1

CAŁKA KRZYWOLINIOWA

Def

Krzywą o równaniu parametrycznym

  

  

 gdzie   , nazywamy łukiem gładkim, jeżeli

różnym wartościom parametru t odpowiadają różne punkty krzywej i jeżeli istnieją ciągłe pochodne





, 



, które w żadnym punkcie nie są na raz równe 0.

Jeżeli krzywa daje się przedstawić jako suma skończonej liczby łuków gładkich, to nazywamy ją krzywą
regularną.

Def

Każdemu łukowi

  

  

 dla  , można nadać jedną z dwóch orientacji (kierunków). Punkt

 ,   możemy ustalić jako początek, zaś ,  za koniec łuku, albo na odwrót. W pierwszym
przypadku kierunek łuku jest zgodny ze wzrostem parametru t. Mówimy, że łuk jest zorientowany
dodatnio. W drugim przypadku, mówimy że łuk jest zorientowany ujemnie.

Całka krzywoliniowa nieskierowana

Def

Niech f(x,y) będzie funkcją określoną w każdym punkcie (x,y) krzywej regularnej K. Krzywą K rozcinamy
na n kolejnych krzywych K

1

, K

2

, …, K

n

. Liczbę

∆



, ∆



, … , ∆



 nazywamy normą podziału

(

∆



,   1,2, … ,  długości tych krzywych). Na każdej krzywej K

i

wybieramy jeden punkt





, 



.

Jeżeli granica

lim

!"

∑ $



, 



∆





%

(przy normie podziału dążącej do 0) jest liczbą i nie zależy od

sposobu podziału K na fragmenty K

i

ani od wyboru punktów





, 



, to nazywamy ją całką krzywoliniową

niezorientowaną (lub całką krzywoliniową nieskierowaną) z funkcji f(x,y) po krzywej K i oznaczamy

symbolem

& $, '(

)

.

Interpretacja geometryczna całki krzywoliniowej niekierowanej

1.

Niech

$ * 1 na K.

Wtedy

∫

=

K

K

dl

- długość krzywej K.

2.

Niech K – krzywa płaska,

.

0

),

(

>

∈

f

K

C

f

Wtedy

∫

K

dl

y

x

f

)

,

(

- pole części powierzchni walcowej

znajdujące się pod wykresem funkcji f (rys).

Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej nieskierowanej

1.

Jeśli

+ - gęstość liniowa masy rozmieszczonej wzdłuż

krzywej K, to

∫

K

dl

ρ

- masa krzywej K o zmiennej gęstości.

2.

Jeśli d – funkcja określającą odległość punktu krzywej K od pewnej prostej, to

∫

K

dl

d

ρ

2

- moment bezwładności krzywej K względem tej prostej.

x

y

z

z=f(x,y)

K

2

Tw

Zachodzą następujące własności:

1.

& ,$, '(  ,

)

& $, '(

)

dla dowolnej stałej λ

2.

& -$,  . /, 0'( 

)

& $, '( . & /, '(

)

)

3.

Jeżeli krzywa K jest rozcięta w pewnym punkcie na dwie krzywe K’ oraz K”, to

& $, '( 

)

& $, '(

)

. & $, '(

)"

Tw (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną)

Niech K będzie łukiem gładkim

  

  

 dla  . Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze

otwartym zawierającym łuk K, to

(

)

dt

t

y

t

x

t

y

t

x

f

ds

y

x

f

K

)

(

)

(

)

(

),

(

)

,

(

2

2

+

=

∫

∫

β

α

.

Uwaga

Jeśli K będzie łukiem gładkim

2

  

  

3  3



dla

 ,

to

∫

∫

+

+

⋅

=

K

dt

t

z

t

y

t

x

t

z

t

y

t

x

f

ds

z

y

x

f

β

α

)

(

)

(

)

(

))

(

),

(

),

(

(

)

,

,

(

2

'

2

'

2

'

Wniosek

Jeżeli krzywa K jest określona równaniem

   dla   4 , to powyższy wzór przyjmuje postać.

(

)

.

)

(

1

)

(

,

)

,

(

2

'

dx

x

y

x

y

x

f

dl

y

x

f

b

a

K

+

⋅

=

∫

∫

Całka krzywoliniowa skierowana

Def

Definicja

całki krzywoliniowej zorientowanej (skierowanej) jest szczególnym przypadkiem definicji całki

krzywoliniowej niezorientowanej.
Zakładamy, że w każdym punkcie (x,y) krzywej regularnej zorientowanej (dodatnio lub ujemnie) K

zaczepiony jest pewien wektor

56,   -7, , 8, 0. Wówczas

9 $, '( 

)

9 7, ' . 8, '

)

Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej skierowanej – to praca wykonana zmienną siłą

56,   -7, , 8, 0 na krzywej ( na drodze) K.

Własność
Oznaczmy przez – K krzywą różniącą się od krzywej K jedynie orientacją. Wtedy

9 7, ' . 8, '

:)

  9 7, ' . 8, '

)

Uwaga

Jeżeli

56, , 3  -7, , 3, 8, , 3, ;, , 30, wówczas & $, , 3'( 

)

& 7, , 3' . 8, , 3' . ;, , 3'3

)

3

Tw (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną)

Jeżeli funkcje

7, , 8,  są ciągłe wzdłuż dodatnio zorientowanej krzywej regularnej
  

  



dla

 , to

9 7, ' . 8, '

)

 9<7=, >? . 8=, >?@

A

B

'

Uwaga

Jeśli

2

  

  

3  3



dla

 ,

to

9 7, , 3' . 8, , 3' . ;, , 3'3

)

 9<7=, , 3>



 . 8=, , 3>



 . ;=, , 3>3



@

A

B

'

Wniosek

Dla krzywej K o równaniu

   dla   4, powyższy wzór przyjmuje postać.

9 7, ' . 8, '

)

 9<7=, > . 8=, >?@

C

D

'

Tw (Greena)
Niech K - krzywa płaska zamknięta zorientowana dodatnio i ograniczająca obszar jednospójny D,
P, Q -

funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D i na brzegu K.

P x y dx

Q x y dy

Q

x

P

y

dxdy

K

D

( , )

( , )

+

=

−











+

∫

∫∫

∂

∂

∂

∂