5

Struktury algebraiczne

5.1.

Niech m ∈ N i a, b ∈ Z. Wykazać, że

(a) (a + b) MOD m = [(a MOD m) + (b MOD m)] MOD m,

(b) (a · b) MOD m = [(a MOD m) · (b MOD m)] MOD m.

Wywnioskować stąd, że działania modularne są łączne w zbiorze Z

m

(3)

5.2.

Wykazać, że

(a) Dla żadnej liczby całkowitej p > 2 działanie +

p

nie jest wewnętrzne w zbiorach

Z

+
p

i Z

⊥
p

.

(1)

(b) Działanie ·

p

jest wewnętrzne w zbiorze Z

⊥
p

dla każdej liczby całkowitej p > 1. (1)

5.3.

Zbadać, czy istnieje wskazany element odwrotny, a jeśli tak, to wyznaczyć go.

(a) 195

−1

mod 221,

(1)

(b) 144

−1

mod 233.

(1)

5.4.

(a) Znaleźć wszystkie podgrupy grupy (Z

+
5

, ·

5

).

(1)

(b) Dla znalezionych podgrup wykazać, że istnieją ich izomorfizmy z pewnymi gru-

pami (Z

m

,

+

m

).

(2)

(c) Czy osiągnięte rezultaty można uogólnić na przypadek dowolnej grupy (Z

p

, ·

p

),

gdzie p jest liczbą pierwszą?

(2)