Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 6

1

Zadanie 1 Obliczyć całki:

a)

π

2

Z

0

(cos t + 2ti) dt

b)

π

2

Z

0

(t

2

+ i sin t) dt

c)

1

Z

−1

(1 − e

t

i) dt

d)

2

Z

0

[1 + (1 + i)t

2

]dt

e)

π

Z

0

te

2it

dt

f)

2π

Z

0

e

it

dt

Zadanie 2 Naszkicować na płaszczyźnie krzywe o podanych równaniach:

a) z(t) = t +

i

t

b) z(t) = 1 + i + (2 − i)t, t ∈ [0, 1]

c) z(t) = 2 + i + 3e

it

, t ∈ [0, π]

d) z(t) = t + it

2

, t ∈ [0, ∞]

Zadanie 3 Napisać równania parametryczne podanych krzywych:

a) prostej przechodzącej przez punkty z

1

= 2i, z

2

= 1 − i

b) odcinka łączącego punkty z

1

= 2 + i, z

2

= −1

c) okręgu o środku z

0

= 2 − i i promieniu r = 1

d) części paraboli y = x

2

zawartej między punktami z

1

= 1 + i, z

2

=

√

3 + 3i

e) hiperboli y =

1

x

Zadanie 4 Obliczyć całki po zadanych krzywych:

a)

Z

C

Rez · Imz dz, C − odcinek o początku 0 i końcu 2 + i

b)

Z

C

|z| dz, C − lewy półokrąg łączący punkt −i z punktem i

c)

Z

C

¯

ze

Rez

dz, C − łamana o wierzchołkach kolejno 0, i, 1 + i

d)

Z

C

(z − ¯

z) dz, C − łuk paraboli y = x

2

o początku 1 + i i końcu 0

e)

Z

C

|z|¯

z dz, C − półokrąg |z| = 2, Rez ­ 0 o początku 2i i końcu −2i

f)

Z

C

(3z + 1)¯

z dz, C − półokrąg {z ∈ C : |z| = 1, Rez ­ 0} o początku −i i końcu i

g)

Z

C

¯

zRe(z

2

) dz, C − ćwiartka okręgu {z ∈ C : |z| = 2, Rez ­ 0, Imz ­ 0} o początku 2i i końcu 2

h)

Z

C

z

¯

z

dz, C − brzeg półpierścienia {z ∈ C : 1 ¬ |z| ¬ 2, Imz ­ 0} zorientowany dodatnio

Odpowiedzi: 1. a) 1 +

π

2

4

i, b)

π

3

24

+ i, c) 2 − i



e −

1

e



, d)

14

3

+

8

3

i, e) −

π

2

i, f ) 0; 3. a) z(t) =

2i + (1 − 3i)t, t ∈ R, b) z(t) = 2 + i + (−3 − i)t, t ∈ [0, 1], c) z(t) = 2 − i + e

it

, t ∈ [0, 2π], d)

Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 6

2

z(t) = t + it

2

, t ∈ [1,

√

3], e) z(t) = t +

1

t

i, t ∈ R\{0}; 4. a)

2

3

(2 + i), b) 2i, c)

3

2

+ i(1 − e), d) 1 −

2

3

i,

e) −8πi, f ) i(6 + π), g) 0, h)

4

3

.