Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 3)

P

RZYKŁADY FUNKCJONAŁÓW DWULINIOWYCH

1.

Które z wymienionych funkcji s ˛

a formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych:

(a)

β

(x, y) = x

T

· y, gdzie x, y ∈ K

n

za´s K jest ciałem;

(b)

β

(x, y) = x · y

T

, gdzie x, y ∈ K

n

za´s K jest ciałem;

(c)

β

(A, B) = tr (AB), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;

(d)

β

(A, B) = tr (AB − BA), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;

(e)

β

(A, B) = AB, gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;

(f)

β

(A, B) = tr (A + B), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;

(g)

β

(A, B) = tr (AB

T

), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;

(h)

β

(x, y) = Re (xy), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛

a nad R;

(i)

β

(x, y) = Re (x ¯

y), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛

a nad R;

(j)

β

(x, y) = Im (x ¯

y), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛

a nad R;

(k)

β

(x, y) = |xy|, gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛

a nad R;

(l)

β

( f , g) =

R

b

a

f gdx, gdzie f , g s ˛

a funkcjami ci ˛

agłymi na przedziale [a, b];

(m)

β

( f , g) =

R

b

a

( f + g)

2

dx, gdzie f , g s ˛

a funkcjami ci ˛

agłymi na przedziale [a, b];

(n)

β

( f , g) =

R

b

a

f g

0

dx, gdzie f , g s ˛

a funkcjami ró˙zniczkowalnymi oraz f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0;

(o)

β

( f , g) = ( f g)(a), gdzie f , g ∈ K[X ] oraz a ∈ K;

(p)

β

( f , g) = deg( f g), gdzie f , g ∈ K[X ].

W przypadku, gdy

β

jest funkcjonałem dwuliniowym zbadaj, czy jest on symetryczny, sko´snie symetryczny lub

alternuj ˛

acy.

2.

W sko´nczenie wymiarowych przestrzeniach dwuliniowych z poprzedniego zadania wybra´c baz˛e i znale´z´c macierz
funkcjonału dwuliniowego w tej bazie.

3.

Niech C(a, b) b˛edzie przestrzeni ˛

a funkcji ci ˛

agłych na odcinku (a, b) za´s G(x) b˛edzie ustalon ˛

a funkcj ˛

a na odcinku

(a, b) na C(a, b). Wykaza´c, ˙ze odwzorowanie

β

( f , g) =

R

b

a

G(x) f (x)g(x) dx jest form ˛

a dwuliniow ˛

a.

4.

Wykaza´c, ˙ze wielomiany Legendre’a

P

0

(x) = 1,

P

k

(x) =

1

2

k

k!

d

k

dx

k

[(x

2

− 1)

k

],

k = 1, 2, . . . , n

tworz ˛

a baz˛e ortogonaln ˛

a w przestrzeni euklidesowej (R

n

[X ],

β

), gdzie

β

( f , g) =

R

1

−1

(x)g(x) dx.

5.

W przestrzeni liniowej C(0, 2

π

) wszystkich funkcji ci ˛

agłych okre´slonych na przedziale (0, 2

π

) funkcjonał dwuli-

niowy okre´slony jest wzorem

β

( f , g) =

Z

2

π

0

f g dx.

Niech

F

b˛edzie podprzestrzeni ˛

a przestrzeni C(0, 2

π

) generowan ˛

a przez zbiór {cos nx, sin nx : n ∈ Z} (elementy

przestrzeni

F

nazywamy wielomianami Fouriera).

Wyka˙z, ˙ze układ funkcji

(

1

√

2

π

,

1

√

π

cos nx,

1

√

π

sin nx : n ∈ N)

jest baz ˛

a ortonormaln ˛

a przestrzeni

F

oraz, ˙ze współrz˛edne a

0

, a

1

, b

1

, a

2

, b

2

, . . . funkcji f ∈

F

w tej bazie wyra˙zaj ˛

a

si˛e wzorami:

a

0

=

1

√

2

π

Z

2

π

0

f (x) dx, a

n

=

1

√

π

Z

2

π

0

f (x) cos nx dx, b

n

=

1

√

π

Z

2

π

0

f (x) sin nx dx, n = 1, 2, . . .

(współrz˛edne te nazywamy współczynnikami Fouriera tej funkcji).

6.

Niech (

Ω

, P) b˛edzie przestrzeni ˛

a probabilistyczn ˛

a oraz F(

Ω

) przestrzeni ˛

a zmiennych losowych okre´slonych na tej

przestrzeni. Wykaza´c, ˙ze funkcja

β

(X ,Y ) = E(XY ) jest funkcjonałem dwuliniowym na F(

Ω

) (tutaj E(Z) oznacza

warto´s´c oczekiwan ˛

a zmiennej losowej Z). W przypadku, gdy

Ω

jest zbiorem sko´nczonym znale´z´c WKW na to aby

funkcjonał

β

był dodatnio okre´slony.

7.

Wykaza´c, ˙ze rodzina P(X ) podzbiorów zbioru X z ró˙znic ˛

a symetryczn ˛

a (jako dodawaniem) i naturalnym mno˙ze-

niem przez elementy ciała F

2

jest przestrzeni ˛

a liniow ˛

a nad F

2

. Sprawd´z, ˙ze odwzorowanie

β

(A, B) = |A ∩ B| mod 2

jest funkcjonałem dwuliniowym na tej przestrzeni.

3