Wykład 5

Chaos

5.1

Definicja Devaneya

Definicja 1 (Devaney). Niech X bedzie przestrzenią metryczną i f : X → X będzie odwzo-

rowaniem. Kaskadę generowaną przez odwzorowanie f nazywamy chaotyczną, jeżeli spełnione są

następujące warunki:

1) zbiór Per(f ) jest gęsty w X,

2) f jest odwzorowaniem mieszającym,

3) f jest odwzorowaniem wrażliwym na warunki początkowe.

Twierdzenie 1. Kaskada generowana przez odwzorowanie σ : Σ

2

→ Σ

2

jest chaotyczna.

Okazuje się, że w wielu przypadkach rozważanych w praktyce, warunki z definicji 1 nie są

niezależne. W szczególności zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2. Niech X będzie nieprzeliczalną przestrzenią metryczną i f : X → X będzie

odwzorowaniem mieszającym, którego zbiór punktów okresowych jest gęsty w X. Wówczas f jest

odwzorowaniem wrażliwym na zmianę warunków początkowych.

Powyższe twierdzenie oraz twierdzenie z poprzedniego wykładu pozwala na sformułowanie na-

stępującego wniosku:

Wniosek 1. Niech X będzie przestrzenią metryczną, w której każdy niepusty i otwarty podzbiór jest

nieprzeliczalny. Jeżeli f : X → X jest ciągłym odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

1) Per(f ) jest zbiorem gęstym w X,

2) kaskada f ma orbitę gęstą w X,

to kaskada generowana przez f jest chaotyczna.

Przykładem odwzorowania spełniającego założenia tego wniosku jest odwzorowanie σ.

1

5.2

Przykład: odwzorowanie trójkątne

Definicja 2. Odwzorowanie T : [0, 1] → [0, 1] sdefiniowane wzorem:

T (x) = 1 − |2x − 1|,

x ∈ [0, 1]

nazywamy odwzorowaniem trójkątnym lub namiotowym; nazwa odwzorowania jest zainspirowana

kształtem jego wykresu.

Wykażemy, że kaskada T jest chaotyczna. Wobec twierdzenia z poprzedniego wykładu wystarczy

pokazać, że

¯

Per T = [0, 1] oraz że T jest odwzorowaniem mieszającym.

Oznaczmy dla n ∈ N:

J

(n)

r

=



r

2

n

,

r + 1

2

n



dla

r = 0, 1, . . . , 2

n

− 1.

Oczywiście

2

n

−1

[

r=0

J

(n)

r

= [0, 1).

Ponieważ T (1) = 0 i 0 ∈ Fix(T ), więc wystarczy zbadać zachowanie się odwzorowania T na

przedziale [0, 1).

Łatwo sprawdzić, że jeżeli x ∈ J

(n)

r

, to

• T

n

(x) = 2

n

x − r, jeżeli r jest liczbą parzystą,

• T

n

(x) = r + 1 − 2

n

x, jeżeli r jest liczbą nieparzystą.

W każdym przedziale J

(n)

r

leży dokładnie jedno rozwiązanie x

n, r

równania T

n

(x) = x:

x

n, r

=











r

2

n

−1

,

gdy

r jest liczbą parzystą,

r+1

2

n

+1

,

gdy

r jest liczbą nieparzystą.

Każdy taki punkt jest punktem okresowym o okresie (niekoniecznie podstawowym) n kaskady T .

Jednocześnie, każdy punkt x

n, r

(oprócz x

n, 0

= 0) jest punktem wewnętrznym przedziału J

(n)

r

. Po-

nieważ |J

(n)

r

| =

1

2

n

→ 0, gdy n → ∞, łatwo wywnioskować, że w dowolnie małym otoczeniu każdego

punktu a ∈ [0, 1) leży pewien punkt x

n, r

różny od punktu a. Dodatkowo, 1 = lim

n→∞

x

n, 2

n

−1

.

Ostatecznie, zbiór Per(T ) jest gęsty w [0, 1].

Zauważmy, że dla każdego n ∈ N i każdego r ∈ {0, 1, . . . , 2

n

− 1} zachodzi równość

T

n

h

Int J

(n)

r

i

= (0, 1).

Jeżeli więc U i V są otwartymi podzbiorami przedziału [0, 1] i J

(n)

r

jest tak dobranym przedziałem,

że J

(n)

r

⊂ U , to T

n

[U ] ∩ V 6= ∅, co dowodzi, że T jest odwzorowaniem mieszającym.

2