dr Dušan Bogdanov

1

Ekonometria 1

Wykład 3

Dobór zmiennych do liniowego modelu ekonometrycznego

1

Przedmiotem naszego zainteresowania jest jednorównaniowy model liniowy, który mo

ż

emy

zapisa

ć

w postaci ogólnej:

t

tk

k

t

t

t

t

x

...

x

x

x

y

ε

α

α

α

α

+

+

+

+

=

3

3

2

2

1

1

(3.1)

gdzie:

t

y

- t-ta realizacja zmiennej obja

ś

nianej

tj

x

- t –ta realizacja j – tej zmiennej obja

ś

niaj

ą

cej

t

ε

- t – ty składnik losowy

Po okre

ś

leniu celu, przedmiotu i zakresu bada

ń

ekonometrycznych przechodzimy do specyfikacji

zmiennych. Na podstawie merytorycznej oceny i analizy modelowanych kategorii ekonomicznych

i relacji mi

ę

dzy nimi definiuje si

ę

zmienn

ą

obja

ś

nian

ą

przez model oraz potencjalne zmienne

obja

ś

niaj

ą

ce. Pomi

ę

dzy zmienn

ą

obja

ś

nian

ą

a zmiennymi obja

ś

niaj

ą

cymi powinna zachodzi

ć

zale

ż

no

ść

przyczynowo-skutkowa lub przynajmniej symptomatyczna. Wybrane zmienne powinny by

ć

mierzalne i dost

ę

pne, co pozawala utworzy

ć

szeregi ich realizacji.

Dana jest, wi

ę

c macierz obserwacji zmiennej obja

ś

nianej i potencjalnych zmiennych

obja

ś

niaj

ą

cych:

























nm

n

n

n

m

m

x

...

x

x

y

...

...

...

...

...

x

...

x

x

y

x

...

x

x

y

2

1

2

22

21

2

1

12

11

1

(3.2)

Dalsza analiza ma charakter formalno-statystyczny i jest prowadzona na empirycznych

realizacjach zmiennych. Prowadzi ona zwykle do redukcji zbioru zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych. Zmienne

stosowane w modelowaniu ekonometrycznym powinny posiada

ć

dostatecznie du

żą

zmienno

ść

.

Zmienno

ść

(zawarto

ść

informacyjna) jest mierzona współczynnikiem zmienno

ś

ci.

Przyjmuje si

ę

,

ż

e dla zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych współczynnik zmienno

ś

ci powinien mie

ć

warto

ść

wi

ę

ksz

ą

ni

ż

10%, dla zmiennej obja

ś

nianej mo

ż

na przyj

ąć

nieco ni

ż

sz

ą

warto

ść

krytyczn

ą

współczynnika.

Dalsza redukcja zbioru zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych ma na celu wyłonienie zbioru zmiennych

obja

ś

niaj

ą

cych silnie skorelowanych ze zmienn

ą

obja

ś

nian

ą

i słabo skorelowanych pomi

ę

dzy sob

ą

.

Pierwsza z wymienionych własno

ś

ci zwi

ą

zana jest z faktem,

ż

e zmienna obja

ś

niana w modelu

liniowym jest funkcj

ą

liniow

ą

zmiennych obja

ś

nianych. Druga własno

ść

decyduje natomiast

o dokładno

ś

ci ocen parametrów modelu uzyskanych metod

ą

najmniejszych kwadratów. Zagadnienia

te bli

ż

ej zostan

ą

omówione na wykładach dotycz

ą

cych estymacji.

1

Wykład opracowano na podstawie K Hanusik, U. Łangowska, Modelowanie ekonometryczne procesów

społeczno-ekonomicznych, Uniwersytet Opolski, Opole 1994, ss. 45-47

dr Dušan Bogdanov

2

Ekonometria 1

Informacja niezb

ę

dna do przeprowadzenia doboru zmiennych na tym etapie zawarta jest

w macierzy korelacji rozpatrywanych cech:









































=

1

1

1

1

2

1

21

2

2

1

12

1

1

2

1

2

1

...

r

r

r

X

...

...

...

...

...

...

r

...

r

r

X

r

...

r

r

X

r

...

r

r

Y

X

...

X

X

Y

R

m

m

m

m

m

m

m

(3.3)

W przypadku małej ilo

ś

ci rozpatrywanych zmiennych bezpo

ś

rednia analiza macierzy korelacji

pozwala na dokonanie redukcji zbioru zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych wprowadzanych do danego

równania modelu. Przy wi

ę

kszych ilo

ś

ciach kandydatek na zmienne obja

ś

niaj

ą

ce analiza taka jest

utrudniona ze wzgl

ę

du na rozmiary macierzy korelacji. Istniej

ą

metody analityczne pozwalaj

ą

ce

pokona

ć

t

ę

trudno

ść

. Do najpopularniejszych nale

ż

y metoda optymalnego doboru predykant

oraz metoda grafowa.

Metoda optymalnego doboru predykant. Na wst

ę

pie nale

ż

y utworzy

ć

wszystkie mo

ż

liwe

kombinacje zbioru zmiennych kandyduj

ą

cych do roli zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych w równaniu modelu:

{X

1

},…,{X

m

}, {X

1

,X

2

},...,{X

1

, X

2

...,X

m

}. Otrzymujemy 2

m

-1 kombinacji. Ka

ż

d

ą

kombinacj

ę

rozpatrujemy

oddzielnie, wyznaczaj

ą

c dla niej tak zwan

ą

integraln

ą

pojemno

ść

informacyjn

ą

, która jest sum

ą

indywidualnych pojemno

ś

ci informacyjnych zmiennych wchodz

ą

cych w skład rozpatrywanej

kombinacji. Pojemno

ść

indywidualn

ą

zmiennej w danej kombinacji wyznacza si

ę

według formuły:

∑

=

=

l

m

i

ij

j

lj

r

r

h

1

2

(3.4)

gdzie:

l - numer rozpatrywanej kombinacji,

m

l

- liczba zmiennych w rozpatrywanej kombinacji,

r

ij

- współczynnik korelacji pomi

ę

dzy i-t

ą

i j-t

ą

kandydatk

ą

na zmienn

ą

obja

ś

niaj

ą

c

ą

(i,j=1,2,...m),

r

j

- współczynnik korelacji j-tej kandydatki na zmienn

ą

obja

ś

niaj

ą

c

ą

ze zmienn

ą

obja

ś

nian

ą

.

Z przedstawionego wzoru wida

ć

,

ż

e pojemno

ść

informacyjna zmiennej jest tym wi

ę

ksza,

im wi

ę

ksza jest jej korelacja ze zmienn

ą

obja

ś

nian

ą

oraz im słabsze s

ą

zwi

ą

zki korelacyjne mi

ę

dzy

zmiennymi w danej kombinacji. Pojemno

ść

integralna l

−

tej kombinacji kandydatek na zmienne

obja

ś

niaj

ą

ce wyra

ż

a si

ę

natomiast wzorem:

dr Dušan Bogdanov

3

Ekonometria 1

(

)

∑

=

−

=

=

l

m

m

j

,...

,

l

lj

l

h

H

1

1

2

2

1

(3.5)

Kombinacja o najwi

ę

kszej pojemno

ś

ci wyznacza zbiór zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych. Istota metody

optymalnego wyboru predykant polega na tym,

ż

e wybiera si

ę

tak

ą

kombinacj

ę

zmiennych

obja

ś

niaj

ą

cych, które s

ą

relatywnie najsilniej powi

ą

zane ze zmienn

ą

obja

ś

nian

ą

i najsłabiej powi

ą

zane

ze sob

ą

.

Metoda grafowa. Jest to metoda prawie identyczna jak metoda grafowa stosowana do redukcji

zbioru zmiennych diagnostycznych. Metoda ta w zasadzie uwzgl

ę

dnia tylko postulat,

ż

e zmienne

obja

ś

niaj

ą

ce powinny by

ć

nieskorelowane mi

ę

dzy sob

ą

. Poniewa

ż

w praktyce nie ma mo

ż

liwo

ś

ci

uzyskania takiego układu zmiennych, dla których r

ij

= 0, zast

ę

puje si

ę

ten warunek mniej

rygorystycznym, a mianowicie: r

ij

≈

0. Oznacza to, i

ż

przyjmuje si

ę

,

ż

e korelacja mi

ę

dzy zmiennymi jest

dostatecznie niska, gdy charakteryzuj

ą

cy j

ą

współczynnik korelacji mi

ę

dzy zmiennymi przyjmuje

warto

ść

nieistotnie ró

ż

n

ą

od zera, przy danej liczbie obserwacji i zało

ż

onym poziomie istotno

ś

ci.

W utworzonej macierzy korelacji zmiennych - kandydatek do zbioru zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych-

wszystkie współczynniki korelacji nieistotnie ró

ż

ne od zera zast

ę

puje si

ę

zerami, a pozostałe

jedynkami. Zmodyfikowan

ą

w ten sposób macierz korelacji traktuje si

ę

jako macierz przyległo

ś

ci grafu,

którego w

ę

złami s

ą

zmienne. Graf ten dzieli si

ę

nast

ę

pnie na podgrafy spójne. Zmienne

reprezentowane przez wierzchołki ka

ż

dego podgrafu spójnego charakteryzuj

ą

si

ę

istotnym

skorelowaniem mi

ę

dzy sob

ą

. Zgodnie z zało

ż

eniem omawianej metody, jako zmienne obja

ś

niaj

ą

ce

typowane s

ą

reprezentantki ka

ż

dego podgrafu. Reprezentantk

ą

danego podgrafu jest natomiast

zmienna poł

ą

czona najwi

ę

ksz

ą

liczb

ą

wi

ą

zadeł z pozostałymi jego w

ę

złami. Je

ż

eli w podgrafie

spójnym jest kilka w

ę

złów o tym samym maksymalnym stopniu, to wybiera si

ę

spo

ś

ród nich jako

zmienn

ą

obja

ś

niaj

ą

c

ą

cech

ę

najsilniej skorelowan

ą

ze zmienn

ą

obja

ś

nian

ą

.

Opisane procedury maj

ą

charakter pomocniczy, w ogólnym przypadku nie daj

ą

identycznych

rozwi

ą

za

ń

i nale

ż

y przy ich pomocy d

ąż

y

ć

do uzyskania nie jednego, ale małej ilo

ś

ci potencjalnych

układów zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych. Zwykle dopiero w wyniku procesu weryfikacji nast

ę

puje wybór

najlepszego wariantu zestawu zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych modelu.

dr Dušan Bogdanov

4

Ekonometria 1

Pytania kontrolne:

1. Wyja

ś

nij istot

ę

doboru zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych metod

ą

optymalnego doboru predykant.

2. Wyja

ś

nij istot

ę

doboru zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych metod

ą

grafow

ą

.

3. Która z wymieniowych metod lepiej oddaje istot

ę

doboru zmiennych do liniowego modelu

ekonometrycznego?

4. Oce

ń

precyzj

ę

metod doboru zmiennych.