Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej

10.9.2010r

KAŻDE ZADANIE PROSZĘ ROWZIĄZAĆ NA OSOBNEJ KARTCE.

ŻYCZYMY POWODZENIA!!!

Zadanie 1 [4 pkt]

Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej

∫

−



2

∞

arc tg x

x

2



dx

Zadanie 2 [6 pkt]

a) Proszę sformułować twierdzenie o funkcji uwikłanej

y = y  x 

opisanej przez

równanie

F  x , y = 0

.

b) Proszę wykazać, że równanie

2  x

3



y

3

=

e

x



e

y

wyznacza dokładnie jedną funkcję uwikłaną

y = y  x 

w otoczeniu punktu



0, 0

.

c) Proszę znaleźć równanie stycznej do krzywej opisanej powyższym równaniem w

punkcie



0, 0

.

Zadanie 3 [4 pkt]

Proszę znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji

f  x , y , z = 2 x

2



y

2



z

2

−

2 x y  4 z − x

Zadanie 4 [5 pkt]

Niech odwzorowanie

f : ℝ

2

 ℝ

2

będzie dane wzorem

f  x , y = 3

x

sin y , 3

x

cos y

.

Proszę

a) sprawdzić, czy

f

jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie płaszczyzny,

b) sprawdzić, czy

f

jest globalnie odwracalne,

c) obliczyć pochodną odwzorowania

f

−

1

w punkcie

f



0, 



.

Zadanie 5 [6 pkt]

a) Proszę podać definicję róniczkowalności funkcji

f : ℝ

n

 ℝ

w punkcie

x

0

∈ ℝ

n

.

b) Proszę zbadać różniczkowalność funkcji

f  x , y =

{

x

6



y

6

x

4



y

4

, dla  x , y  ≠ 0, 0

0, dla  x , y = 0, 0

}

w punkcie



0, 0

.