K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

V.

TEORIA SOMMERFELDA

V.1. REGUŁY KWANTOWANIA WILSONA – SOMMERFELDA

Reguły kwantowania Wilsona – Sommerfelda dotyczą dowolnej wielkości fizycznej, która
jest periodyczną funkcją czasu (jeżeli funkcje opisujące jakiś układ są funkcjami
periodycznymi to układ jest kwantowalny).

q

t=q t

gdzie:

τ

– okres

∫

p

q

dq

=n

q

h

(V.1.1)

p

q

– pęd odpowiadający współrzędnej uogólnionej q

n

q

– liczba kwantowa

Przykład: Punkt o masie m poruszający się po orbicie kołowej.

(r,

ϕ

)

q

1

= r, q

2

=

ϕ

r = const

ϕ

=

ω

t

0

≤≤2 , =2

– 1 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

p

q

=

dE

x

d ˙q

(V.1.2)

˙q=

dq

dt

E

k

=

m

2



˙r

2

r

2

˙



2



(V.1.3)

p

q

=

dE

k

d ˙

=mr

2

˙=mr

2

=mvr=L

p

r

=

∂ E

k

∂ ˙r

=m ˙r=0 , bo r=const

L

lewa strona:

∮

p

q

dq

=

∮

p



d

=

∫

0

2



L d

=L

∫

0

2



d

=2 L

P

 prawa strona: n



⋅h

Ponieważ L = P, to:

2

 L=n



⋅h , czyli:

L

=n



ℏ

(V.1.4)

Zależność (V.1.4) zgodna (identyczna) z II postulatem Bohra.
Stanowi jego matematyczne rozwiązanie.

Jeżeli (V.1.1) zastosujemy do oscylującej cząstki o masie m, to możemy znaleźć jej

– 2 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

energię całkowitą:

E

=nhf

(V.1.5)

Wzór (V.1.5) jest zgodny z IV postulatem Bohra.

Sommerfeld uogólnił model Bohra i pokazał że elektron na danej orbicie może poruszać
się po orbicie eliptycznej (kołowa jest jej szczególnym przypadkiem), przy czym liczba orbit
zależy od n i jest dokładnie jej równa.
n – będziemy nazywać główną liczbą kwantową.

V.2. SUBTELNA STRUKTURA WIDMA WODORU.

Wszystkie linie spektralne począwszy od n = 2 są rozszczepione – jest to struktura
subtelna.
Struktura subtelna została wyjaśniona w oparciu o rachunek relatywistyczny.

Rys.V.1. Subtelna struktura widma atomu wodoru.

Sommerfeld był w stanie obliczyć parametry orbit i ich energie.

L

=n



ℏ , n



=1, 2 , 3 ,...

(V.2.1)

L



a
b

−1



=n

r

ℏ ,

n

r

=0, 1, 2 , ...

(V.2.2)

– 3 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

a

=

ℏ

2

 Ze

2

n

2

(V.2.3a)

b

=a

n



n

(V.2.3b)

E

=−

e

4

Z

2

2

ℏ

2

⋅



1

n

2



(V.2.3c)

Wzory (V.2.3a), (V.2.3b), (V.2.3c) – definiują orbitę po której porusza się elektron.

n

=n



n

r

=1,2,3 , ... – główna liczba kwantowa

n



=1,2 , .... ,n – azymutalna liczba kwantowa

n , n

φ

– definiują kształt orbity

b

=a

n



n

→ n



=n , a=b

V.3. PRZYKŁADY ORBIT SOMMERFELDA.

Rys.V.2. Przykłady orbit Sommerfelda.

– 4 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Pod względem energetycznym wszystkie orbity dla danego n są takie same, bo energia
nie zależy od n

φ

– degeneracja orbit.

Degeneracja została zniesiona po wprowadzeniu rachunku relatywistycznego.

m

=

m

0



1

−



v
c



2

(V.3.1)

Energia E= f  n , n



 – jest charakterystyczna dla danej orbity

E

=

−e

4

Z

2

2ħ

2

n

2

[

1



a

2

Z

2

n



1

n



−

3

4n



]

(V.3.2)

Z (V.3.2) wynika, że E= f  n , n



 i wyjaśnia strukturę subtelna linii spektralnych

Po uwzględnieniu efektu relatywistycznego energia wyraża się wzorem:

E

=E

NR

∆ E

R

(V.3.3)

gdzie:

E

NR

– część nierelatywistyczna (V.2.3c)

E

R

– poprawka relatywistyczna

∆ E

R

~a

2

Z

2

n



1

n



−

3

4n



(V.3.4)

Poprawka opisuje przesunięcie poziomów energetycznych – pojawienie się struktury
subtelnej.

a

=

e

2

ℏ

c

≃

1

137

(V.3.5)

a – stała struktury subtelnej, charakterystyczna wielkość we wzorach fizyki kwantowej

Jest wiele interpretacji tej stałej a, jedną z nich jest:

a

=

v

1

c

– 5 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

v

1

prędkość elektronu na pierwszej orbicie

W efekcie istnienia struktury subtelnej pojawiają się dodatkowe poziomy i tworzy się
widmo bardziej skomplikowane.

Rys.V.3. Przejścia dozwolone są oznaczone przez zielone strzałki, czerwone oznaczają przejścia
zabronione.

O tym, które przejścia są dozwolone, a które nie, mówi reguła wyboru:

n



=±1

(V.3.6)

– 6 –