Z10/5. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 5
1
Z10/5. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 5
Z10/5.1. Zadanie 5
Narysować wykres naprężenia normalnego σX w przekroju A-A betonowej ściany zbiornika z wodą przedstawionego na rysunku Z10/5.1 w przypadku nie przenoszenia przez beton naprężeń rozciągających oraz w przypadku przenoszenia przez beton tych naprężeń. Wymiary ściany zbiornika podane są w metrach.
Ciężar własny wody wynosi
kN
=10,0
.
W
(Z10/5.1)
m 3
Ciężar własny betonu ciężkiego wynosi kN
=40,0
.
B
(Z10/5.2)
m 3
2,4
H 0
2
5,0
4,5
A
A
[m]
Rys. Z10/5.1. Betonowa ściana zbiornika z wodą Z10/5.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A Wszystkie obciążenia czynne oraz siły przekrojowe będziemy odnosić do wycinka ściany zbiornika o długości 1 metra. Wycinek taki przedstawia rysunek Z10/5.2. Obciążeniem ściany zbiornika będzie jej ciężar własny oraz ciśnienie wody w zbiorniku. Na głębokości h ciśnienie wody wynosi p= ⋅ h .
(Z10/5.3)
W
Na dnie zbiornika na głębokości 4,5 metra ciśnienie wody wynosi więc kN
p =10,0⋅4,5=45,0
=45,0 kPa .
h
(Z10/5.4)
m 2
Ciężar własny betonowej ściany, równy iloczynowi objętości wycinka ściany przez ciężar własny betonu, (Z10/5.2) przyłożony jest w środku prostopadłościanu i ma wartość Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/5. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 5
2
1,0
[m]
Rys. Z10/5.2. Wycinek ściany zbiornika o długości 1 metra 2,4
1,2 1,2
N
5,0
0 k
4,5
80,
Q=4
p =45,0 kPa
[m]
h
Rys. Z10/5.3. Obciążenie czynne działające na betonową ścianę zbiornika Q=40,0⋅2,4⋅5,0⋅1,0=480,0 kN .
(Z10/5.5)
Rysunek Z10/5.3 przedstawia obciążenie czynne, które działa na wycinek ściany betonowej zbiornika o dłu-gości 1 metra.
Trójkątne obciążenie ciśnieniem wody możemy zastąpić jego siłą wypadkową, która jest równa obję-
tości klina o podstawie trójkąta prostokątnego i wysokości 1 metra. Zgodnie z rysunkiem Z10/5.3 siła ta wynosi
1
W = ⋅45,0⋅4,5⋅1,0=101,3 kN .
(Z10/5.6)
2
Jej położenie przedstawia rysunek Z10/5.4.
Rysunek Z10/5.5 przedstawia część ściany zbiornika z przyjętym dodatnim zwrotem siły normalnej i momentu zginającego oraz obciążeniem czynnym. Wartości i zwrotu siły poprzecznej nie będziemy wyzna-czać, ponieważ nie jest ona nam potrzebna do wyznaczenia naprężeń normalnych. Na rysunku tym zazna-czone są także osie układu współrzędnych związanego z przekrojem A-A. Przyjęte na rysunku Z10/5.5
zwroty sił przekrojowych są dodatnie, ponieważ siła normalna jest rozciągająca natomiast moment zginający MY rozciąga dolną część przekroju A-A czyli punkty o dodatnich współrzędnych z.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/5. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 5
3
2,4
1,2 1,2
N
N
⋅4,5
k
2
3
5,0
0 k
80,
01,3
4,5
=1
Q=4
W
4,5
1 ⋅ 3
p =45,0 kPa
h
[m]
Rys. Z10/5.4. Położenie wypadkowej z ciśnienia wody na betonową ścianę zbiornika 2,4
1,2 1,2
⋅4,5
kN
2
3
5,0
5
0,0
W=101,3 kN
4,
48
Q=
4,5
1 ⋅ 3
[m]
Z=Zgl
MY
N
X
Rys. Z10/5.5. Przyjęte zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A Siła normalna wynosi
N =−480,0 kN .
(Z10/5.7)
Moment zginający MY wynosi 1
M =101,3⋅ ⋅4,5=152,0 kNm .
(Z10/5.8)
Y
3
Rysunek Z10/5.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A dla obu części ściany zbiornika.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/5. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 5
4
2,4
1,2 1,2
N
⋅4,5
0
2
3
5,
0 k
W=101,3 kN
80,
4,5
Q=4
4,5
1 ⋅ 3
Z=Zgl
152,0 kNm
480,0 kN
X
X
480,0 kN
152,0 kNm
Z=Zgl
[m]
Y=Ygl
Rys. Z10/5.6. Prawidłowe zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A 480,0 kN
152,0 kNm
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,4
Rys. Z10/5.7. Siły przekrojowe w przekroju A-A Rysunek Z10/5.7 przedstawia dolny przekrój A-A z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Mimośród siły normalnej wynosi
152,0
z =
=−0,3167 m .
(Z10/5.9)
N
−480,0
Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek Z10/5.8. Wierzchołek rdzenia przekroju znajdujący się na osi Z=Zgl wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/5. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 5
5
0,3167
480,0 kN
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,4
Rys. Z10/5.8. Siła normalna na mimośrodzie 2,4 =0,4 m .
(Z10/5.10)
6
Wartość bezwzględna mimośrodu zN (Z10/5.9) jest mniejsza niż (Z10/5.10) więc siła normalna znajduje się w rdzeniu. Pole powierzchni przekroju wynosi A=2,4⋅1,0 =2,4 m 2 .
(Z10/5.11)
Moment bezwładności względem osi głównej Y=Ygl wynosi 1,0
J
⋅2,43
=
=1,152 m 4 .
(Z10/5.12)
Y
12
Funkcja naprężeń normalnych σX wynosi
−480,0 152,0
=
⋅ z=−200,0131,9⋅ z .
(Z10/5.13)
X
2,4
1,152
Oś obojętna ma postać
−200,0131,9⋅ z=0 .
(Z10/5.14)
Możemy ją zapisać jako
z =1,516 .
(Z10/5.15)
Równanie (Z10/5.15) określa nam prostą równoległą do osi Y=Ygl. Prosta ta znajduje się już poza przekrojem prostokątnym z prawej strony. Czyli naprężenia normalne należy wyznaczyć w punktach A i B przed-stawionych na rysunku Z10/5.9. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/5. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 5
6
1,516
A
B
1,0
Z=Zgl
Y=Y gl
[m]
2,4
Rys. Z10/5.9. Oś obojętna
kN
A=−200131,9⋅−1,2=−358,3
=−358,3 kPa ,
X
(Z10/5.16)
m 2
kN
B=−200131,9⋅1,2=−41,72
=−41,72 kPa .
X
(Z10/5.17)
m 2
Wykres naprężenia normalnego przedstawia rysunek Z10/5.10. Wykres ten będzie identyczny dla materiału, który przenosi naprężenie normalne rozciągające, ponieważ siła normalna ściskająca znajduje się wewnątrz rdzenia przekroju i w przekroju prostokątnym nie ma naprężeń rozciągających.
1,516
B
Z=Z
A
gl
1,0
aP
41,72 kPa
3 k
Y=Y gl
[m]
358,
2,4
aP
3 k
41,72 kPa
358,
Rys. Z10/5.10. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym Dr inż. Janusz Dębiński