WYKŁAD 1

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Mechanika Ciała Stałego

Mechanika Ośrodków Ciągłych

Porównanie TS z Mechaniką Budowli i Wytrzymałością Materiałów
1. Mechanika budowli (kurs MO i MB) – elementy prętowe

Zadanie: siły wewnętrzne M, T, N w elementach (przekrój
poprzeczny jako punkt osi pręta; w nim określone są siły
wewnętrzne

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

1

2. Wytrzymałość materiałów – elementy prętowe

Zadanie: rozkład naprężeń w przekrojach elementów prętowych.
Naprężenie – wielkość zdefiniowana w punkcie obiektu,
odniesiona do określonego w tym punkcie przekroju zadaną
płaszczyzną (wektor normalny)

3. Teoria Sprężystości i Plastyczności – obiekty 2D i 3D

określone: kształt (geometria) i parametry materiałowe, zadane
obciążenie
zadanie: w każdym punkcie określić

• wielkości statyczne – naprężenia [jedn. siły/ jedn. pow.]

• wielkości geometryczne – przemieszczenia i odkształcenia

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

2

Dwa podejście do problemu:

• rozwiązanie analityczne – właściwy kurs TSiP;

wynik: funkcje położenia punktu – współrzędnych



pola w 3D: naprężeń , przemieszczeń odkształceń);
ujęcie analityczne, ciągłe (kontynualne);
narzędzie: podstawowe równania TS – równania różniczkowe
cząstkowe.

{

}

1

2

3

T

x

x x x

=

• rozwiązanie numeryczne – dyskretyzacja (podział na elementy,

siatki węzłów)
wynik: w zadanych węzłach wartości (pomiędzy węzłami
interpolacja) – zbiór wartości naprężeń, przemieszczeń,
odkształceń;
ujecie numeryczne, dyskretne (dyskretyzowane)
narzędzie: metody rachunku macierzowego, rozwiązywanie
układu równań:
grupa metod; najbardziej powszechna Metoda Elementów
Skończonych

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

3

Kurs TSiP – jedynie ujęcie analityczne

Część wykładowa – analiza 2D i 3D, ogólne prawa mechaniki

• opis stanu geometrycznego (przemieszczenia, odkształcenia)

• opis stanu naprężenia

• związki pomiędzy stanami naprężenia i odkształcenia.

Część ćwiczeniowa – analiza 2D – dźwigary powierzchniowe
(tarcze, płyty), stany PSO
W kursie WM naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia
obliczane są w sposób uproszczony, inżynierski
(faktycznie są one wielkościami tensorowymi).

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

4

TENSOR

(wielkość tensorowa)

– ogólna matematyczna kategoria, grupująca zarówno wielkości
skalarne, wektorowe jak i bardziej złożone, o większej liczbie
składowych.

Założenie: przestrzeń euklidesowa z kartezjańskim układem
współrzędnych (bazą)

{

} { }

1

2

3

,

1, 2,

T

i

x

x x x

x

i

=

=

=

3



Rząd tensora (walencja) – liczba wskaźników (indeksów)
swobodnych, definiująca dana wielkość – liczbę jej składowych

Tensor walencji 0 – skalar – jedna liczba (np. masa, temperatura,
gęstość)

Tensor walencji 1 – wektor – w danym układzie współrzędnych
trzy składowe

{

} { }

1

2

3

,

1, 2,

T

i

u

u u u

u

i

=

=

=

3



(np. wektor

położenia punktu, wektor prędkości, wektor przyspieszenia, wektor
przemieszczenia)

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

5

Tensor walencji 2 – w danym układzie współrzędnych macierz

11

12

13

21

22

23

31

32

33

ij

A

A

A

A A

A

A

A

A

A

A

⎡

⎤

⎢

⎥

≡

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦



,

1, 2, 3

i j

=

→

9 składowych

Tensor walencji n – zawiera składowych (przestrzeń
trójwymiarowa)

3

n

Dwojaki zapis (notacja) wielkości tensorowych:

• zapis wskaźnikowy (indeksowy) – liczba wskaźników

swobodnych (wolnych) równa jest walencji tensora np.
wektora , tensora drugiej walencji

i

a

jk

B

• zapis absolutny – wymaga określenia walencji tensora (liczby

wskaźników):

a



,

B



dla odróżnienia (umowa): wektory oznaczać będziemy małymi
literami, tensory wyższej walencji – wielkimi literami.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

6

Zachodzi równoważność:

{

}

1

2

3

,

1, 2, 3;

1,2,

T

i

j

a

a a a

a

a i

j

≡

=

=

=

=



3

11

12

13

21

22

23

31

32

33

jk

m

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

⎡

⎤

⎢

⎥

≡

=

n

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦



, , ,

1, 2, 3

m n

=

i j

=

Reguła sumacyjna Einsteina
gdy w wyrażeniu jednomianowym wskaźnik występuje dwukrotnie,
względem niego, w zakresie od 1 do 3 następuje sumowanie (jest to
tzw. wskaźnik niemy – niewystępujący w wyrażeniu wynikowym

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

7

Przykłady:
•

3

1 1

2 2

3 3

1

i i

i i

i

a b

a b

a b

a b

a b

c

=

≡

=

+

+

∑

=

– iloczyn skalarny wektorów; wynik – skalar (liczba)
Przypadek szczególny – kwadrat długości wektora

3

2

2

2

2

1

2

3

1

i i

i i

i

a a

a a

a

a

a

a

=

≡

=

+

+

=

∑

•

3

1 1

2 2

3 3

1

ij j

ij i

i

i

i

i

j

A b

A b

A b

A b

A b

=

≡

=

+

+

∑

d

=

– wektor (trzy składowe względem i)

•

3

3

11 1 1

12 1 2

1

1

...

ij i

j

ij i

j

i

j

A u u

A u u

A u u

A u u

k

=

=

≡

=

+

+

∑∑

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

8

– liczba (tensor walencji 0, skalar) – jest to forma kwadratowa
tensora (macierzy)

ij

A A

≡



względem wektora

k

u u

≡



• wyrażenie

i

il l

p

K q

=

, można zastąpić np. formą

m

ml l

p

K q

=

rozwinięcie – układ równań liniowych:

1

1

11 1

12 2

13 3

2

2

21 1

22 2

23 3

3

3

31 1

32 2

33 3

1:

2 :
3 :

l l

l l

l l

i

p

K q

K q

K q

K

i

p

K q

K q

K q

K

i

p

K q

K q

K q

K

=

=

=

+

+

=

=

=

+

+

=

=

=

+

+

q

q

q

W zapisie absolutnym

p Kq

=







Uwaga: działanie „mnożenia” ma zastosowanie także do tensorów
wyższych rzędów (tzw. kontrakcja, nasunięcie proste);
w odniesieniu do tensorów walencji 1 i 2 – interpretacja
macierzowa.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

9

•

3

11

22

33

1

ii

ii

i

T

T T

T

T

t

=

=

= +

+

=

∑



rT

ślad tensora walencji 2 (macierzy) – liczba
Można użyć tzw. symbolu Kroneckera

1 gdy
0 gdy

ik

i k

i k

δ

=

⎧

= ⎨

≠

⎩

w zapisie absolutnym

ik

I

δ

=



(

9 składowych, tylko 3 niezerowe

)

•

i j

k ijk

u v w

b

ε

=

wynik jest liczbą, wszystkie wskaźniki nieme
symbol permutacji Ricci:

1

permutacja parzysta (123, 231, 312)

1 permutacja nieparzysta (132, 213, 321)

0

którekolwiek wskaźniki wspólne

ijk

ε

−

⎧

⎪

= − −

⎨

⎪

−

⎩

W rozwinięciu 27 wyrazów, tylko 6 niezerowych

1 2

3

2 3 1

3 1

2

1 3

2

2 1

3

3 2

1

b u v w

u v w

u v w

u v w

u v w

u v w

=

+

+

−

−

−

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

10

•

ij

jk

ik

A B

C

=

wynik – tensor walencji 2 (i, k – wskaźniki swobodne,
j – wskaźnik niemy)
zapis absolutny

AB C

=

 



działania tensorowe – kontrakcja, nasunięcie proste w
odniesieniu do tensorów walencji 2,
interpretacja – mnożenie macierzy
jeden z wyrazów

11

11 11

12

21

13 31

C

A B

A B

A B

=

+

+

rozpisanie

11

12

13

11

12

13

11

12

13

21

22

23

21

22

23

21

22

23

31

32

33

31

32

33

31

32

33

A

A

A

B

B

B

C

C

C

A

A

A

B

B

B

C

C

C

A

A

A

B

B

B

C

C

C

⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

=

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎣

⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎤

⎥

⎥

⎥⎦

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

11

Tensory ortogonalne

Obrót układu współrzędnych (bazy)

1 2 3

Ox x x

- układ pierwotny

1 2 3

Ox x x

′ ′ ′

- po transformacji

Definiując kąty obrotu

(

)

,

ij

i

j

x x

α

′

= )

Określa się macierz transformacji

(

)

cos

cos

,

ij

ij

i

j

A

x x

α

⎡

⎤

′

⎡

⎤

=

=

⎣

⎦ ⎣

⎦

np.

(

)

12

1

2

cos

,

A

x′

=

x

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

12

W układzie pierwotnym dowolny punkt P ma współrzędne



,

w nowym układzie ten sam punkt ma współrzędne

.

{

}

1

2

3

T

j

x

x

x x x

=

=

{

}

1

2

3

T

j

x

x

x x x

′

′

′ ′ ′

=

=



Transformacja współrzędnych punktu P (zarazem współrzędnych
wektora wodzącego tego punktu)

T

x

A

=







x

j

lub

i

ij

x

A x

′ =

1

11 1

12 2

13

2

21 1

22 2

23

3

31 1

32 2

33

x

A x

A x

A x

x

A x

A x

A x

x

A x

A x

A x

′ =

+

+

′ =

+

+

′ =

+

+

3

3

3

gdzie

(

)

cos

,

ij

i

j

A

x x

′

=

, np.

(

)

12

1

2

cos

,

A

x x

′

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

13

Własności macierzy transformacji
– długości wektorów wodzących i

x



x′



punktu P w obu układach są

jednakowe, stad:

2

T

k k

jk

j k

x

x x

x x

x x

δ

=

=

=



 

(

)

(

)

2

T

i i

ij

j

ik k

ij

ik

j k

x

x x

x x

A x

A x

A A x x

′

′ ′

′ ′

=

=

=

=



 

Długość wektora jest stała:

(

)

0

ij

ik

ik

j k

A A

x x

δ

−

=

dla każdego

x



Stąd

ij ik

ik

A A

δ

=

lub

T

A A I

=

 



więc

1

T

A

A

−

=





ik

A A

≡

– tensor ortogonalny (reprezentacja: macierz ortogonalna)



Wyznacznik

( ) (

)

(

) (

)

2

det

det

det

det

1

T

T

A A

A

A

A

=

=

=

 







więc det

1

A

= ±



J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

14

Macierz (tensory) o powyższych własnościach
– grupa ortogonalna – obroty i przekształcenia (odbicia)
układów współrzędnych
Gdy det

1

A

= →



grupa obrotów

specjalna, ortogonalna,

w przestrzeni trójwymiarowej

(3)

SO

Gdy det

1

A

= − →



Łączne działania – grupa ortogonalna

.

odbicia (nie tworzą grupy),

(3)

O

Transformacja wielkości tensorowych
Podstawa – transformacja wektorów bazowych:

(

)

i

ij

e

Ae

e

A e

j

′

′

=

=







Współrzędne dowolnego wektora:

(

)

i

ij

u

Au

u

A u

j

′

′

=

=







Współrzędne tensora 2 walencji:

(

)

T

ij

ij

jl kl

T

ATA

T

A A T

′

′

=

=





Współrzędne tensora dowolnej walencji:

 

.....

....

....

ijk

ip

jq km

pqm

T

A A A

T

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

15

Formalna reprezentacja wielkości tensorowych
Tensor walencji 1 – wektor – składowe w danej bazie

{ } {

}

1

2

3

i

e

e

e e e

=

=





  

,

i i

k k

i i

u u e

u e

u

u e

′

′

≡

=

≡











Tensor walencji 2 – składowe w 9-wymiarowej polibazie





(działanie mnożenia tensorowego) utworzonej z par wektorów
bazowych

i

j

e

e

⊗

kl k

l

kl k

l

T

T e

e

T e

e

′ ′

′

≡

⊗ =

⊗











J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

16