Całka podwójna

DEFINICJA
Podziałem prostok ta

{{{{

}}}}

2

R : ( x, y )

: a x b, c y d

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

nazywa si zbiór

P zło ony

z prostok tów

1

n

R ,...,R , n

,

∈

∈

∈

∈

które całkowicie wypełniaj prostok t

R i maj parami

rozł czne wn trza.

Przyjmujemy nast puj ce oznaczenia:

1

k

k

x , y , k

,...,n

∆

∆

====

- wymiary prostok ta

k

R

(((( )))) (((( ))))

2

2

1

k

k

k

d :

x

y

, k

,...,n

∆

∆

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

- długo przek tnej prostok ta

k

R

(((( ))))

{{{{

}}}}

1

k

P : max d : k

,...,n

δ

=

=

=

=

=

=

=

=

- rednica podziału

P

((((

))))

{{{{

}}}}

1

k

k

k

:

x , y

R : k

,...,n

Θ

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

=

∈

=

=

∈

=

=

∈

=

=

∈

=

- zbiór punktów po rednich podziału P

DEFINICJA

Niech

f : R →

→

→

→ b dzie ograniczona na prostok cie R oraz niech P b dzie podziałem tego

prostok ta, a

Θ zbiorem punktów po rednich. SUM CAŁKOW FUNKCJI f

odpowiadaj c podziałowi

P oraz punktom po rednim Θ nazywa si liczb

((((

))))

((((

))))

(((( ))))(((( ))))

1

n

k

k

k

k

k

f , P :

f x , y

x

y

σ

∆

∆

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

====

====

Interpretacja geometryczna sumy całkowej

z f ( x, y )

=

R

k

R

k

y

∆

k

x

∆

k

y

∗

k

x

∗

(

)

k

k

k

z

f x , y

∗

∗

∗

=

•

( )

∗

x

z

y

0

•

UWAGA

Suma całkowa funkcji po prostok cie jest przybli eniem obj to ci bryły ograniczonej

wykresem funkcji

z = f (x , y), le cym nad prostok tem R oraz płaszczyzn XOY, przez

sum obj to ci prostopadło cianów o podstawach

k

R

i wysoko ciach

((((

))))

1

k

k

f x , y , k

,...,n, n

.

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

DEFINICJA

CAŁK PODWÓJN PO PROSTOK CIE R Z FUNKCJI f ograniczonej na

prostok cie

R definiuje si wzorem

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))(((( ))))

0

1

n

k

k

k

k

P

k

R

f x, y dxdy : lim

f x , y

x

y

δ

∆

∆

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

→

→

→

→

====

====

o ile granica jest wła ciwa i nie zale y od wyboru podziału

P prostok ta R

i punktów po rednich

Θ

.

Mówimy wtedy, e

FUNKCJA f JEST CAŁKOWALNA

NA PROSTOK CIE R.

Interpretacja geometryczna całki podwójnej
(i) Je eli

((((

))))

((((

))))

((((

))))

{{{{

}}}}

3

2

0

B

x, y,z

: x, y

R

,

z f x, y

=

∈

∈ ⊂

≤ ≤

=

∈

∈ ⊂

≤ ≤

=

∈

∈ ⊂

≤ ≤

=

∈

∈ ⊂

≤ ≤

, to

((((

))))

R

V

f x, y dxdy

====

.

(ii) Je eli

((((

))))

((((

))))

((((

))))

{{{{

}}}}

3

2

0

B

x, y,z

: x, y

R

, f x, y

z

=

∈

∈ ⊂

≤ ≤

=

∈

∈ ⊂

≤ ≤

=

∈

∈ ⊂

≤ ≤

=

∈

∈ ⊂

≤ ≤

, to

((((

))))

R

V

f x, y dxdy

= −

= −

= −

= −

.

UWAGA

(i) Je eli funkcja

f jest całkowalna na prostok cie R, to dla dowolnego podziału tego

prostok ta na prostok ty

1

2

R ,R

o rozł cznych wn trzach zachodzi równo

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

1

2

1

2

R

R R

R

R

f x, y dxdy

f x, y dxdy

f x, y dxdy

f x, y dxdy

∪

∪

∪

∪

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

+

z f ( x, y )

=

R

x

z

y

0

2

R

1

R

( )

R

V

f x, y dxdy

=

( )

1

1

R

V

f x, y dxdy

=

( )

2

2

R

V

f x, y dxdy

=

1

2

V V V

= +

(ii) Niech funkcje

f, g b d całkowalne na prostok cie R oraz niech

,

α β ∈

∈

∈

∈

. Wtedy

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

R

R

R

f x, y

g x, y dxdy

f x, y dxdy

g x, y dxdy

α

β

α

β

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

(iii) Funkcja ci gła na prostok cie

R jest na nim całkowalna.

TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki podwójnej po prostok cie)

(o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Je eli funkcja

f : R →

→

→

→

jest całkowalna na prostok cie

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

R : a,b

c,d

=

×

=

×

=

×

=

×

oraz dla ka dego

[[[[ ]]]]

x

a,b

∈

∈

∈

∈

istnieje całka

((((

))))

d

c

f x, y dy,

to istnieje całka iterowana

((((

))))

b

d

a

c

f x, y dy dx

i zachodzi równo

((((

))))

((((

))))

b

d

R

a

c

f x, y dxdy

f x, y dy dx

====

DEFINICJA (całki podwójnej po dowolnym obszarze)
Niech

2

D ⊂

⊂

⊂

⊂

b dzie obszarem ograniczonym. Niech

f : D →

→

→

→ b dzie ograniczona na D

oraz niech

R D

⊃

⊃

⊃

⊃ b dzie prostok tem zawieraj cym obszar D. Ponadto niech funkcja

((((

))))

((((

)))) ((((

))))

((((

))))

0

f x, y , x, y

D

f x, y :

, x, y

R \ D

∗∗∗∗

∈

∈

∈

∈

====

∈

∈

∈

∈

CAŁK PODWÓJN Z FUNKCJI f PO OBSZARZE D definiuje si wzorem

((((

))))

((((

))))

D

R

f x, y dxdy :

f x, y dxdy

∗∗∗∗

====

o ile całka po prawej stronie istnieje. Mówimy wtedy, e

FUNKCJA f JEST

CAŁKOWALNA NA OBSZARZE D.

UWAGA
Całka

((((

))))

R

f x, y dxdy

∗∗∗∗

nie zale y od wyboru prostok ta

R.

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

((((

))))

B

D

V

f x, y dxdy

====

((((

))))

((((

))))

((((

))))

{{{{

}}}}

3

0

B

x, y,z

: x, y

D,

z f x, y

=

∈

∈

≤ ≤

=

∈

∈

≤ ≤

=

∈

∈

≤ ≤

=

∈

∈

≤ ≤

DEFINICJA (obszarów normalnych wzgl dem osi OX, OY)
(i) Obszar domkni ty

2

D ⊂

⊂

⊂

⊂

nazywa si

OBSZAREM NORMALNYM WZGL DEM

OSI OX, gdy

((((

))))

{{{{

}}}}

2

D

x, y

: a x b, ( x ) y

( x ) ,

ϕ

ψ

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

gdzie

,

ϕ ψ s funkcjami okre lonymi i ci głymi w [a,b] takimi, e

[[[[ ]]]]

( x )

( x ), x

a,b

ϕ

ψ

≤

∈

≤

∈

≤

∈

≤

∈

.

(ii) Obszar domkni ty

2

D ⊂

⊂

⊂

⊂

nazywa si

OBSZAREM NORMALNYM WZGL DEM

OSI OY, gdy

((((

))))

{{{{

}}}}

2

D

x, y

: c y d , h( y ) x g( y ) ,

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

gdzie

h, g s funkcjami okre lonymi i ci głymi w [c,d] takimi, e

[[[[ ]]]]

h( y ) g( y ), y

c,d

≤

∈

≤

∈

≤

∈

≤

∈

.

TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki podwójnej po obszarze normalnym wzgl dem OX)
Je eli funkcja

f : D →

→

→

→

jest całkowalna w obszarze

2

D ⊂

⊂

⊂

⊂

normalnym wzgl dem osi

OX, to

((((

))))

((((

))))

( x )

b

D

a

( x )

f x, y dxdy

f x, y dy dx

ψ

ϕ

====

UWAGA (o całce po prostok cie)

Je eli funkcja

f : R →

→

→

→

jest całkowalna w prostok cie

{{{{

}}}}

2

R : ( x, y )

: a x b, c y d

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

=

∈

≤ ≤

≤ ≤

to

((((

))))

((((

))))

b

d

R

a

c

f x, y dxdy

f x, y dy dx

====

DEFINICJA (obszaru regularnego)
Obszar

2

D ⊂

⊂

⊂

⊂

nazywa si

OBSZAREM REGULARNYM, gdy mo na go podzieli na

sko czon ilo obszarów normalnych wzgl dem osi

OX lub OY o wn trzach parami

rozł cznych.

TWIERDZENIE (o całce podwójnej po obszarze regularnym)
Niech obszar regularny

2

D ⊂

⊂

⊂

⊂

b dzie sum obszarów normalnych

1

n

D ,..., D

o wn trzach

parami rozł cznych oraz niech funkcja

f b dzie całkowalna na tym obszarze. Wtedy

1

k

n

k

D

D

f ( x, y )dxdy

f ( x, y )dxdy

====

====

DEFINICJA

Niech

, D

∆

b d obszarami odpowiednio na płaszczyznach

uOv, xOy.

PRZEKSZTAŁCENIEM OBSZARU ∆ W OBSZAR D nazywa si funkcj

:

D

∆

ℑ

→

ℑ

→

ℑ

→

ℑ

→

okre lon wzorem

((((

))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

((((

))))

(((( ))))

x, y

u,v

u,v ,

u,v , u,v

ϕ

ψ

∆

= ℑ

=

∈

= ℑ

=

∈

= ℑ

=

∈

= ℑ

=

∈

OBRAZEM ZBIORU ∆ przy przekształceniu ℑ

ℑ

ℑ

ℑ nazywa si zbiór

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

:

x, y : x

u,v , y

u,v , u,v

∆

ϕ

ψ

∆

ℑ

=

=

=

∈

ℑ

=

=

=

∈

ℑ

=

=

=

∈

ℑ

=

=

=

∈

Przekształcenie

ℑ

ℑ

ℑ

ℑ nazywa si RÓ NOWARTO CIOWYM, gdy ró nym punktom

z

∆ przyporz dkowane s ró ne punkty z D.

DEFINICJA

JACOBIANEM PRZEKSZTAŁCENIA

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

((((

))))

(((( ))))

u,v

u,v ,

u,v , u,v

ϕ

ψ

∆

ℑ

=

∈

ℑ

=

∈

ℑ

=

∈

ℑ

=

∈

nazywa si funkcj okre lon wzorem

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

u,v

u,v

,

u

v

J u,v

: det

u,v

u,v

u,v

u

v

ϕ

ϕ

ϕ ψ

ψ

ψ

ℑ

ℑℑ

ℑ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

=

=

=

=

=

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

TWIERDZENIE (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)

Niech

(i) przekształcenie

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

x

u,v

:

, u,v

y

u,v

ϕ

∆

ψ

====

ℑ

∈

ℑ

∈

ℑ

∈

ℑ

∈

====

odwzorowuje ró nowarto ciowo wn trze

obszaru regularnego

∆

na wn trze obszaru regularnego

D

(ii) funkcje

,

ϕ ψ

maj ci głe pochodne cz stkowe rz du pierwszego na pewnym zbiorze

otwartym zawieraj cym obszar

∆

(iii) funkcja

f b dzie ci gła na obszarze D

(iv) jacobian

J

ℑ

ℑℑ

ℑ

przekształcenia

ℑ

ℑ

ℑ

ℑ

jest ró ny od zera wewn trz

∆

Wtedy

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

D

f ( x, y )dxdy

f (

u,v ,

u,v ) J u,v dudv

∆

ϕ

ψ

ℑ

ℑℑ

ℑ

====

DEFINICJA (współrz dnych biegunowych)
Poło enie punktu

P na płaszczy nie XOY mo na opisa przy pomocy pary liczb

(((( ))))

, ,

ϕ ρ

gdzie

ϕ oznacza miar k ta mi dzy dodatni cz ci osi OX a promieniem wodz cym punktu

P

[[[[

]]]]

[[[[

]]]]

((((

))))

0 2

,

lub

,

;

ϕ

π

ϕ

π π

∈

∈ −

∈

∈ −

∈

∈ −

∈

∈ −

Natomiast

ρ oznacza odległo punktu P od pocz tku

układu współrz dnych

((((

))))

0

.

ρ ≥≥≥≥

Par liczb

(((( ))))

,

ϕ ρ nazywa si WSPÓŁRZ DNYMI

BIEGUNOWYMI PUNKTU PŁASZCZYZNY.

UWAGA (o całce podwójnej we współrz dnych biegunowych)
(i) Współrz dne

((((

))))

x, y

punktu płaszczyzny

XOY danego we współrz dnych biegunowych

(((( ))))

,

ϕ ρ

okre lone s wzorami

x

cos

:

y

sin

ρ

ϕ

β

ρ

ϕ

====
====

(ii) Przekształcenie

β , które ka demu punktowi

(((( ))))

,

ϕ ρ przyporz dkowuje punkt

((((

))))

x, y

okre lony powy szymi wzorami nazywa si

PRZEKSZTAŁCENIEM

BIEGUNOWYM.

(iii)

(((( ))))

0

sin

cos

J

,

det

cos

sin

β

ρ

ϕ

ϕ

ϕ ρ

ρ

ρ

ϕ

ϕ

−−−−

=

= >

=

= >

=

= >

=

= >

wewn trz prostok ta

(((( ))))

{{{{

}}}}

0

2

0

, :

,

r

∆

ϕ ρ

α ϕ β

π

ρ

=

≤ < < ≤

≤ ≤

=

≤ < < ≤

≤ ≤

=

≤ < < ≤

≤ ≤

=

≤ < < ≤

≤ ≤

(iv)

((((

))))

((((

))))

D

f x, y dxdy

f

cos , sin

d d

∆

ρ

ϕ ρ

ϕ ρ ϕ ρ

====

,

(((( ))))

D β ∆

====