Strona 1 z 9

METODA TRZECH MOMENTÓW

Metoda trzech momentów słu

ż

y do rozwi

ą

zywania belek ci

ą

głych statycznie niewy-

znaczalnych.
Za belk

ę

ci

ą

gł

ą

statycznie niewyznaczaln

ą

uwa

ż

amy belk

ę

, która spełnia nast

ę

puj

ą

-

ce warunki:

1) nie ma przegubów po

ś

rednich,

2) jest podparta na wi

ę

cej ni

ż

dwóch po

ś

rednich podporach przegubowych,

3) jest dowolnie podparta na ko

ń

cach,

4) tylko jedna podpora jest nieprzesuwna, a pozostałe podpory s

ą

przesuwne,

5) obci

ąż

enie tych belek wraz z reakcjami podpór stanowi

ą

płaski układ sił

równoległych (obci

ąż

enie prostopadłe do osi belki).

Stopie

ń

statycznej niewyznaczalno

ś

ci takiej belki ci

ą

głej, zgodnie z powy

ż

szymi za-

ło

ż

eniami, mo

ż

emy obliczy

ć

ze wzoru:

SSN=r-2

, (1)

gdzie:

r

- to liczba podpór belki ci

ą

głej.

Odrzucenie

r-2

podpór (wi

ę

zów - czyli 2 podpór przegubowo przesuwnych), przy

powy

ż

szych zało

ż

eniach, daje układ statycznie wyznaczalny.

Przy zało

ż

eniu,

ż

e działa tylko obci

ąż

enie prostopadłe do osi belki nie wyst

ę

puje reakcja pozioma (jest

tylko jedna podpora nieprzesuwna ale reakcja pozioma jest równa zeru, zało

ż

enie 5), we wzorze wy-

starczy od liczby podpór odj

ąć

2

, aby uzyska

ć

liczb

ę

wyra

ż

aj

ą

c

ą

SSN. Podobnie b

ę

dzie, gdy na układ

b

ę

d

ą

działały obci

ąż

enia pod k

ą

tem < 90

0

, poniewa

ż

zgodnie z zało

ż

eniem,

ż

e w belce ci

ą

głej jest

tylko jedna podpora nieprzesuwna, to wła

ś

nie ona przejmie całe obci

ąż

enie zrzutowane na o

ś

belki.

Układ podstawowy metody trzech momentów przyjmujemy w postaci szeregu belek
wolnopodpartych, poł

ą

czonych nad podporami przegubami, obci

ąż

onych danymi si-

łami zewn

ę

trznymi oraz momentami podporowymi

X

i

.

Momenty podporowe

X

i

re-

kompensuj

ą

, zlikwidowan

ą

przez wprowadzone nad podporami przeguby, ci

ą

gło

ść

belki.
Aby sprowadzi

ć

belk

ę

ci

ą

gł

ą

o dowolnej liczbie prz

ę

seł (rys. 1) do układu podstawo-

wego nale

ż

y wprowadzi

ć

przeguby w przekrojach podporowych (rys. 2).

Rys. 1: Belka ci

ą

gła statycznie niewyznaczalna o dowolnej liczbie prz

ę

seł

Wielko

ś

ciami nadliczbowymi b

ę

d

ą

momenty podporowe

X

k

nad podporami po

ś

red-

nimi, a tak

ż

e moment utwierdzenia, o ile w belce ci

ą

głej statycznie niewyznaczalnej

podpor

ą

nieprzesuwn

ą

b

ę

dzie utwierdzenie ko

ń

ca belki. Zwroty momentów

X

k

(nadliczbowych) przyjmujemy najcz

ęś

ciej tak, aby wyginały belki ku dołowi (rozci

ą

ga-

ły dolne włókna - momenty dodatnie). Schemat podstawowy takiej belki przedstawia
rys. 2.

Strona 2 z 9

−

k

l

długo

ść

rzeczywista pr

ę

ta „

k

”,

−

'

k

l

długo

ść

sprowadzona pr

ę

ta „

k

”,

−

o

EJ

sztywno

ść

porównawcza,

−

k

EJ

sztywno

ść

rzeczywista prz

ę

sła „

k

”,

k

k

o

k

l

EJ

EJ

l

=

'

(1)

Rys. 2: Schemat podstawowy belki (metoda trzech momentów)

Przy zało

ż

eniach takich,

ż

e:

1. rozpatrujemy belki ci

ą

głe,

2. obci

ąż

enie belek wraz z reakcjami podporowymi tworzy płaski układ sił równo-

ległych,

3. nadliczbowe

X

k

stanowi

ą

momenty podporowe podpór po

ś

rednich i momenty

utwierdzenie podpór sztywnych,

otrzymujemy ogóln

ą

posta

ć

równania ci

ą

gło

ś

ci

k-tej

podpory (zgodno

ś

ci przemiesz-

cze

ń

k-tej

podpory), na któr

ą

działa nadliczbowa

X

k

(wzór 2):

ko

o

k

k

k

k

k

k

k

EJ

X

l

X

l

l

X

l

δδδδ

6

)

(

2

1

'

1

'

1

'

1

'

−

=

+

+

+

+

+

+

−

(2)

Równanie (2) nazywamy równaniem trzech momentów.

Takich równa

ń

układamy tyle ile wynosi stopie

ń

statycznej niewyznaczalno

ś

ci belki.

Równania układamy kolejno dla w

ę

złów, w których wprowadzili

ś

my nadliczbowe

X

k

.

W ka

ż

dym równaniu wyst

ę

puj

ą

tylko trzy niewiadome momenty podporowe

X

k

.

Współczynnik

ko

δδδδ

w równaniu (2) zawiera w sobie wpływ wszystkich czynników ze-

wn

ę

trznych, czyli obci

ąż

enie „

p

”, wpływ temperatury „

t

”, wpływ osiadania podpór „

∆

”

(wzór 3):

∆

+

+

=

k

kt

kp

ko

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

, (3)

gdzie:

kp

δδδδ

-

wpływ obci

ąż

enia zewn

ę

trznego (obliczamy z wykorzystaniem równania pracy wirtualnej

dla ciał odkształcalnych lub metod

ą

Mohra)

przemieszczenie sprowadzone

Strona

3 z 9

kt

δδδδ

- wpływ temperatury; obliczamy wg wzoru (4):













∆

+

∆

=

+

+

+

1

1

1

2

k

k

k

k

k

k

t

kt

t

h

l

t

h

l

αααα

δδδδ

, (4)

∆

k

δδδδ

- wpływ osiadania podpór; obliczamy wg wzoru (5):

1

1

1

1

1

1

+

+

+

−

∆

∆

+

∆













+

−

∆

=

k

k

k

k

k

k

k

k

l

l

l

l

δδδδ

. (5)

Wprowadzone oznaczenia we wzorach (4,5):

t

αααα

- współczynnik rozszerzalno

ś

ci termicznej,

k

h

,

1

+

k

h

- wysoko

ś

ci przekroju poprzecznego odpowiednio prz

ę

sła „

k

” i „

k+1

”,

k

l

,

1

+

k

l

- długo

ś

ci prz

ę

seł (odpowiednio prz

ę

sła „

k

” i „

k+1

”),

k

t

,

1

+

k

t

- ró

ż

nica temperatur dolnych i górnych w włókien w prz

ę

słach belki (odpowiednio w prz

ę

-

ś

le „

k

” i „

k+1

”),

g

d

t

t

t

−

=

∆

,

d

t

- temperatura włókien dolnych,

g

t

- temperatura włókien górnych,

k

∆

,

1

−

∆

k

,

1

+

∆

k

- osiadanie podpór (odpowiednio podpory: „

k

”, „

k-1

”, „

k+1

”).

W przypadku, gdy skrajna podpora belki jest utwierdzona, to w układzie podstawowym nale

ż

y wpro-

wadzi

ć

tzw. fikcyjne prz

ę

sło, którego długo

ść

jest zerowa a sztywno

ść

równa si

ę

∞

(rys. 3).

Rys. 2: Fikcyjne prz

ę

sła

Strona

4 z 9

Przy osiadaniu podpór, za dodatnie kierunki przemieszcze

ń

podpór przyjmuje si

ę

kierunki tak jak po-

kazano na rys. 4.

Rys. 4

Strona

5 z 9

ZADANIE 1.

Dla podanej belki ci

ą

głej statycznie niewyznaczalnej sporz

ą

dzi

ć

wykresy sił przekrojowych

(M, T) od działaj

ą

cego obci

ąż

enia zewn

ę

trznego.

Rys. 5: Belka ci

ą

gła statycznie niewyznaczalna

1. Obliczenia pomocnicze

Rysunek pomocniczy (rys. 6):

Rys. 6

Stopie

ń

statycznej niewyznaczalno

ś

ci: SSN = 1

Jako sztywno

ść

porównawcz

ą

przyjmujemy sztywno

ść

prz

ę

sła 1-2:

o

EJ

EJ

EJ

=

=

−

2

1

Sztywno

ść

prz

ę

sła 0-1 równie

ż

opisujemy sztywno

ś

ci

ą

porównawcz

ą

.

Ogólny wzór, wg którego mo

ż

emy opisa

ć

sztywno

ść

dowolnego prz

ę

sła „

k

” sztywno

ś

ci

ą

po-

równawcz

ą

, ma posta

ć

(sztywno

ść

k

EJ

mno

ż

ymy przez iloraz

o

o

EJ

EJ

):

o

o

k

k

EJ

EJ

EJ

EJ

=

o

o

o

k

k

EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

ηηηη

=

=

,

gdzie:

o

k

EJ

EJ

=

ηηηη

.

•

Zatem sztywno

ś

ci prz

ę

seł wynosz

ą

odpowiednio:

0

2

1

EJ

EJ

=

−

0

0

0

1

0

2

2

EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

=

=

−

Obliczenie długo

ś

ci sprowadzonych prz

ę

seł:

Strona

6 z 9

Wzór ogólny (por. wzór 1, str.2)

k

k

o

k

l

EJ

EJ

l

=

'

.

•

długo

ść

sprowadzona prz

ę

sła 0-1:

4

8

2

2

0

0

1

0

0

'

1

=

=

=

EJ

EJ

l

EJ

EJ

l

•

długo

ść

sprowadzona prz

ę

sła 1-2:

4

4

0

0

2

0

0

'

2

=

=

=

EJ

EJ

l

EJ

EJ

l

2. Schemat podstawowy

Rys. 7: Schemat podstawowy metody trzech momentów

3. Równanie trzech momentów

Ogólny wzór na równanie trzech momentów (por. wzór nr 2 str. 2):

ko

o

k

k

k

k

k

k

k

EJ

X

l

X

l

l

X

l

δδδδ

6

)

(

2

1

'

1

'

1

'

1

'

−

=

+

+

+

+

+

+

−

.

Belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna, a zatem zwalniamy tylko jeden wi

ę

z i w jego miejsce

wprowadzamy jedn

ą

par

ę

momentów przypodporowych

1

X

w podporze nr. 1 (rys. 7).

Równania trzech momentów piszemy tylko dla tych podpór gdzie wprowadzone zostały momenty

k

X

.

W naszym zadaniu mamy wpływ tylko obci

ąż

enia zewn

ę

trznego „p” (nie ma działania temperatury i osiada-

nia podpór). W zwi

ą

zku z tym w naszym zadaniu

p

1

10

δδδδ

δδδδ

=

bowiem

0

1

=

t

δδδδ

i

.

Piszemy równanie tylko dla dla k=1 (na podstawie wy

ż

ej podanego wzoru):

p

EJ

X

l

X

l

l

X

l

1

0

1

1

'

1

1

1

'

1

1

'

1

1

1

'

1

6

)

(

2

δδδδ

−

=

+

+

+

+

+

+

−

p

o

EJ

X

l

X

l

l

X

l

1

2

'

2

1

'

2

'

1

0

'

1

6

)

(

2

δδδδ

−

=

+

+

+

p

o

EJ

X

X

X

1

2

1

0

6

4

)

4

4

(

2

4

δδδδ

−

=

+

+

+

0

0

=

X

oraz

0

2

=

X

st

ą

d ostatecznie otrzymujemy jedno równanie w postaci:

p

o

EJ

X

1

1

6

16

δδδδ

−

=

4. Wyznaczenie

p

1

δδδδ

4.1. metod

ą

pracy wirtualnej

•

rysujemy wykresy (rys. 8):

momentów zginaj

ą

cych od obci

ąż

enia zewn

ę

trznego wyliczony dla schematu podstawo-

wego,

Strona

7 z 9

wykres momentu zginaj

ą

cego od stanu obci

ąż

enia

1

1

=

X

Rys. 8: Wykresy momentów zginaj

ą

cych dla schematu podstawowego

•

nast

ę

pnie wyliczamy współczynnik

p

1

δδδδ

ze wzoru znanego z metody sił

ds

EJ

M

M

k

l

i

l

i

p

ip

∫

=

δδδδ

:

0

0

0

10

3

82

2

1

3

2

6

2

2

1

2

1

3

1

2

1

6

2

2

1

1

1

2

1

8

16

3

2

2

1

EJ

EJ

EJ

=













⋅

⋅

⋅

⋅

+













⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

δδδδ

4.2. metod

ą

obci

ąż

e

ń

wtórnych (Mohra)

Rys. 9

Strona

8 z 9

•

rysujemy wykres momentów zginaj

ą

cych (rozbijamy na beleczki - belk

ę

przyj

ę

t

ą

w schemacie

podstawowym) - rys. 9,

•

przyjmujemy beleczki zast

ę

pcze (wg Mohra - rys. 9) i obci

ąż

amy je odpowiednio wykresem

momentów zginaj

ą

cych (obci

ąż

enie wtórne -

P

~

),

•

w beleczkach zast

ę

pczych obliczamy wtórne reakcje podporowe w w

ęź

le „1”, tzn. wyliczamy

[ ]

L

V

1

i

[ ]

P

V

1

. Suma tych reakcji da nam warto

ść

[ ] [ ]

P

L

p

V

V

1

1

1

+

=

δδδδ

.

[ ]

[ ]

0

0

1

0

3

64

8

8

3

2

2

1

EJ

EJ

V

V

L

=

⋅

⋅

⋅

=

=

[ ]

[ ]

0

0

0

2

1

3

18

6

6

2

2

1

EJ

EJ

EJ

V

V

P

=

=

⋅

⋅

=

=

[ ]

[ ] [ ]

p

P

L

EJ

EJ

EJ

V

V

V

1

0

0

0

1

1

1

3

82

3

18

3

64

δδδδ

=

=

+

=

+

=

0

1

3

82

EJ

p

=

δδδδ

5. Wyliczenie

1

X

Posta

ć

równania:

0

1

3

82

6

16

EJ

EJ

X

o

⋅

−

=

]

[

25

.

10

1

kNm

X

−

=

Znak momentu

1

X

wyszedł ujemny, to oznacza,

ż

e przyj

ę

te zwroty momentów podporowych w schema-

cie podstawowym s

ą

złe.

6. Wyliczenie pozostałych wielko

ś

ci statycznych i sporz

ą

dzenie ko

ń

cowych

wykresów sił przekrojowych M i T

Obliczenia:

Znaj

ą

c moment przypodporowy

1

X

,

mo

ż

emy potraktowa

ć

belk

ę

jako poł

ą

czone ze sob

ą

2 proste be-

leczki w w

ęź

le „1” przegubem, w którym działa para momentów zginaj

ą

cych

1

X

(rys.10).

Nast

ę

pnie obliczamy reakcje podporowe i wykonujemy pozostałe niezb

ę

dne obliczenia.

∑

=

0

1

L

M

0

25

,

10

4

8

2

8

0

=

+

⋅

⋅

−

⋅

V

71875

,

6

0

=

V

∑

=

0

1

P

M

0

25

,

10

6

2

4

2

=

−

⋅

+

⋅

−

V

4375

,

0

2

=

V

Strona

9 z 9

∑

=

0

y

P

0

6

8

2

2

1

0

=

+

−

+

⋅

−

V

V

V

84375

,

14

1

=

V

Równanie tn

ą

cej w prz

ęś

le 0-1:

x

x

q

V

x

T

2

71875

,

6

)

(

0

−

=

⋅

−

=

Po przyrównaniu

T(x)

do zera otrzymamy miejsce zerowe funkcji

T(x)

i jednocze

ś

nie warto

ść

zmiennej

x

,

dla której

M(x)

osi

ą

ga ekstremum.

0

)

(

=

x

T

359375

,

3

≅

x

.

2854

,

11

)

359375

,

3

(

ekstr

M

x

M

=

≅

≅

Rys. 10: Ko

ń

cowe wykresy sił przekrojowych M i T