Wydział ILiŚ, Budownictwo, sem.1

dr Jolanta Dymkowska

Zastosowania geometryczne całki

Zad.1 Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi:

1.1 parabolą y = x

2

i prostą y = 4 ;

1.2 parabolą y = x

2

i prostą y = x ;

1.3 krzywą y = ln x i prostymi x = e i y = 0 ;

1.4 łukiem sinusoidy y = sin x dla x ∈ [0, π] i prostą y = 0 ;

1.5 y = x

2

, y =

2

1+x

2

;

1.6 y = e

x

, y = e

−x

, y = 4 ;

1.7 y

2

= 4 − 2x , x + y = −2 ;

1.8 y =

1

3+x

2

, y =

x

4

, x = −1 ;

1.9 y = x

2

− 2x − 3 , y = x + 1 ;

1.10 y = |x

2

+ x − 6| , y = 9 − x

2

;

1.11 y = arcsin x , y = arccos x , y = 0 ;

1.12 y = ln(x + 6) , y = 3 ln x , x = 0 , y = 0 ;

1.13 y = arctg x , y = 1 − e

x

, x = 1 ;

1.14 y = −

√

−x , y =

1

x

, y = −2 ;

1.15 y = cos

5

x sin 2x , x = 0 , x =

π

2

, y = 0 ;

1.16 y =

3

3+x

2

, y = 0 ;

1.17 y =

1

√

x

dla x

> 1 , x = 1 , y = 0 ;

Zad.2 Oblicz pole między krzywymi w postaci parametrycznej a osią 0X:

2.1 x = 1 −

√

t, y = 2 −

√

t dla t ∈ [1, 4] ;

2.2 x = 2 + ln t, y = 2 ln t dla t ∈ [

1

e

2

, 1] ;

2.3 x =

√

t, y = 4t − t

2

dla t ∈ [0, 4] ;

2.4 x = 5 sin

2

t, y = 4 cos

2

t dla t ∈ [0,

π

2

] ;

2.5 x = t − sin t, y = 1 − cos t dla t ∈ [0, 2π] ;

2.6 x = sin

3

t, y = cos

3

t dla t ∈ [0, 2π] ;

Zad.3 Oblicz pola figur wewnątrz krzywych:

3.1 r = 2 − sin 3ϕ dla ϕ ∈ [0, 2π] ;

3.2 r = sin 2ϕ dla ϕ ∈ [0,

π

2

] ;

3.3 r =

√

sin ϕ cos

2

ϕ dla ϕ ∈ [0, π] ;

3.4 r = 1 + 2 sin

2

ϕ dla ϕ ∈ [0, 2π] ;

Zad.4 Oblicz długość łuku krzywej:

4.1 y =

2
3

x

3
2

− 2 dla x ∈ [0, 3] ;

4.2 y =

x

2

4

−

1
2

ln x dla x ∈ [1, e] ;

4.3 y = ln x dla x ∈ [1,

√

3] ;

4.4 y = ln(cos x) dla x ∈ [0,

π

3

] ;

4.5 y = 2 ln

1+

√

x

1−

√

x

− 4

√

x dla x ∈ [0,

1
4

] ;

4.6 y = arcsin x +

√

1 − x

2

;

4.7 y =

1
2

(e

x

+ e

−x

) dla x ∈ [0, 1] ;

4.8 y = arcsin

√

x +

√

x − x

2

dla x ∈ [

1
4

, 1] ;

4.9 x = t

2

+ 2t, y = t

2

− 2t + 1 dla t ∈ [0, 1] ;

4.10 x = 2

√

t + ln t, y = 2

√

t − ln t dla t ∈ [

9

16

,

16

9

] ;

4.11 x = t − sin t, y = 1 − cos t dla t ∈ [0, 2π] ;

4.12 x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t dla t ∈ [0, 2π] ;

4.13 r = ϕ

4

dla ϕ ∈ [0, 3] ;

4.14 r = e

ϕ

2

dla ϕ ∈ [0, 4] ;

4.15 r = cos ϕ dla ϕ ∈ [0, π] ;

Zad.5 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej dookoła osi OX:

5.1 y =

√

x + 2 dla x ∈ [1, 2] ;

5.2 y = tg x dla x ∈ [0,

π

4

] ;

5.3 y = 9 − x

2

dla x ∈ [−3, 3] ;

5.4 y = sin

√

x dla x ∈ [0, π

2

] ;

5.5 y = 2x − x

2

dla x ∈ [0, 2] ;

5.6 y =

q

4x

x

2

−2x+5

dla x ∈ [0, 1] ;

5.7 y = ln x dla x ∈ [1, e

2

] ;

5.8 y =

√

x e

−x

dla x

> 0 ;

5.9 x = e − e

t

, y =

√

t dla t ∈ [0, 1] ;

5.10 x = t + ln t, y = t

2

+ 2t dla t ∈ [1, 2] ;

Zad.6 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX figury ograniczonej krzywymi:

6.1 y = ln x , y = 1 − x , y = 1 ;

6.2 y = sin x , y = cos x dla x ∈ [0,

π

4

] ;

6.3 y = x + |x| , y = x + 1 ;

Zad.7 Oblicz pole powierzcni bocznej bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej:

7.1 y =

1
3

x

3

dla x ∈ [−1, 1] ;

7.2 y =

√

x dla x ∈ [0, 4] ;

7.3 y = tg x dla x ∈ [0,

π

4

] ;

7.4 x = t, y = t

3

dla t ∈ [0, 1] ;

7.5 x = t − sin t, y = 1 − cos t dla t ∈ [0, 2π] ;