Arkusz nr. 6
Funkcja uwikªana i caªki krzywoliniowe

Zad. 1

Obliczy¢ y

0

dla funkcji uwikªanej okre±lonej nast¦puj¡cymi równaniami:

(a) x

2

+ y

3

+ xy

5

+ 1 = 0

,

(b) x

2

+ ln y − 2x = 0

,

(c) ln

√

x

2

+ y

2

=

arctg

y
x

,

(d) x

2

+ 2xy − y

2

= e.

Zad. 2

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe nieskierowane:

(a)

Z

L

y

√

3 + x dl

, gdzie L jest odcinkiem o ko«cach A(−2, 2), B(1, −1),

(b)

Z

L

y

2

x

2

dl

, gdzie L = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

= 4}

,

(c)

Z

L

(x+y) dl

, gdzie L jest obwodem trójk¡ta o wierzchoªkach A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1)

(d)

Z

L

x

2

y dl

, gdzie L jest cz¦±ci¡ okr¦gu o ±rodku w punkcie (0, 0) i dodatnim pro-

mieniu r, le»¡c¡ w pierwszej ¢wiartce ukªadu wspóªrz¦dnych.

Zad.3

Obliczy¢ mas¦ m ªuku K, którego g¦sto±¢ liniowa jest równa

ρ(x, y) =

√

x,

je±li K jest ªukiem paraboli o równaniu

y

2

= x,

dla y ∈ [−1, 1].

Zad. 4

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe skierowane:

(a)

Z

L

(2x + 3y) dx + (y − 1) dy

, gdzie L = {(x, y) : x = t, y = t

2

, t ∈ [0, 2]}

jest

skierowana zgodnie ze wzrostem parametru t,

(b)

Z

L

y ln(x − y) dx − 3y

2

dy

, gdzie L jest odcinkiem o pocz¡tku (1, 0) i ko«cu

(−1, −2)

,

1

(c)

Z

L

y dx −

x

√

x

2

+ y

2

dy

, gdzie L jest dodatnio skierowanym okr¦giem o równaniu

x

2

+ y

2

= 1

,

(d)

Z

L

(3x

2

− y) dx + x dy

, gdzie L jest ªukiem elipsy

x

2

4

+ y

2

= 1

zawartym w

póªpªaszczy¹nie y ­ 0, o pocz¡tku (−2, 0) i ko«cu (2, 0).

Zad. 5

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:

(a)

Z

L

(xy

2

+ e

−x

) dx + (x

2

y − e

−x

) dy

, gdzie L jest dodatnio skierowanym brzegiem

obszaru D = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

− x ¬ y ¬ 5x − x

2

}

,

(b)

Z

L

(x

2

+ y) dx + 4xy dy

, gdzie L jest dodatnio skierowanym okr¦giem o równaniu

x

2

+ y

2

= 2

,

(c)

Z

L

(x

2

−

√

1 + x

2

) dx + (x

2

y +

q

1 + y

2

) dy

, gdzie L jest dodatnio skierowanym

okr¦giem o równaniu x

2

+ y

2

− y = 0.

Zad. 6

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:

(a)

Z

(3,−5)

(−1,3)

(2x + y) dx + (x + 2y) dy

,

(b)

Z

(2,3)

(0,1)

(x + y) dx + (x − y) dy

,

(c)

Z

(0,1)

(0,−1)

2xy

1 + x

2

dx + (2y + ln(1 + x

2

)) dy

,

(d)

Z

(1,2)

(1,0)

x

x

2

+ y

2

dx +

y

x

2

+ y

2

dy

, wzdªu» drogi nie przechodz¡cej przez pocz¡tek

ukªadu wspóªrz¦dnych.

Zad. 7

Obliczy¢ prac¦ siªy

−

→

F (x, y)

na ªuku L zorientowanym zgodnie ze wzrostem parametru

x

, je±li

−

→

F (x, y) = [xy, x],

L = {(x, y) : y = x

3

, x ∈ [−1, 1]}.

2