąca wynika, że

A.





; 3

m

  

. B.

3

m

 

. C.

4

m



. D.





4;

m





.

Zadanie 11. (1 pkt)

Funkcja

f

jest określona wzorem

 

2

4 dla

2

5 dla

2

x

x

f x

x

x



 



 



 



.

Liczba miejsc zerowych funkcji

f

jest równa

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Zadanie 12. (1 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej

 

2

6

11

f x

x

x







jest parabola. Prosta, która jest osią

symetrii tej paraboli ma równanie

A.

6

x

 

. B.

3

x

 

. C.

3

x



. D.

6

x



.

Zadanie 13. (1 pkt)

Wykres funkcji kwadratowej

 





2

7

5

3

f x

x

 





ma dwa punkty wspólne z prostą

o równaniu

A.

8

y



. B.

6

y



. C.

4

y



. D.

2

y



.

3

Zadanie 14. (1 pkt)

Do zbioru rozwiązań nierówności







7

4

0

x

x







należy liczba

A. 5.

B. 1.

C. –1.

D. –5.

Zadanie 15. (1 pkt)

Iloczyn wszystkich rzeczywistych pierwiastków równania













2

4

2

5

9

0

x

x

x

x











jest równy
A. –360.

B. –40.

C. 40.

D. 360.

Zadanie 16. (1 pkt)

Ciąg trójwyrazowy





4, 2 , 9

x

jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wynika stąd, że

A.

2,5

x



. B.

3

x



. C.

3,5

x



. D.

4

x



.

Zadanie 17. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym

 

n

a

dane są

3

8

a



i

6

2

a



. Różnica tego ciągu jest równa

A. 6.

B. 2.

C. –2.

D. –6.

Zadanie 18. (1 pkt)

Dane są długości boków

8

AC



i

4

BC



trójkąta prostokątnego

ABC

o kącie ostrym



(patrz rysunek). Wtedy

A.

8

tg

82





. B.

4

tg

82





. C.

tg

2





. D.

1

tg

2





.

Zadanie 19. (1 pkt)

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów w równoległoboku jest równa

80



. Kąt rozwarty

tego równoległoboku ma miarę

A.

120



. B.

125



. C.

130



. D.

135



.

Zadanie 20. (1 pkt)

Promień koła opisanego na kwadracie jest równy

8 cm

. Wynika stąd, że pole tego

kwadratu jest równe

A.

2

16cm

. B.

2

64cm

. C.

2

128cm

. D.

2

256cm

.

A C

B

8

4

α

4

Zadanie 21. (1 pkt)

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o równaniu

2

3

y

x





jest

równy

A. 2.

B.

2



. C.

1
2

. D.

1
2



.

Zadanie 22. (1 pkt)

Punkty





3, 4

A

 

,





5, 2

B





są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu

ABCD

. Promień

koła wpisanego w ten kwadrat jest równy

A. 5.

B.

5 2

. C.

10. D.

10 2

.

Zadanie 23. (1 pkt)

Środek okręgu o równaniu

2

2

4

6

2010 0

x

y

x

y











ma współrzędne

A.





4, 6

S





. B.





4, 6

S

 

. C.





2, 3

S





. D.





2,3

S

 

.

Zadanie 24. (1 pkt)
Graniastosłup ma 10 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest
równa
A. 20.

B. 18.

C. 15.

D. 9.

Zadanie 25. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna pięciu liczb, z których pierwsza jest równa 3, a każda następna
jest o 2 większa od poprzedniej jest równa

A. 6.

B. 7.

C. 8.

D. 9.

Zadanie 26. (1 pkt)

Ze zbioru liczb





1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

wybieramy losowo jedną liczbę. Jeśli

p

oznacza

prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3, to

A.

1
4

p



. B.

1
4

p



. C.

1
3

p



. D.

1
3

p



.

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność

2

2

15 0

x

x







.

Zadanie 28. (2 pkt)

Rozwiąż równanie

3

2

3

4

12 0

x

x

x









.

5

Zadanie 29. (2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

prawdziwa jest równość

6

3

64 16

x

x





.

Zadanie 30. (2 pkt)

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej

 

2

6

11

f x

x

x







w przedziale

0;1

.

Zadanie 31. (2 pkt)

Punkt

E

leży na boku

BC

prostokąta

ABCD

,

E B



i

E C



(zobacz rysunek).

Wykaż, że

BAE

EDC

AED











.

Zadanie 32. (2 pkt)

Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość

CD

trójkąta

ABC

, gdy

 

1, 6

A



,

 

3,8

B



,





1,3

C

 

.

Zadanie 33. (4 pkt)

Dane są punkty

 

0, 0

A



,

 

4, 6

B



,





12, 8

C





. Wykaż, że trójkąt

ABC

jest

prostokątny i wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 34. (4 pkt)
Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego jest
równa 12. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej 5, a do trzeciej 20,
to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

Zadanie 35. (4 pkt)
Wysokość walca jest o 6 dłuższa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni

całkowitej jest równe

378 .



Oblicz objętość tego walca.

A

B

C

D

E

6

ODPOWIEDZI

Nr

zadania 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0

1
1

1
2

1
3

1
4

1
5

1
6

1
7

1
8

1
9

2
0

2
1

2
2

2
3

2
4

2
5

2
6

Odpowiedź C D C B B D C A C A C B D A B B C D C C D A D C B B

Zadanie 27.

2

2

15 0

x

x







1

3

x

 

,

2

5

x







; 3

5;

x

   



Odpowiedź:





; 3

5;

x

   



.

Zadanie 28.

3

2

3

4

12 0

x

x

x











 



2

3

4

3

0

x x

x

 













2

3

4

0

x

x















3

2

2

0

x

x

x









1

3

x

 

,

2

2

x

 

,

3

2

x



Odpowiedź:

1

3

x

 

,

2

2

x

 

,

3

2

x



Zadanie 29.
Przekształcamy nierówność równoważnie:





2

6

3

6

3

3

64 16

16

64 0

8

0

x

x

x

x

x











 





.

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej

x

.

Zadanie 30.

2

-1

1

2

3

4

5

6

7

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

x

y

Funkcja kwadratowa

 

2

6

11

f x

x

x







przyjmuje najmniejszą wartość dla

3

x



,

a w przedziale

0;1

jest malejąca.

Wynika stąd, że najmniejszą wartością

funkcji

f

w przedziale

0;1

jest

 

1

6

f



.

Odpowiedź:

 

1

6

f



.

7

Zadanie 31.

Przedłużamy prostą

DE

do przecięcia z prostą

AB

w punkcie

F

.

EFB

EDC







– kąty naprzemianległe

Kąt

AED

jest kątem zewnętrznym trójkąta

AFE

, stąd

AED

BAE

BFE

BAE

EDC



















.

Zadanie 32.

Prosta zawierająca wysokość

CD

trójkąta

ABC

, to prosta prostopadła do prostej

AB

,

przechodząca przez punkt

C

. Prosta

AB

ma równanie

5

y x

 

, a prosta zawierająca

wysokość

CD

ma równanie

2

y

x

  

.

Odpowiedź:

2

y

x

  

.

Zadanie 33.

2

52

AB



,

2

208

AC



,

2

260

BC



, stąd

2

2

2

AB

AC

BC





Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt

ABC

jest prostokątny, a odcinek

BC

jest jego przeciwprostokątną. Środek okręgu

opisanego na trójkącie prostokątnym, to środek przeciwprostokątnej, a promień

R

to połowa długości przeciwprostokątnej.





8, 1

S





,

2

65

R



Równanie okręgu jest następujące



 



2

2

8

1

65

x

y









.

Odpowiedź: Równanie okręgu opisanego na trójkącie

ABC

jest postaci



 



2

2

8

1

65

x

y









.

Zadanie 34.
Kolejne trzy wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci





,

,

2

a a r a

r





, gdzie

0

r



. Z warunku

2

12

a a r a

r

   



wynika, że

4

a r

 

i ciąg

arytmetyczny jest postaci





4

, 4, 4

r

r





oraz

0

r



.

A

B

C

D

E

F

α

α

8

Ciąg



 



4

2, 4 5, 4

20

6

, 9, 24

r

r

r

r

 



 







jest geometryczny, możemy więc

zapisać równanie (z własności ciągu geometrycznego):







2

9

6

24

r

r







, czyli

2

18

63 0

r

r







, które ma dwa rozwiązania

1

21

r

 

,

2

3

r



.

Druga odpowiedź, czyli

2

3

r



spełnia warunki zadania i liczby będące wyrazami ciągu

arytmetycznego to 1, 4, 7.
Odpowiedź: 1, 4, 7.

Zadanie 35.

Oznaczmy:

r

– promień podstawy walca,

h

– wysokość walca, wtedy

2

6

h

r





Pole powierzchni całkowitej

C

P

tego walca zapisujemy następująco:





2

2

2

2

6

C

P

r

r

r













.

Z warunków zadania zapisujemy równanie z niewiadomą

r

:





2

2

2

2

6

378

r

r

r















, oraz

0

r



.

Po wykonaniu przekształceń otrzymujemy równanie

2

2

63 0

r

r







, którego

rozwiązaniami są liczby

1

9

r

 

;

2

7

r



. Pierwsza liczba nie spełnia warunków zadania,

więc promień podstawy

7

r



, a wysokość walca

20

h



.

Obliczamy objętość

V

walca:

2

980

V

r h









.

Odpowiedź:

2

980

V

r h







