Zadanie

Dany jest układ regulacji automatycznej, przedstawiony na rysunku:

Wyznaczyć numeryczne rozwiązanie odpowiedzi układu y(t) na wymuszenie: x(t) = 1(t) stosując czteropunktową metodę Runge - Kutta. Przyjąć warunki początkowe: y(0) = 0; y^'(0)= y^''(0) = 0. Dane:

Rozwiązanie

przy czym (dla przykładu):

a = 5

b = 6

c = 13

warunki początkowe: y(0) = 0; y^'(0)= y^''(0) = 0.

1.) Upraszczamy schemat blokowy.

1. wyznaczamy transmitancję układu otwartego K(s)

K(s) = G_R(s) ∙ G₀(s)

K(s) =
∙
=
=

K(s) =
=

2. wyznaczamy transmitancję układu zamkniętego G_Z(s)

G_Z(s) =

G_Z(s) =
=

G_Z(s) =
=

2.) Korzystając z ogólnego wzoru na transformację operatorową, możemy zapisać

G_Z(s)

Y(s) = G_Z(s) ∙ X(s)

Y(s) =

s³ ∙ Y(s) + 7s² ∙ Y(s) + 7s ∙ Y(s) + 66 ∙ Y(s) = 65 ∙ X(s)

3.) Stosując wzory na transformację odwrotną otrzymujemy

y^'''(t) + 7 ∙ y^''(t) +7 ∙ y^'(t) + 66 ∙ y(t) = 65 ∙ x(t)

z transformat pochodnych mamy

L[y] = Y(s)

L[y^'] = s ∙ Y(s) -y(0)

L[y^''] = s² ∙ Y(s) -s ∙ y(0) - y^'(0)

L[y^'] = s³ ∙ Y(s) - s² ∙ y(0) - s ∙ y^' (0) - y^''(0)

y^'''(t) + 7 ∙ y^''(t) +7 ∙ y^'(t) + 66 ∙ y(t) = 65 ∙ 1(t)

4.) Podstawiamy nową zmienną x = y^', otrzymując zamiast równania różniczkowego III rzędu układ dwóch równań I i II rzędu.

y^' = x

x^'' + 7 ∙ x^' +7 ∙ x + 66 ∙ y = 65

Podstawiamy nową zmienną z =x^'

y^'' = x^' -z

z² + 7 ∙ z + 7 ∙ x + 66 ∙ y = 65

y^' = x

x^' = z

z^' = 65 - 7 ∙ z - 7 ∙ x - 66 ∙ y

5. Wyznaczamy kolejne współczynniki czteropunktowej metody Runge - Kutta.

y K₁ = h ∙ x_k

x M₁ = h ∙ z_k

z N₁ = h · (65 - 7 ∙ z - 7 ∙ x - 66 ∙ y)

K₂ = h ∙ (x_k +
)

M₂ = h ∙ (z_k +
)

N₂ = h ∙ [65 - 7 ∙ (z_k +
) -7 ∙ (x_k +
) - 66 ∙ (y_k +
)]

K₃ = h ∙ (x_k +
)

M₃ = h ∙ (z_k +
)

N₃ = h ∙ [65 - 7 ∙ (z_k +
) -7 ∙ (x_k +
) - 66 ∙ (y_k +
)]

K₄ = h ∙ (x_k + M₃)

M₄ = h ∙ (z_k + N₃)

N₄ = h ∙ [65 - 7 ∙ (z_k + N₃) -7 ∙ (x_k + M₃) - 66 ∙ (y_k + K₃)]

6. Obliczone współczynniki wstawiamy do wzorów.

y_k+1 = y_k +
(K₁ + 2 K₂ + 2K₃ + K₄)

x_k+1 = x_k +
(M₁ + 2 M₂ + 2M₃ + M₄)

z_k+1 = z_k +
(N₁ + 2 N₂ + 2N₃ + N₄)

2

---