Arkusz nr 7

Całki potrójne i powierzchniowe

Zadanie 1.

Obliczyć całki potrójne:

a)

RRR

V

dxdydz, jeśli

V = {(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

6 4}

b)

RRR

V

dxdydz, jeśli

V jest ostrosłupem, którego wysokość jest równa 4 cm, natomiast pole

podstawy wynosi 9 cm

2

.

c)

RRR

V

dxdydz, jeśli

V = {(x, y, z) ∈ R

3

: 0 6 x 6 2, 1 6 y 6 4, 2 6 z 6 7}.

Zadanie 2.

Obliczyć całki potrójne:

a)

RRR

V

(x − 2z)dxdydz, jeśli V = {(x, y, z) ∈ R

3

: 0 6 z 6 4x ∧ (x, y) ∈ D}, gdzie D jest trójkątem

ograniczonym prostymi y = x, y = 2 − x, y = 0.

(Rozwiązanie: „Matematyka 2” K.Dobrowolska i inni, rozdział III.8)

b)

RRR

V

3zdxdydz, jeśli

V = {(x, y, z) ∈ R

3

: −1 6 x 6

py

2

+ z

2

∧ (y, z) ∈ D},

gdzie

D = {(y, z) ∈ R

2

: y

2

+ z

2

6 16 ∧ y > 0 ∧ z > 0}.

(Rozwiązanie: „Matematyka 2” K.Dobrowolska i inni, rozdział III.8)

c)

RRR

V

z

2

dxdydz, gdzie V jest kulą domkniętą x

2

+ y

2

+ z

2

6 9.

(Rozwiązanie: „Matematyka dla studentów Politechnik” A.Just i inni, rozdział 12)

d)

RRR

V

(x

2

+ y

2

+ z

2

)dxdydz, gdzie V jest bryłą ograniczoną powierzchniami x + y + z = 1, x = 0,

y = 0, z = 0.

(Rozwiązanie: „Matematyka dla studentów Politechnik” A.Just i inni, rozdział 12)

Zadanie 3.

Obliczyć masę bryły określonej nierównościami: x

2

+ y

2

+ z

2

6 1, x > 0, y > 0, jeśli

gęstość w dowolnym punkcie (x, y, z) jest równa ρ(x, y, z) = x

2

+ y

2

.

(Rozwiązanie:: „Matematyka 2” K.Dobrowolska i inni, rozdział III.8)

Zadanie 4.

Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane:

a)

RR

S

(z + 2x +

4
3

y)dS, gdzie

S :

x

2

+

y
3

+

z
4

= 1, x > 0, y > 0, z > 0.

(Odpowiedź: 4

√

61)

b)

RR

S

(x

2

+ y

2

)dS, gdzie

S : z = 2 − (x

2

+ y

2

), z > 0.

(Odpowiedź:

149π

30

)

c)

RR

S

(x

2

+ y

2

)dS, gdzie

S jest powierzchnią bryły określonej nierównością:

px

2

+ y

2

6 z 6 1.

(Odpowiedź:

π

2

(1 +

√

2))

Zadanie 5.

Obliczyć masę powierzchni S : z =

1
2

(x

2

+ y

2

), z ∈< 0, 1 >, której gęstość

powierzchniowa jest równa ρ(x, y, z) = z.

(Odpowiedź:

2π

15

(6

√

3 + 1))

Zadanie 6.

Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane:

a)

RR

S

xydydz + yzdxdz + xzdxdy, gdzie S jest górną stroną płaszczyzny x + y + z = 1, dla

x > 0, y > 0, z > 0.

(Odpowiedź:

1
8

)

b)

RR

S

xdydz + ydxdz + zdxdy, gdzie S jest zewnętrzną stroną dolnej półsfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 1, z 6 0.

(Odpowiedź: 2π)