dr Dušan Bogdanov

1

Ekonometria 1

Wykład 8

Wnioskowanie na podstawie modelu ekonometrycznego – prognozowanie ekonometryczne

Model ekonometryczny, który pomy

ś

lnie przeszedł weryfikacj

ę

, mo

ż

e by

ć

podstaw

ą

wnioskowania.

W zale

ż

no

ś

ci od celu bada

ń

, dobry model mo

ż

e by

ć

wykorzystany do opisu mechanizmu

kształtowania si

ę

badanego zjawiska, a wi

ę

c odpowiedzie

ć

na pytanie jaki jest kierunek i siła

oddziaływania zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych na zmienna obja

ś

nian

ą

. W tej sytuacji model spełnia cel

poznawczy. Oczywi

ś

cie warto

ść

poznawcz

ą

maj

ą

modele przyczynowe-skutkowe. Je

ż

eli model

dobrze odwzorowuje badany fragment rzeczywisto

ś

ci gospodarczej mo

ż

e słu

ż

y

ć

do symulacji efektów

decyzji gospodarczych, czyli do realizacji celów decyzyjnych.

Najszerszy

obszar

zastosowa

ń

modeli

ekonometrycznych

to

prognozowanie

zjawisk

ekonomicznych. Ze wzgl

ę

du na ogromne znaczenie prognozowania ekonomicznego w działalno

ś

ci

gospodarczej po

ś

wi

ę

ca si

ę

temu zagadnieniu du

ż

o miejsca w teorii i praktyce ekonometrii. Metody

prognozowania mo

ż

na wydzieli

ć

w odr

ę

bn

ą

dziedzin

ę

wiedzy.

My ograniczymy si

ę

tylko do przedstawienia najwa

ż

niejszych zasad prognozowania na podstawie

klasycznego modelu liniowego. Wymaga to jednak zdefiniowania kilku istotnych poj

ęć

.

Prognoza ekonometryczna jest to s

ą

d o kształtowaniu si

ę

zjawiska w przyszło

ś

ci sformułowany

na podstawie modelu ekonometrycznego, a wi

ę

c przewidywanie jak

ą

warto

ść

przyjmie zmienna

obja

ś

niana, w okre

ś

lonym czasie. Poniewa

ż

zmienna obja

ś

niana jest zmienn

ą

losow

ą

to s

ą

d ten ma

charakter stochastyczny i przyjmuje si

ę

,

ż

e prawdopodobie

ń

stwo jego prawdziwo

ś

ci jest niemniejsze

od zało

ż

onej warto

ś

ci, bliskiej jedno

ś

ci, zwanej wiarygodno

ś

ci

ą

prognozy.

Predykcja ekonometryczna to proces wnioskowania w przyszło

ść

na podstawie modelu

ekonometrycznego opisuj

ą

cego interesuj

ą

cy wycinek zjawisk ekonomicznych.

Prognoza ekonometryczna jest wi

ę

c wynikiem predykcji ekonometrycznej

1

.

Prognoza ekonometryczna mo

ż

e by

ć

prognoz

ą

ilo

ś

ciow

ą

lub jako

ś

ciow

ą

. Mówimy o prognozie

ilo

ś

ciowej, je

ż

eli podajemy przewidywan

ą

warto

ść

zmiennej obja

ś

nianej, np. w 2008 r 45%

gospodarstw domowych w Polsce b

ę

dzie wyposa

ż

onych w komputery, lub, udział GD w Polsce

wyposa

ż

onych w komputery b

ę

dzie w 2008 r. kształtował si

ę

w przedziale od 42% do 48%, przy czym

w pierwszym przypadku jest to prognoza ilo

ś

ciowa punktowa, w drugim prognoza ilo

ś

ciowa

przedziałowa. Przykładem prognozy jako

ś

ciowej jest s

ą

d,

ż

e w 2007 r. w Polsce stopa bezrobocia

spadnie poni

ż

ej 17%.

Ka

ż

da prognoza dotyczy okre

ś

lonego odcinka czasu. Okres, dla którego sporz

ą

dzana jest

prognoza nazywamy okresem prognozowania. Natomiast przedział czasowy, dla którego mo

ż

emy

dan

ą

metod

ą

predykcji wyznacza

ć

prognozy, w przypadku predykcji na podstawie klasycznego

modelu liniowego przedział, dla którego mo

ż

emy ekstrapolowa

ć

funkcj

ę

, nazywamy horyzontem

prognozy.

1

Por. Z. Pawłowski, Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN Warszawa 1974,

s. 29 i nast., A. Zelia

ś

, Teoria prognozy, PWE Warszawa 1997 s. 28

dr Dušan Bogdanov

2

Ekonometria 1

Uzasadnione

prognozowanie

ekonometryczne

wymaga

spełnienia

pewnych

warunków

koniecznych, zwanych podstawowymi zało

ż

eniami predykcji, wymienimy je za Z. Pawłowskim

2

:

1. Znajomo

ść

ekonometrycznego modelu dla zmiennej prognozowanej,

2. Stabilno

ść

w czasie relacji strukturalnych,

3. Stabilno

ść

rozkładu składnika losowego,

4. Znajomo

ść

warto

ś

ci zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych w okresie prognozowanym,

5. Dopuszczalno

ść

ekstrapolacji modelu poza prób

ę

statystyczn

ą

.

Zało

ż

enie 1, które mówi,

ż

e do wyznaczania warto

ś

ci pewnej zmiennej w przyszło

ś

ci niezb

ę

dny

jest obja

ś

niaj

ą

cy j

ą

model ekonometryczny. Przy czym znana musi by

ć

posta

ć

analityczna tego

modelu, liczbowe oceny jego parametrów strukturalnych oraz oceny parametrów struktury

stochastycznej, niezb

ę

dne go ustalenia dokładno

ś

ci prognozy.

śą

da si

ę

zwykle znajomo

ś

ci ocen

takich parametrów jak wariancja składnika losowego, macierz wariancji i kowariancji estymatorów

parametrów strukturalnych modelu, współczynnika autokorelacji składnika losowego i współczynnika

zgodno

ś

ci lub determinacji. Taka znajomo

ść

modelu ekonometrycznego obja

ś

niaj

ą

cego pewn

ą

zmienn

ą

endogeniczn

ą

pozwala na wyznaczenie uzasadnionej prognozy tej zmiennej oraz na ocen

ę

dokładno

ś

ci prognozy. Nale

ż

y tu zauwa

ż

y

ć

,

ż

e b

ę

d

ą

cy przedmiotem naszych rozwa

ż

a

ń

klasyczny

model liniowy, który przeszedł pomy

ś

lnie cał

ą

procedur

ę

budowy modelu spełnia omawiany warunek.

Zało

ż

enie 2 głosi,

ż

e w czasie okre

ś

lonym horyzontem prognozy struktura opisywanych przez

model zjawisk i zachodz

ą

cych mi

ę

dzy nimi relacji pozostaje stała, to znaczy nie zmieni

ą

si

ę

ani posta

ć

analityczna modelu, ani zbiór zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych, ani warto

ś

ci parametrów strukturalnych. Jest

to zało

ż

enie dosy

ć

silne, wiele przemawia za tym,

ż

e relacje mi

ę

dzy zjawiskami ekonomicznymi

ulegaj

ą

pewnym zmianom, a model ekonometryczny jest obrazem przeszło

ś

ci, a wi

ę

c wnioskowanie

w dalek

ą

przyszło

ść

jest ograniczone

3

.

Istota zało

ż

enia o stabilno

ś

ci składnia losowego wi

ąż

e si

ę

z mo

ż

liwo

ś

ci

ą

oceny dokładno

ś

ci

predykcji.

Klasyczne zało

ż

enia o stabilno

ś

ci parametrów strukturalnych i parametrów struktury stochastycznej

w praktyce jest zast

ę

powane zało

ż

eniem o „prawie stabilno

ś

ci”.

Zało

ż

enie 4 zwi

ą

zane jest z faktem,

ż

e predykcja jest procesem warunkowym. Prognoza

formułowana jest dla okre

ś

lonych warto

ś

ci zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych i jest wa

ż

na tylko wtedy,

gdy rzeczywi

ś

cie w okresie prognozowanym zmienne obja

ś

niaj

ą

ce przyjm

ą

takie warto

ś

ci. Trafne

ustalenie warto

ś

ci zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych dla okresu prognozowanego stanowi istotny problem

w procesie prognozowania, który te

ż

mo

ż

e by

ć

rozwi

ą

zywany na drodze ekonometrycznej,

na przykład na podstawie trendów tych zmiennych. Tylko w przypadku modeli tendencji rozwojowych

(trendów) nie wyst

ę

puje problem trafnego ustalenia warto

ś

ci zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych.

2

Z. Pawłowski, Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN Warszawa 1974, ss.33,34

3

szersz

ą

dyskusj

ę

na ten temat znajdzie Czytelnik w pracach Z. Pawłowski, Prognozy ekonometryczne, PWN,

Warszawa 1973. Z. Pawłowski, Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN Warszawa
1974, A. Zelia

ś

, Teoria prognozy, PWE, Warszawa 1997, Prognozowanie gospodarcze, pod red. M. Cie

ś

lak,

PWN, Warszawa

dr Dušan Bogdanov

3

Ekonometria 1

Kolejne zało

ż

enie, dopuszczalno

ść

ekstrapolacji modelu poza prób

ę

statystyczn

ą

, jest zdaniem

Z. Pawłowskiego bardzo trudne do zagwarantowania w praktyce i niesie bardzo du

ż

e ryzyko

popełnienia bł

ę

du. W pewnych sytuacjach teoria ekonomii pozwala na formułowanie wniosków

dotycz

ą

cych kształtowania si

ę

wyst

ę

puj

ą

cych w modelu relacji poza obszarem zmienno

ś

ci

obserwowanym w próbie.

Je

ż

eli spełnione s

ą

zało

ż

enia klasycznej teorii predykcji, nale

ż

y wybra

ć

reguł

ę

, na podstawie której

b

ę

dziemy budowali prognoz

ę

zmiennej obja

ś

nianej, to jest zasad

ę

predykcji.

Podstawow

ą

rol

ę

w predykcji odgrywaj

ą

dwie zasady:

•

Zasada predykcji nieobci

ąż

onej.

•

Zasada predykcji według najwi

ę

kszego prawdopodobie

ń

stwa.

Zasada predykcji nieobci

ąż

onej polega na tym,

ż

e prognoz

ę

ustalamy na poziomie warto

ś

ci

oczekiwanej zmiennej prognozowanej w okresie T:

( )

T

Tp

Y

E

y

=

(8.1)

gdzie:

−

Tp

y

warto

ść

prognozy w okresie T

−

T

Y

zmienna prognozowana w o kresie T

Zasada predykcji nieobci

ąż

onej jest uzasadniona wtedy, gdy proces prognozowania jest

wielokrotnie powtarzany, dotyczy na przykład systematycznie prowadzonych bada

ń

(np. powtarzane

prognozy sprzeda

ż

y samochodów, prognozy dochodów, wyposa

ż

enia gospodarstw domowych

w dobra trwałego u

ż

ytku itp.). Wielokrotne dokonywanie prognoz prowadzi do wzajemnego znoszenia

si

ę

popełnionych bł

ę

dów.

W przypadku, gdy wnioskowanie na przyszło

ść

ma charakter jednostkowy zasada predykcji

nieobci

ąż

onej traci swoje uzasadnienie i wówczas proponuje si

ę

zasad

ę

predykcji według

najwi

ę

kszego prawdopodobie

ń

stwa.

Zasada predykcji według najwi

ę

kszego prawdopodobie

ń

stwa na tym,

ż

e prognoz

ę

ustala si

ę

na poziomie modalnej

( )

o

M

rozkładu zmiennej

T

Y

.

( )

T

o

Tp

Y

M

y

=

(8.2)

W przypadku zmiennej skokowej jest warto

ść

najcz

ę

stsza, a w przypadku zmiennej ci

ą

głej

maksimum funkcji g

ę

sto

ś

ci.

W przypadku, gdy warto

ść

oczekiwana rozkładu zmiennej

T

Y

jest równa jej modalnej obie zasady

prowadz

ą

do tych samych prognoz. Nale

ż

y zauwa

ż

y

ć

,

ż

e cz

ę

sto przyjmuje si

ę

,

ż

e rozpatrywane

zmienne maj

ą

rozkład normalny, w którym wła

ś

nie warto

ść

oczekiwana jest równa dominancie.

W predykcji bardzo wa

ż

n

ą

rol

ę

odgrywa ocena dokładno

ś

ci prognoz, czyli ocena efektywno

ś

ci

predykcji. Mo

ż

e ona by

ć

dokonywana przez:

dr Dušan Bogdanov

4

Ekonometria 1

•

podanie spodziewanej warto

ś

ci odchyle

ń

rzeczywistych realizacji zmiennej prognozowanej

od prognozy, czyli ocena dokładno

ś

ci ex ante,

•

obliczenie

ś

redniego bł

ę

du prognozy na podstawie prognoz zrealizowanych (wygasłych),

czyli ocena dokładno

ś

ci ex post.

Podstawowym miernikiem efektywno

ś

ci predykcji jest wariancja predykcji, definiowana wzorem:

(

)

2

2

Tp

T

y

Y

E

V

−

=

(8.3)

jest to wi

ę

c

ś

rednia kwadratów odchyle

ń

zmiennej prognozowanej od warto

ś

ci prognozy. Pierwiastek

z wariancji predykcji nazywamy bł

ę

dem

ś

rednim predykcji. Mierzy on o ile

ś

rednio w długim czasie

prawdziwe warto

ś

ci zmiennej

T

Y

b

ę

d

ą

odchyla

ć

si

ę

od prognozy.

W dalszych rozwa

ż

aniach ograniczymy si

ę

do prognozy nieobci

ąż

onej wyznaczonej na podstawie

klasycznego modelu liniowego. Przyjmujemy,

ż

e spełnione s

ą

klasyczne zało

ż

enia predykcji.

Klasyczny model liniowy, zgodnie z oznaczeniami przyj

ę

tymi wcze

ś

niej mo

ż

na zapisa

ć

w postaci:

ε

α

+

=

X

Y

(8.4)

Wyznaczony metod

ą

najmniejszych kwadratów estymator parametrów tego modelu wyra

ż

a si

ę

wzorem:

(

)

Y

X

X

X

a

T

T

1

−

=

(8.5)

w wyniku estymacji otrzymujemy nast

ę

puj

ą

c

ą

posta

ć

modelu:

e

a

X

Y

+

=

(8.6)

( )

Y

X

X

X

X

Y

e

T

T

1

−

−

=

(8.7)

Macierz wariancji i kowariancji estymatora

a

wyra

ż

a si

ę

wzorem:

( )

( )

1

2

2

−

=

X

X

a

D

T

σ

(8.8)

Nieobci

ąż

onym estymatorem wariancji składnika losowego jest:

k

n

e

e

s

T

−

=

2

(8.9)

dr Dušan Bogdanov

5

Ekonometria 1

Nale

ż

y dokona

ć

predykcji zmiennej endogenicznej

Y

na okres T, przy zastosowaniu predykcji

nieobci

ąż

onej. Warto

ś

ci zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych w okresie T oznaczymy:

[

]

,

,...

,

2

1

Tk

T

T

T

x

x

x

x

=

( ) (

)

( )

α

ε

α

ε

α

T

t

T

T

T

T

Tp

x

E

x

x

E

Y

E

y

=

+

=

+

=

=

(8.10)

Poniewa

ż

w praktyce nie dysponujemy parametrami modelu tylko ich ocenami, wyznaczanie

prognozy przeprowadza si

ę

na podstawie oszacowanego modelu, czyli:

( )

( )

α

T

T

T

x

a

E

x

a

x

E

=

=

(8.11)

wyznaczmy wariancj

ę

α

p

x

:

( ) (

)

(

)

[

]

{

}

=

−

=

−

=

2

2

2

α

α

a

x

E

x

a

x

E

a

x

D

T

T

T

T

(

)(

)

[

]

( )

T

T

T

T

T

T

x

a

E

x

x

a

a

x

E

=

−

−

=

α

α

(8.12)

stad:

( )

( )

T

T

T

T

T

x

X

X

x

a

x

D

1

2

2

−

=

σ

(8.13)

Wyznaczmy teraz wariancj

ę

zmiennej losowej

(

)

(

)

ε

α

+

−

=

+

−

=

−

=

T

T

T

TP

T

TP

x

a

x

e

x

y

Y

y

Z

ˆ

ˆ

(

)

ε

α

−

−

=

a

x

Z

T

( )

(

)

(

)

[

]

(

)

( )

( )

ε

ε

α

ε

α

2

2

2

2

2

D

a

x

D

a

x

D

x

a

x

D

Z

D

T

T

T

T

+

=

−

−

=

+

−

=

( )

( )

(

)

T

T

T

T

x

X

X

x

Z

D

1

2

2

1

−

+

=

σ

(

)

( )

(

)

T

T

T

T

T

TP

x

X

X

x

Y

y

D

1

2

2

1

ˆ

−

+

=

−

σ

(8.14)

Wariancja zmiennej losowej odchyle

ń

oceny prognozy od prognozy okre

ś

la dokładno

ść

prognozy

ex ante.

dr Dušan Bogdanov

6

Ekonometria 1

Wnioski z powy

ż

szych rozwa

ż

a

ń

mo

ż

emy sformułowa

ć

w postaci nast

ę

puj

ą

cego twierdzenia:

Twierdzenie:

Je

ż

eli dana jest, wyznaczona KMNK, ocena

Xa

Y

=

ˆ

klasycznego modelu liniowego

ε

α

+

=

X

Y

oraz, spełnione s

ą

klasyczne zało

ż

enia teorii predykcji to

a

x

y

T

Tp

=

ˆ

jest

najefektywniejszym nieobci

ąż

onym estymatorem liniowym prognozy

α

T

Tp

x

y

=

, a

ś

redni bł

ą

d tej

prognozy wyra

ż

a si

ę

wzorem:

( )

T

T

T

T

Tp

x

X

X

x

s

S

1

1

−

+

=

(8.15)

Powy

ż

sze twierdzenie daje nam teoretyczne podstawy budowania prognoz na podstawie

jednorównaniowego modelu ekonometrycznego i dotyczy ostatniego szóstego etapu modelowania

i analizy zjawisk ekonomicznych przy wykorzystaniu modeli ekonometrycznych.

Pytania kontrolne

1. Wyja

ś

nij, na czym polega ró

ż

nica pomi

ę

dzy predykcj

ą

a prognoz

ą

.

2. Wyja

ś

nij poj

ę

cia okres prognozy i horyzont prognozy.

3. Omów znaczenie klasycznych zało

ż

e

ń

teorii predykcji.

4. Omów trudno

ś

ci spełnienia w praktyce zało

ż

e

ń

teorii predykcji.

5. Wymie

ń

i zdefiniuj podstawowe zasady predykcji.

6. Zdefiniuj estymator prognozy na podstawie klasycznego modelu liniowego.

7. Jak ocenia si

ę

dokładno

ść

prognozy uzyskanej na podstawie klasycznego modelu

liniowego?