Pojęcia wstępne
1.1
Dyskretne układy dynamiczne
Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem i niech T oznacza zbiór N ∗ := N ∪{ 0 } albo zbiór Z.
Układem dynamicznym (dyskretnym) na zbiorze X nazywamy każde odwzorowanie ϕ : T × X → X
spełniające następujace warunki:
1) ∀x∈X ϕ(0 , x) = x,
2) ∀s, t∈T ∀x∈X ϕ( s, ϕ( t, x)) = ϕ( s + t, x).
Uwaga 1 . Dla t ∈ T odzorowanie ϕ( t, ·) oznacza się symbolem ϕt. Wówczas powyższe warunki przyjmują postać:
1) ϕ 0 = id X ,
2) ∀s, t∈T ϕs ◦ ϕt = ϕs+ t.
Jeżeli T = Z i t ∈ T , to ϕt ◦ ϕ−t = ϕ 0 = id X skąd wynika, że odwzorowania ϕt oraz ϕ−t są odwracalne i ϕ− 1
t
= ϕ−t.
Przykład 1 . Niech X będzie niepustym zbiorem i f : X → X będzie dowolnym odzorowaniem. Dla n ∈ N oznaczmy
f n := f ◦ f ◦ . . . ◦ f
i
f 0 = id X .
|
{z
}
n odzorowań
Jeżeli istnieje odwzorowanie odwrotne f − 1, to przyjmujemy f −n = f − 1 n dla n ∈ N. Wówczas odwzorowanie ϕ : T × X → X określone wzorem ϕ( n, x) := f n( x) dla x ∈ X, jest układem dynamicznym nazywanym kaskadą generowaną przez f . Z drugiej strony, każdy dyskretny układ dynamiczny ϕ : T × X → X na X jest kaskadą generowaną przez odwzorowanie f := ϕ 1.
Uwaga 2 . Ponieważ w wykładzie będziemy zajmować się tylko dyskretnymi układami chaotycz-nym, w dalszym ciągu mówiąc o układach dynamicznych będziemy opuszczać słowo dyskretny oraz będziemy wymiennie używać określeń układ dynamiczny i kaskada.
1
Definicja 2. Jeżeli f : X → X i x ∈ X, to orbitą kaskady generowanej przez f o początku w punkcie x (lub krócej: orbitą punktu x) nazywamy zbiór Of ( x) := {f n( x) : n ∈ T } .
W przypadku, gdy T =
∗
Z, wyróżnia się półorbity: dodatnią O+( x) := {f n( x) : n ∈
} i ujemną
f
N
O−( x) := {f −n( x) : n ∈
∗}
f
N
Definicja 3. Jeżeli f : X → X i x ∈ X, to trajektorią kaskady f o początku w punkcie x (lub krócej: trajektorią punktu x) nazywamy ciąg ( xn) n 0 zdefiniowany iteracyjnie: x 0 = x
xn = f ( xn− 1) dla wszystkich n ∈ N .
Innymi słowy, trajektorią jest ciąg
( x, f ( x) , f 2( x) , f 3( x) , . . . , f n( x) , . . . ) .
Zauważmy, że trajektoria punktu x jest zawsze nieskończonym ciągiem (nawet wtedy, gdy orbita tego punktu jest zbiorem skończonym).
1.2
Punkty stałe i okresowe
Definicja 4. Punktem stałym kaskady generowanej przez odwzorowanie f : X → X nazywamy każdy taki punkt p ∈ X, że f ( p) = p. Krócej nazywamy taki punkt punktem stałym odwzorowania f . Zbiór wszystkich punktów stałych odwzorowania f oznaczamy symbolem Fix( f ).
Definicja 5. Punktem okresowym o okresie m ∈ N kaskady generowanej przez odwzorowanie f : X → X nazywamy każdy taki punkt p ∈ X, że f m( p) = p. Krócej nazywamy taki punkt punktem m-okresowym odwzorowania f . Najmniejszy z okresów odwzorowania f nazywamy jego okresem podstawowym lub zasadniczym. Zbiór wszystkich punktów okresowych odwzorowania f o okresie podstawowym m oznaczamy symbolem Per m( f ).Ponadto przyjmujemy następujące oznaczenia: Per( f ) = S ∞
m=1 Per m( f ) dla zbioru wszystkich punktów okresowych odwzorowania f oraz Per ¬m( f ) = S ∞
k=1 Per k ( f ) dla zbioru wszystkich punktów okresowych o okresach podstawowych nie większych niż m.
Oczywiście Per1( f ) = Fix( f ).
Przykład 2 . Niech f ( x) = 1 − |x| dla x ∈ R. Wówczas n
o
Fix( f ) =
1
,
2
h
i
Per
1
2( f ) =
0 , 1 ∪
, 1 ,
2
2
Per n( f ) = ∅ dla n 2 .
2
Przykład 3 . Niech b( x) = 2 x mod 1 dla x ∈ [0 , 1], tzn.
2 x,
gdy
x ∈ [0 , 1 / 2) ,
b( x) =
2 x − 1 ,
gdy
x ∈ [1 / 2 , 1) ,
0 ,
gdy
x = 1 .
Wówczas dla każdego m ∈ N Per m( b) 6= ∅ i zbiór Per( b) jest gęsty w przedziale [0 , 1].
Definicja 6. Odwzorowanie b : [0 , 1] → [0 , 1], opisane w przykładzie 3, nazywamy odwzorowaniem Bernoullego.
3