Z10/9. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 9
1
Z10/9. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 9
Z10/9.1. Zadanie 9
Narysować wykres naprężenia normalnego σX w przekroju A-A betonowej ściany zbiornika z wodą przedstawionego na rysunku Z10/9.1 w przypadku nie przenoszenia przez beton naprężeń rozciągających oraz w przypadku przenoszenia przez beton tych naprężeń. Wymiary ściany zbiornika podane są w metrach.
Ciężar własny wody wynosi
kN
=10,0
.
W
(Z10/9.1)
m 3
Ciężar własny betonu zwykłego wynosi kN
=25,0
.
B
(Z10/9.2)
m 3
2,0
H O
2
6,0
4,5
A
A
[m]
2,9
Rys. Z10/9.1. Betonowa ściana zbiornika z wodą Z10/9.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A Wszystkie obciążenia czynne oraz siły przekrojowe będziemy odnosić do wycinka ściany zbiornika o długości 1 metra. Wycinek taki przedstawia rysunek Z10/9.2. Obciążeniem ściany zbiornika będzie jej ciężar własny oraz ciśnienie wody w zbiorniku. Na głębokości h ciśnienie wody wyznaczać będziemy ze wzoru
p= ⋅ h .
(Z10/9.3)
W
Jak więc widać ciśnienie rośnie liniowo wraz ze wzrostem głębokości. Na dnie zbiornika na głębokości 4,5
metra ciśnienie wody wynosi więc
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/9. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 9
2
1,0
[m]
Rys. Z10/9.2. Wycinek ściany zbiornika o długości 1 metra 2,0
1,0
1,0
H O
2
N k
6,0
00,0
N
3
4,5
k
= 1Q
7,5
=6 2Q
0,6
0,3
p =45,0 kPa
h
[m]
2,9
Rys. Z10/9.3. Obciążenie czynne działające na betonową ścianę zbiornika kN
p =10,0⋅4,5=45,0
=45,0 kPa .
h
(Z10/9.4)
m 2
Przekrój ściany betonowej, który ma kształt trapezu, rozłożymy na prostokąt i trójkąt prostokątny. Przedstawia to rysunek Z10/9.3. Ciężar części ściany o przekroju prostokątnym wynosi Q =25,0⋅2,0⋅6,0⋅1,0=300,0 kN .
(Z10/9.5)
1
Ciężar części ściany o przekroju trójkątnym wynosi 1
Q =25,0⋅ ⋅0,9⋅6,0⋅1,0=67,5 kN .
(Z10/9.6)
2
2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/9. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 9
3
Trójkątne obciążenie ciśnieniem wody możemy zastąpić jego siłą wypadkową, która jest równa obję-
tości klina o podstawie trójkąta prostokątnego i wysokości 1 metra. Zgodnie z rysunkiem Z10/9.3 siła ta wynosi
1
W = ⋅45,0⋅4,5⋅1,0=101,3 kN .
(Z10/9.7)
2
Jej położenie przedstawia rysunek Z10/9.4.
2,0
1,0
1,0
H O
2
kN
kN
6,0
0,0
,3
2 ⋅4,5 3
30
101
kN
4,5
=
=
1
Q
W
7,5
=6 2
4,5
Q
1 ⋅ 3
p =45,0 kPa
h
[m]
0,6
0,3
2,9
Rys. Z10/9.4. Położenie wypadkowej z ciśnienia wody na betonową ścianę zbiornika Rysunek Z10/9.5 przedstawia część ściany zbiornika z przyjętym dodatnim zwrotem siły normalnej i momentu zginającego oraz obciążeniem czynnym. Wartości i zwrotu siły poprzecznej nie będziemy wyznaczać, ponieważ nie jest ona nam potrzebna do wyznaczenia naprężeń normalnych. Na rysunku tym zazna-czone są także osie układu współrzędnych związanego z przekrojem A-A. Przyjęte na rysunku Z10/9.5
zwroty sił przekrojowych są dodatnie, ponieważ siła normalna jest rozciągająca natomiast moment zginający MY rozciąga dolną część przekroju A-A czyli punkty o dodatnich współrzędnych z.
Siła normalna wynosi
N =−300,0−67,5=−367,5 kN .
(Z10/9.8)
Moment zginający MY wynosi 1
M =101,3⋅ ⋅4,5−300,0⋅1,45−1,067,5⋅1,45−0,6 =74,33 kNm .
(Z10/9.9)
Y
3
Rysunek Z10/9.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A dla obu części ściany zbiornika.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/9. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 9
4
2,0
1,0
1,0
N
0
k
6,
0,6
0,3
0,0
2 ⋅4,5 3
30
5
N
4,
= 1
W=101,3 kN
5 k
Q
67, =
4,5
2
⋅
Q
1
3
Z=Z
M
gl
Y
N
[m]
X
1,45
1,45
Rys. Z10/9.5. Przyjęte zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A 2,0
1,0
1,0
N
0
k
6,
0,6
0,3
0,0
2 ⋅4,5 3
30
5
N
=
4,
1
W=101,3 kN
5 k
Q
67, =
4,5
2
⋅
Q
1
3
Z=Zgl
74,33 kNm
367,5 kN
[m]
X
1,45
1,45
X
367,5 kN
74,33 kNm
Z=Zgl
Y=Ygl
Rys. Z10/9.6. Prawidłowe zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/9. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 9
5
367,5 kN
74,33 kNm
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,9
Rys. Z10/9.7. Siły przekrojowe w przekroju A-A 0,2023
367,5,0 kN
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,9
Rys. Z10/9.8. Siła normalna na mimośrodzie Rysunek Z10/9.7 przedstawia dolny przekrój A-A z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Mimośród siły normalnej wynosi
74,33
z =
=−0,2023 m .
(Z10/9.10)
N
−367,5
Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek Z10/9.8. Wierzchołek rdzenia przekroju znajdujący się na osi Z=Zgl wynosi
2,9 =0,4833 m .
(Z10/9.11)
6
Wartość bezwzględna mimośrodu zN (Z10/9.10) jest mniejsza niż (Z10/9.11) więc siła normalna znajduje się w rdzeniu. Pole powierzchni przekroju wynosi A=2,9⋅1,0=2,9 m 2 .
(Z10/9.12)
Moment bezwładności względem osi głównej Y=Ygl wynosi Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/9. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 9
6
3,464
A
B
1,0
Z=Zgl
Y=Y gl 2,9
[m]
Rys. Z10/9.9. Oś obojętna
3,464
B
A
1,0
Z=Zgl
Y=Y gl
[m]
Pa
7
6 k
a
179, kP
73,6
2,9
73,66 kPa
179,7 kPa
Rys. Z10/9.10. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym 1,0
J
⋅2,93
= J =
=2,032 m 4 .
(Z10/9.13)
Y
Ygl
12
Funkcja naprężeń normalnych σX wynosi
−367,5
74,33
=
⋅ z=−126,736,58⋅ z .
(Z10/9.14)
X
2,9
2,032
Oś obojętna ma postać
−126,736,58⋅ z =0 .
(Z10/9.15)
Możemy ją zapisać jako
z =3,464 .
(Z10/9.16)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/9. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 9
7
Równanie (Z10/9.16) określa nam prostą równoległą do osi Y=Ygl. Prosta ta znajduje się już poza przekrojem prostokątnym z prawej strony. Czyli naprężenia normalne należy wyznaczyć w punktach A i B przed-stawionych na rysunku Z10/9.9. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą kN
A=−126,736,58⋅−1,45=−179,7
=−179,7 kPa ,
X
(Z10/9.17)
m 2
kN
B=−126,736,58⋅1,45=−73,66
=−73,66 kPa .
X
(Z10/9.18)
m 2
Wykres naprężenia normalnego przedstawia rysunek Z10/9.10. Wykres ten będzie identyczny dla materiału, który przenosi naprężenie normalne rozciągające, ponieważ siła normalna ściskająca znajduje się wewnątrz rdzenia przekroju i w przekroju prostokątnym nie ma naprężeń rozciągających.
Dr inż. Janusz Dębiński