Przykładowe zadania z Metod numerycznych

Kolokwium 1

1. Dana jest 8. bitowa liczba stałoprzecinkowa (zapis binarny ze znakiem): 0.0111000
podać dokładność zapisu.
2. Jakie właściwości ma odwzorowanie

Ax

y



dla macierzy:















5

.

0

5

.

0

5

.

0

5

.

0

A

. Narysować obraz wektora















1

1

x

w tym

odwzorowaniu.
3. Narysować poziomice funkcji

2

2

2

1

2

)

2

(

4

x

x

y







. W punkcie (1,1) wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do funkcji.

Narysować rzut płaszczyzny stycznej na płaszczyznę (

2

1

, x

x

). W punkcie (1,0) wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do

funkcji.
Kolokwium 2

1. Dla równania:

0

16

4





x

zapisać algorytm iteracyjny Newtona-Raphsona oraz wyznaczyć przedział zbieżności algorytmu.

2. Dla równania iteracyjnego:

2

)

(

5

3

1







k

k

x

x

wyznaczyć przedział zbieżności i narysować kilka punktów początkowych

algorytmu.
3. Narysować przykłady algorytmu: monotonicznie zbieżnego, monotonicznie rozbieżnego, periodycznie zbieżnego,
periodycznie rozbieżnego, periodycznego.
Kolokwium 3

1. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań Ax=b dla













































6

20

2

,

5

6

5

2

0

4

3

2

1

b

A

oraz wyznaczyć macierz odwrotną.
2. Wyznaczyć algorytm Newtona-Raphsona dla układu równań:

4

)

5

(

9

)

1

(

2

2

2

2













y

x

x

y

podać interpretację geometryczną rozwiązania.
Kolokwium 4

1. Wyznaczyć funkcję aproksymującą

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

x

f

a

x

f

a

x

f





dla następujących punktów

X

2





3





3



2



Y

-3

-10

20

3

i funkcji bazowych

)

sin(

)

(

,

3

)

(

2

1

x

x

f

x

x

f







2. Dla funkcji aproksymującej

)

(x

f

i punktów (X,Y) wyznaczyć błąd średniokwadratowy.

Kolokwium 5
1. Omówić właściwości algorytmu:

1

n

1

n

n

1

n

y

3

2

h

y

3

1

y

3

4

y















2. Podać geometryczną interpretację rozwiązania równania różniczkowego w punkcie y(t

n+1

) stosując następującą metodę:

2

1

n

1

n

3

2

3

1

y

y













,

)

t

,

y

(

f

h

n

n

1





)

h

4

3

t

,

4

3

y

(

f

h

n

1

n

2











3. Wyznaczyć numeryczne kilka punktów rozwiązania (dowolną metodą) równania różniczkowego

2

t

y







. Dobrać prawidłowo krok całkowania h, aby metoda była stabilna.

Kolokwium 6

1. Omówić zasadę metody simpleks i podstawowe operacje na simpleksie:
* odbicie symetryczne
* wyznaczanie środka ciężkości
* ekspansję
* kontrakcję
* kurczenie simpleksu
2. Wyznaczyć zbiory kierunków dopuszczalnych w punkcie X

0

dla ograniczeń :

{ x

1



0 , x

2



0 , x

2



- (x

1

– 1)

3

} X

0

= [ 0 0 ]

T

X

0

= [ 0 1 ]

T

{ x

2



- (x

1

– 1)

3

+ , x

2



0 } X

0

= [ 0 1 ]

T

3. Wyznaczyć zbiory kierunków poprawy w punkcie X

0

dla następujących funkcji :

f(x) = (x

1

– 1)

2

+ 3x

2

2

- 6x

2

f(x) = x

1

- 2x

2

2

f(x) = x

1

2

- x

2

2

X

0

= [ 0 0 ]

T

X

0

= [ 0 1 ]

T

X

0

= [ 1 0 ]

T

X

0

= [ 1 1 ]

T