Wykład 1. Wielomiany, rozkład na ułamki pro-
ste. Wprowadzenie do liczb zespolonych.

1.1. Poj ˛ecie ciała liczbowego
Zakładamy, ˙ze znamy poj ˛ecia: liczby naturalnej
(n ∈

N

), całkowitej (z ∈

Z

), wymiernej (q ∈

Q

) i

rzeczywistej (r ∈

R

).

Otó˙z, w dowolnym zbiorze

X

jest wykonywane

działanie (np. dodawanie, odejmowanie, etc.)
je ˙zeli dla ka˙zdej pary liczb x

1

, x

2

nale ˙z ˛

acych

do

X

ich wynik nale ˙zy równie ˙z do

X

.

Przykładowo w zbiorze

N

jest wykonywalne do-

dawanie i mno˙zenie, poniewa˙z suma i iloczyn
s ˛

a zawarte w

N

.

Pytanie: czy dzielenie jest wy-

konalne na zbiorze

N

?

Definicja 1.1.1. Ka˙zdy zbiór liczb, który zawiera
wi ˛ecej ni ˙z jedn ˛

a liczb ˛e i w którym wykonalne

s ˛

a wszystkie cztery działania, oprócz dzielenia

przez zero, nazywamy ciałem liczbowym

K

.

Definicja 1.1.2. Wielomianem stopnia
n

∈

N

∪ {0} wzgl ˛edem ciała

K

(np. ciała liczb

rzeczywistych) nazywamy funkcj ˛e W :

K

→

K

okre´slon ˛

a

W

(x) = a

n

x

n

+ a

n

−1

x

n

−1

+ . . . + a

1

x

+ a

0

gdzie a

k

∈

K

dla 0 ≤ k ≤ n oraz a

n

6= 0.

Zbiór wszystkich wielomianów wzgl ˛edem ciała

K

oznaczamy przez K[x] i nazywamy pier´scie-

niem wielomianów wzgl ˛edem ciała

K

.

Własno´s´

c 1.1.1. (suma, ró˙znica, iloczyn wielo-

mianów) Dla ka˙zdej pary wielomianów W

1

, W

2

z pier´scienia K[x] istniej ˛

a nast ˛epuj ˛

ace działa-

nia

(W

1

± W

2

) (x) = W

1

(x) ± W

2

(x)

(W

1

· W

2

) (x) = W

1

(x) · W

2

(x)

Własno´s´

c 1.1.2. (podzielno´s ´c wielomianów) Dla

ka˙zdej pary wielomianów W

1

, W

2

6= 0 z pier-

´scienia K[x] mo˙zna jednoznacznie wyznaczy ´

c

wielomiany P (iloraz) i R (reszta) z K[x], które
spełniaj ˛

a warunek

W

1

(x) = W

2

(x) · P (x) + R(x)

oraz stopie ´n R (reszty) jest mniejszy od stopnia
W

2

(dzielnika).

Je ˙zeli R(x) ≡ 0, to mówimy, ˙ze wielomian W

1

dzieli si ˛e przez W

2

.

Własno´s´

c 1.1.3. (definicja 1.1.3 pierwiastka wie-

lomianu) Liczb ˛e x

0

nazywamy pierwiastkiem wie-

lomianu W , je ˙zeli W (x

0

) = 0.

Własno´s´

c 1.1.4. (twierdzenie 1.1.1 Bezout) Liczba

x

0

jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje wielomian Q taki, ˙ze

W

(x) = (x − x

0

) Q(x)

Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian
x

− x

0

jest równa W (x

0

).

Własno´s´

c 1.1.5. (definicja 1.1.4 pierwiastka wie-

lokrotnego) Liczba x

0

jest k-krotnym pierwiast-

kiem wielomianu W wtedy, gdy istnieje taki wie-
lomian Q, ˙ze

W

(x) = (x − x

0

)

k

Q

(x)

oraz Q (x

0

)

6= 0

1.2. Rozkład wielomianu na ułamki proste

Definicja 1.2.1. Funkcj ˛

a wymiern ˛

a Q(x) ∈ K[x]

wzgl ˛edem zmiennej x ∈

K

nazywamy iloraz

Q

(x) =

W

1

(x)

W

2

(x)

gdzie W

1

, W

2

∈ K[x] s ˛

a wielomianami. Przy

czym W

2

(x) 6= 0 (cecha ciała - patrz definicja

1.1.1.). Je ˙zeli stopie ´n W

1

jest mniejszy od stop-

nia W

2

to tak ˛

a funkcj ˛e nazywamy funkcj ˛

a wy-

miern ˛

a wła´sciw ˛

a.

Definicja 1.2.2. Ułamkiem prostym wzgl ˛edem
ciała

K

nazywamy funkcj ˛e wymiern ˛

a o postaci

W

1

(x)

[W

2

(x)]

n

przy czym W

1

, W

2

∈ K[x], W

2

jest wielomia-

nem pierwszym w

K

i stopie ´n W

1

jest mniejszy

od stopnia W

2

.

Własno´s´

c 1.2.1. (definicja 1.2.3. okre´slaj ˛

aca ro-

dzaje rzeczywistych ułamków prostych) Je ˙zeli
zało˙zymy, ˙ze

K

=

R

to:

• ułamkiem prostym I rodzaju nazywamy rze-

czywist ˛

a funkcj ˛e wymiern ˛

a o postaci

A

(x + a)

n

,

gdzie a, A ∈

R

, n

∈

N

• natomiast ułamkiem prostym II rodzaju b ˛e-

dziemy nazywa ´

c

Ax

+ B



x

2

+ bx + c



n

,

gdzie b, c, A, B ∈

R

, n

∈

N

przy czym ∆ = b

2

− 4c < 0

Twierdzenie 1.2.1. (o rozkładzie funkcji wymier-
nej na ułamki proste) Ka˙zd ˛

a funkcj ˛e wymiern ˛

a

wła´sciw ˛

a i rzeczywist ˛

a mo˙zna przedstawi ´

c za

pomoc ˛

a sumy rzeczywistych ułamków prostych.

Własno´s´

c 1.2.2. Je˙zeli funkcja wymierna wła-

´sciwa jest postaci

W

1

(x)

a

n

(x

− x

1

)

k

1

. . .

(x

− x

r

)

k

r

(x

2

+ b

1

x

+ c

1

)

l

1

. . .

(x

2

+ b

s

x

+ c

s

)

l

s

gdzie k

1

+. . .+k

r

jest sum ˛

a rzeczywistych ułam-

ków prostych I rodzaju oraz l

1

+. . .+l

r

jest sum ˛

a

rzeczywistych ułamków prostych II rodzaju to

• czynnikowi (x − x

i

)

k

i

odpowiada suma k

i

ułamków prostych I rodzaju w postaci

A

i

1

x

− x

i

+

A

i

2

(x

− x

i

)

2

+ . . . +

A

i k

(x

− x

i

)

k

i

gdzie A

i

1

, A

i

2

, . . . , A

i k

∈

R

dla 1 ≤ i ≤ r

• czynnikowi



x

2

+ b

j

x

+ c

j



l

j

odpowiada suma

l

j

ułamków prostych II rodzaju w postaci

B

j

1

x

+ C

j

1

x

2

+ b

j

x

+ c

j

+

B

j

2

x

+ C

j

2

(x

2

+ b

j

x

+ c

j

)

2

+. . .+

B

j l

j

x

+ C

j l

j

(x

2

+ b

j

x

+ c

j

)

l

j

gdzie

B

j

1

, B

j

2

, . . . , B

j l

j

, C

j

1

, C

j

2

, . . . , C

j l

j

∈

R

dla 1 ≤ j ≤ s.

Wniosek 1.2.1. Je˙zeli funkcja wymierna Q(x)
jest niewła´sciwa to korzystamy z

własno´sci 1.1.2.

(czyli dzielimy przez siebie wielomiany W

1

(x)

i

W

2

(x)

- jest to dzielenie z reszt ˛

a), a nast ˛epnie

korzystamy

twierdzenia 1.2.1.

Wniosek 1.2.2. Aby znale´z ´c warto´sci współczyn-
ników przedstawionych we własno´sci 1.2.2. do-
konuje si ˛e porównania wielomianów.

1.3. Liczby zespolone

Definicja 1.3.1. Ciałem liczb zespolonych

C

b ˛e-

dziemy nazywa ´

c takie ciało, które zawiera jedno

z ciał liczb rzeczywistych

R

oraz równanie

i

2

= −1 ma w ciele

C

co najmniej jedno roz-

wi ˛

azanie i

C

jest najmniejszym ciałem spełnia-

j ˛

acym powy˙zsze warunki.

Definicja 1.3.2. Liczb ˛

a zespolon ˛

a nazywamy upo-

rz ˛

adkowan ˛

a par ˛e liczb rzeczywistych z = (x, y),

gdzie z ∈

C

i x, y ∈

R

.

Cz ˛esto zapisujemy liczb ˛e zespolon ˛

a w postaci

algebraicznej z = x + iy, gdzie x = Re(x + iy)
oznacza cz ˛e´s ´

c rzeczywist ˛

a i y = Im(x + iy) jest

cz ˛e´sci ˛

a urojon ˛

a liczby zespolonej. i =

√

−1 jest

nazwana jedynk ˛

a urojon ˛

a.

Przykładowa posta ´

c: z = 2 + 3i.

Na płaszczy´znie w układzie ortokartezja ´nskim liczba
zespolona reprezentuje punkt o współrz ˛ednych
(x, y)

(rysunek).

Własno´s´

c 1.3.1. Dwie liczby zespolone

z

1

= x

1

+ iy

1

, z

2

= x

2

+ iy

2

maj ˛

a nast ˛epuj ˛

ac ˛

a

aksjomatyk ˛e:

1. s ˛

a sobie równe, tzn. z

1

= z

2

wtedy, gdy

x

1

= x

2

i y

1

= y

2

2. ich suma jest równa

z

1

+ z

2

= (x

1

+ x

2

) + (y

1

+ y

2

) i

3. ich iloczyn okre´sla si ˛e w nast ˛epuj ˛

acy spo-

sób

z

1

· z

2

= (x

1

x

2

− y

1

y

2

) + (x

1

y

2

+ y

1

x

2

) i

Literatura

•

Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛

a, PWN,

Warszawa 1976.

•

Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.

•

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.

•

Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.

•

Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.

•

Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.

•

Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.