WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

1

Warszawa 2013

www.wml.wat.edu.pl

ppłk dr inż. Wojciech KACZMAREK

tel. [phone]

kom. 604 529 718

pokój 31 budynek 63
[e-mail]

„Jeśli uczysz się od innych, ale sam nie pomyślisz – to najczystsze oszołomstwo.

Jeśli myślisz, ale nie uczysz się od innych – to może być dla Ciebie wręcz niebezpieczne.”

- Konfucjusz

PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

2

WYKŁAD 3

OPIS PRZESTRZENNY ROBOTÓW I MANIPUATORÓW

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

3

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA

Prace nad zagadnieniami związanymi z robotyką prowadzone są przez

uczonych zajmujących się różnymi dziedzinami nauki.

Podejście takie zostało wymuszone interdyscyplinarną złożonością całego

problemu.

Aby uporządkować zakres kompetencji oraz uprościć zagadnienie

robotykę podzielono na cztery dziedziny:

- manipulację mechaniczną

- lokomocję

- komputerowe systemy wizyjne

- sztuczną inteligencję.

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

4

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE

Zadanie proste kinematyki - polega na wyznaczeniu pozycji i orientacji

efektora manipulatora względem układu podstawy przy znanych współrzędnych

konfiguracyjnych.

Innymi słowy można powiedzieć, że jest to odwzorowanie opisu położenia

manipulatora z przestrzeni współrzędnych konfiguracyjnych do

przestrzeni współrzędnych kartezjańskich.

Poprzez opis kinematyczny układu wielociałowego rozumie się przepis

opisujący zależność geometryczną miedzy współrzędnymi uogólnionymi (q) i

współrzędnymi kartezjańskimi otoczenia (R):

 

q

f

R



kinematyka prosta (bezpośrednia)

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

5

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE

Zadanie odwrotne kinematyki jest znacznie trudniejsze i polega na

wyznaczeniu wszystkich możliwych zbiorów współrzędnych konfiguracyjnych

umożliwiających osiągnięcie zadanych pozycji i orientacji manipulatora.

Trudność tego zagadnienia spowodowana jest nieliniowością równań

kinematyki, niejednoznacznością rozwiązań lub ich brakiem.

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

6

Innymi słowy znając położenie chwytaka konieczne jest wyznaczenie

zmiennych uogólnionych, co sprowadza się do określenia konfiguracji układu

wielociałowego według zależności:

 

R

f

q

1





kinematyka odwrotna

Możliwe rozwiązania:

• Wiele rozwiązań
• Jedno rozwiązanie
• Brak rozwiązań

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

7

Wiele rozwiązań – konstrukcja manipulatora umożliwia umieszczenie

narzędzia w zadanym punkcie w różnych konfiguracjach

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

8

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE

Jedno rozwiązanie – np. punkt zadany znajduje się na granicy przestrzeni

roboczej manipulatora

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

9

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE

Brak rozwiązań - manipulator nie może osiągnąć zadanych pozycji i

orientacji, ponieważ znajdują się one poza jego przestrzenią roboczą

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

10

ZASADY OBOWIĄZUJĄCE W KINEMATYCE

• robota opisuje się za pomocą struktury kinematycznej (szkicu

schematu kinematycznego), na której zaznacza się człony oraz

połączenia

• oznaczenia osi współrzędnych, kierunków i zespołów ruchu, konieczne

do jednoznaczności opracowanego szkicu zapisane są w normie PN-

93/M-55251

• robota opisuje się w układach odniesienia:

• bazowym (oznaczonym cyfrą 0) – opis przemieszczenia robota

względem globalnego, nieruchomego układu współrzędnych

(najczęściej względem stanowiska roboczego)

• regionalnym (oznaczonym cyframi k=1,2,3,… rozpoczynając

numerację od członu znajdującego się najbliżej) – opis

przemieszczenia manipulatora

• lokalnym (oznaczonym literą C) – opis przemieszczenia i orientacji

chwytaka.

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

11

ZASADY OBOWIĄZUJĄCE W KINEMATYCE

• podstawowy układ osi jest prawoskrętnym układem kartezjańskim

(prostokątnym), gdzie osie x i y tworzą płaszczyznę poziomą.

• za dodatni przyjmuje się zwroty ruchów:

• w ruchu liniowym na zewnątrz mechanizmów (od początku układów

bazowego, regionalnego, lokalnego)

• w ruchu obrotowym w kierunku prawoskrętnym, zgodnie z

przyjętym układem współrzędnych.

• numerację łańcucha kinematycznego należy rozpocząć od podstawy

(układu bazowego), a zakończyć przed efektorem (układem lokalnym).

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

12

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE

Do scharakteryzowania układu współrzędnych używane są wektory

jednostkowe i, j, k. Jeżeli są one niezależne liniowo, to tworzą pewną

bazę i mogą być użyte do przedstawienia dowolnego wektora miejsca.

Współrzędne x, y, z wektora miejsca dają się

zebrać w macierz kolumnową:

Macierz transponowana

k

z

j

y

i

x

r

C

C

C

C

















T

C

C

C

C

C

C

C

z

y

x

z

y

x

r

,

,

























z

y

x

C(x

c

,y

c

,z

c

)

r

C

y

c

x

c

z

c

k

i

j

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

13

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE

1. Można zapisać dla układu bazowego

0

0

0

0

0

0

0

k

z

j

y

i

x

r

C

C

C

C













0

0

0

0

0

0

0

i

k

z

i

j

y

i

i

x

i

r

i

r

x

i

C

i

i

C

i

i

C

i

C

i

C

C



























0

0

0

0

0

0

0

j

k

z

j

j

y

j

i

x

j

r

j

r

y

i

C

i

i

C

i

i

C

i

C

i

C

C



























0

0

0

0

0

0

0

k

k

z

k

j

y

k

i

x

k

r

k

r

z

i

C

i

i

C

i

i

C

i

C

i

C

C



























2. Dla układu i-tego (obróconego)

Obydwa wektory są reprezentacją tego

samego wektora r można więc zapisać:

C

i

i

C

r

rot

r





0

0

3

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

x

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

R

k

k

k

j

k

i

j

k

j

j

j

i

i

k

i

j

i

i

rot











































i

C

i

i

C

i

i

C

i

C

i

k

z

j

y

i

x

r













Z 1 i 2 można zapisać

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

14

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

15

Ogólnie można zapisać następujące zależności:

dla przemieszczenia

dla obrotu

Pełną transformację współrzędnych można

przedstawić jako połączenie przemieszczenia

(translacji) i obrotu (rotacji):

Powyższa zależność mówi, iż znając współrzędne lokalne

(wektor

i

r

c

oraz pozycję

(wektor

0

r

i

)

i orientację

(macierz

obrotu

0

rot

i

)

i-tego układu współrzędnych względem układu

nieruchomego możliwe jest wyznaczenie współrzędnych

inercjalnych (znalezienie transformacji współrzędnych układu

lokalnego względem układu nieruchomego).

iC

i

C

r

r

r

0

0

0





C

i

i

iC

r

rot

r





0

0

C

i

i

i

C

r

rot

r

r







0

0

0

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

16

Odwrócenie tego związku prowadzi równania

transformacji odwrotnej, to znaczy znalezienia

transformacji współrzędnych układu nieruchomego

względem układu lokalnego.

Wyznaczone wyrażenia pozwalają na rozwiązanie

dwóch najważniejszych w teorii kinematyki

manipulatorów

zadań

(bezpośredniego

i

odwrotnego), a poprzez ich różniczkowanie po

czasie dają możliwość wyznaczenia zależności dla

prędkości i przyspieszeń.

Szczególnymi

przypadkami

omawianych

transformacji są:

•czysty obrót

0

r

i

=0;

•czyste przemieszczenie

0

rot

i

=I.



 



iC

i

i

C

T

i

C

i

r

rot

r

r

rot

r

0

0

0

0

0









UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

17

OBROTY ELEMENTARNE

Zgodnie z ogólnie panującymi zasadami przyjęto prawoskrętny układ

współrzędnych.









T

C

R

T

C

w

v

u

r

z

y

x

r

,

,

,

,

,

0





 













































































w

v

u

r

r

rot

r

z

y

x

r

R

C

R

x

R

C











cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

0

0

0

z

y







x



C

z

y

w

v

0

r

C

a)

b)

R

r

C

z

0

y

0

x

0

y

R

x

R

z

R

0

r

R

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

18

OBROTY ELEMENTARNE























z

na

z

z

na

y

z

na

x

y

na

z

y

na

y

y

na

x

x

na

z

x

na

y

x

na

x

rot

R

R

R

R

R

R

R

R

R

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(



































cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

)

(

x

rot

 



































cos

0

sin

0

1

0

sin

0

cos

y

rot

 

























1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos











z

rot

z

x



x

R

z

R

z

y



C

z

y

y

R

z

R

a)

b)

c)

y

R

y

x



x

R

x

y

z

x

R

y

R

z

R

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

19

OBROTY ZŁOŻONE

Obroty złożone mogą być tworzone z trzech kolejno po sobie

wykonywanych obrotów elementarnych.

     













































































































c

c

s

s

c

c

s

c

s

c

s

s

c

s

s

s

s

c

c

c

s

s

s

c

s

s

c

c

c

rot

rot

rot

rot

z

y

x

)

,

,

(

     

















































































































c

c

s

s

s

s

c

c

c

c

s

s

s

c

c

c

s

s

s

c

c

s

s

c

s

c

s

c

c

rot

rot

rot

rot

x

y

z

)

,

,

(

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

20

WSPÓŁRZĘDNE JEDNORODNE

Do tej pory, przedstawione rozważania przeprowadzano w oparciu o

współrzędne niejednorodne

.

Jednak już od roku 1969, kiedy do obliczeń wykorzystano komputery,

wszystkie problemy związane z kinematyką manipulatorów rozwiązywane są

przy wykorzystaniu

współrzędnych homogenicznych (jednorodnych).

Opisanie punktu czterema współrzędnymi (punkt o współrzędnych x,y,z

opisano jako x

1

,x

2

,x

3

,x

4

) znacznie uprościło obliczenia na macierzach.

Zależność między współrzędnymi niejednorodnymi (x,y,z) i współrzędnymi

jednorodnymi można zapisać następująco:

4

3

4

2

4

1

x

x

z

x

x

y

x

x

x







WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

21

WSPÓŁRZĘDNE JEDNORODNE

4

3

4

2

4

1

x

x

z

x

x

y

x

x

x







Współrzędne jednorodne można określić za pomocą wektora:





T

x

x

x

x

R

4

3

2

1





lub przy założeniu, że





T

x

x

x

R

1

3

2

1





Dla przykładu





T

1

0

0

0





T

0

0

0

1





T

0

0

1

0





T

0

1

0

0

wektor zerowym

punkty nieskończenie oddalone od

początku układu i leżące odpowiednio

na osiach Ox,Oy,Oz

1

4



x

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

22

WSPÓŁRZĘDNE JEDNORODNE

Podejście takie umożliwiło rozszerzenie macierzy N-wymiarowej do wymiaru

(N+1) tworząc tzw., jednorodną macierz transformacji o postaci:















skali

czynnik

a

perspektyw

translacji

wektor

rotacji

macierz

T

4

4

1

1

1

1

000

1

000

x

i

i

i

i

i

i

R

r

rot

translacji

wektor

rotacji

macierz

T





































Przypadkami szczególnymi jednorodnej macierzy transformacji są:

Czysta rotacja (r=0) – wektor przemieszczenia jest równy zero



















1

000

0

0

rot

Rot

T

r

Czysta translacja (rot=I) – macierz obrotu jest macierzą izogonalną



















1

000

r

I

P

T

I

rot

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

23

WSPÓŁRZĘDNE JEDNORODNE - PRZYKŁAD

Podać jednorodną transformację układu przedstawionego na rysunku.

z

0

y

0

x

0

x

1

y

1

z

1

a

b

c

P

1

R

P

Wyznaczenie zależności współrzędnych

 





y

x

Rot

Rot

Rot

















2

1

0

































1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

c

b

a

T

P

R

T

R

1

1

0

1

0









T

P

z

y

x

R

1

,

,

,

1

1

1

1



c

y

z

b

z

y

a

x

x



















1

0

1

0

1

0

Przemieszczenie i obrót

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

24

ZADANIE PROSTE KINEMATYKI

Konfiguracja (parametry geometryczne) układu manipulatora jest realizowana poprzez

zmienne konfiguracyjne q=(q

1

,q

2

,..,q

n

) tzn. że każdej wartości zmiennej konfiguracyjnej

odpowiada jedno położenie chwytaka R w układzie bazowym. Jeśli założy się, iż chwytak

C jest zdefiniowany miejscem na ciele i układu wielociałowego to można zapisać:

C

i

i

C

R

T

R





0

0

Zadanie bezpośrednie kinematyki można podzielić na etapy:

1. Usytuowanie manipulatora w położeniu początkowym i wprowadzenie układu

bazowego.

2. Wprowadzenie układów dla wszystkich członów manipulatora.
3. Wprowadzenie współrzędnych konfiguracyjnych.
4. Wyznaczenie wzajemnych położeń poszczególnych członów za pomocą

jednorodnych macierzy transformacji.

5. Wyznaczenie położenia końcówki manipulatora względem układu bazowego.

6. Wyznaczenie zależności pomiędzy współrzędnymi bazowymi i współrzędnymi

lokalnymi końcówki manipulatora

n

i

T

i

i

,...

2

,

1

1





i

i

i

T

T

T

T

1

2

1

1

0

0

...











i

i

i

i

R

T

R





0

0

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

25

ZADANIE PROSTE KINEMATYKI - PRZYKŁAD

Wyznaczyć jednorodną macierz transformacji

0

T

2

oraz współrzędne wektora

0

r

2

manipulatora przedstawionego na rysunku.

y

0

z

0





x

0

x

1

z

1

y

1

x

2

z

2

y

2





U

1

U

0

U

2

l

1

l

2

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

26

ZADANIE PROSTE KINEMATYKI - PRZYKŁAD

Wyznaczyć jednorodną macierz transformacji

0

T

2

oraz współrzędne wektora

0

r

2

manipulatora przedstawionego na rysunku.

y

0

z

0





x

0

x

1

z

1

y

1

x

2

z

2

y

2





U

1

U

0

U

2

l

1

l

2

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

27

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA

Prace nad opracowaniem niezawodnej metody, która pozwoliłaby nie

tylko analizę mechanizmów istniejących, ale również syntezę nowych

rozpoczął

F. Reloux w 1900 roku

. Jednak dopiero w 1955 roku udało się

zdefiniować notację funkcjonującą do dzisiaj.

Zalety notacji D-H:

• opis typu mechanizmu

• przedstawienie ruchu mechanizmu

• opis ruchu za pomocą równań matematycznych.

Wady notacji D-H:

•opis par kinematycznych niższego rzędu

•duża komplikacja obliczeń.

Kinematyka prosta z doborem odpowiednich układów współrzędnych opisanych

przez notację Denavita-Hartenberga.

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

28

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA

Zaproponowany przez J. Denavita i R.S. Hartenberga układ współrzędnych

umożliwia opis prostej w przestrzeni czterema (rys.b), a nie pięcioma (rys.a)

parametrami.

x

0

y

0

z

0

0

0

x

y

z

P(x,y,z)





x

0

y

0

z

0

0

0

P(x,y,z)

s

a





90

o

0

i

a)

b)

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

29

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA

Oś wiążąca dwa człony kinematyczne nazywana jest osią pary kinematycznej.

W przypadku par kinematycznych klasy V osiami pary kinematycznej są:



oś obrotu członu i względem i-1 dla pary obrotowej – oś z

i-1

;



prosta o kierunku przemieszczania się członu i względem i-1 dla pary przesuwnej – oś z

i-1

x

i-1

y

i-1



i

z

i-1

x

i

y

i

z

i

a

i

x

i-1

y

i-1

z

i-1

y

i

x

i

z

i

s

i



i

a)

b)

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

30

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA

x

i-1

y

i-1

z'

i-1

0

i-1



i

z

i-1

y'

i-1

x'

i-1

y"

i-1

x"

i-1

z"

i-1

y"

’

i-1

x"'

i-1

z"'

i-1

0

i

s

i

a

i

y

i

z

i

x

i



i



i



i



i



i

Wzajemne usytuowanie dwóch kolejnych

układów wyznaczają parametry:

kąt konfiguracji członów



i

powstały w wyniku

obrotu wokół osi z

i-1

do momentu aż osie x

i-1

i x

i

staną się równoległe;

odsunięcie

członu

s

i

powstałe

w

wyniku

przesunięcia wzdłuż osi z

i-1

do momentu aż osie x

i-1

i x

i

pokryją się;

długość członu

a

i

powstała w wyniku przesunięcia

wzdłuż osi x

i

do momentu aż początki układów 0

i-1

i

0

i

pokryją się;

kąt skręcenia członu



i

powstały w wyniku obrotu

wokół osi x

i

do momentu aż pokryją się wszystkie

osie.

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

31

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA

Spośród czterech wymienionych parametrów



i

oraz a

i

są zawsze stałe, ponieważ

określa je konstrukcja członów. Dwa pozostałe natomiast mogą być zmienne.

Ogólnie dla wektora przemieszczenia we współrzędnych jednorodnych można zapisać:

i

i

i

i

i

i

R

T

R









1

1

g

dzie macierz transformacji jednorodnej ma postać:















































1

0

0

0

cos

sin

0

sin

sin

cos

cos

cos

sin

cos

sin

sin

cos

sin

cos

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

s

a

a

T





























)

(

)

(

)

1

(

)

1

(

1

i

x

i

x

i

z

i

z

i

i

Rot

P

P

Rot

T















WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

32

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA

Aby można było jednoznacznie zdefiniować kierunki osi (wersory kierunkowe)

układów: układy O

i-1

oraz O

i

charakteryzują się następującymi własnościami:

•oś x

i

jest prostopadła do osi z

i-1

– warunek DH1

•oś x

i

przecina oś z

i-1

– warunek DH2

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

33

NOTACJA DH – DOBÓR UKŁADÓW WSPÓŁRZĘDNYCH

W celu ustalenia i-

tego układu niezbędne jest rozpatrzenie dwóch przypadków:

1.osie z

i-1

, z

i

nie leżą w jednej płaszczyźnie

wówczas istnieje dokładnie jeden odcinek prostopadły do obu osi, który łączy obie osie i ma
najmniejszą długość. Prostą zawierającą ten odcinek (prostopadłą do osi z

i-1

i z

i

.

) należy

obrać za oś x

i

, a punkt przecięcia z osią z

i

.

przyjąć za początek układu O

i

. Oś y

i

dobiera się

tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny;

Początek układu O

i

nie musi leżeć na przegubie i.

Istnieje wiele możliwości wyboru układów

(dwóch inżynierów może przypisać kolejne układy w różny sposób).

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

34

NOTACJA DH – DOBÓR UKŁADÓW WSPÓŁRZĘDNYCH

W celu ustalenia i-

tego układu niezbędne jest rozpatrzenie dwóch przypadków:

1. osie z

i-1

, z

i

leżą w jednej płaszczyźnie i są równoległe

– istnieje wówczas nieskończenie wiele wspólnych normalnych między nimi.
Dlatego przyjmuje

się, że:

•

oś x

i

jest

prostopadła do z

i-1

•

wybrany na i-tym przegubie

początek układu O

i

spełnia warunek, że oś x

i

przez

niego przechodzi.

Z rysunku a

widać, że prostą prostopadłą do osi z

i-1

i z

i

można przyjąć również jako

przechodzącą przez punkt O

i-1

(wówczas odległość d

i

jest

równa zero). Oś y

i

dobiera

się tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny;

x

i-1

y

i-1



i

z

i-1

x

i

y

i

z

i

a

i

x

i-1

y

i-1

z

i-1

y

i

x

i

z

i

s

i



i

a)

b)

O

i-1

O

i

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

35

NOTACJA DH – DOBÓR UKŁADÓW WSPÓŁRZĘDNYCH

W celu ustalenia i-

tego układu niezbędne jest rozpatrzenie dwóch przypadków:

1. osie z

i-1

, z

i

leżą w jednej płaszczyźnie i przecinają się

– oś x

i

jest skierowana prostopadle do z

i-1

oraz z

i

i przyjmowana jest zgodnie z

zasadą

przedstawioną na rysunku (oś x

i

jest normalna do

płaszczyzny na której leżą osie

z

i-1

oraz z

i

).

Czasami wygodnie jest

przyjąć oś x

i

jako

prostopadłą do płaszczyzny wyznaczonej

przez osie z

i-1

i z

i

na

przecięciu się tych osi.

Oś y

i

dobiera

się tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny.

0

i

z

i

x

i

z

i-1

0

i-1

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

36

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA

Układ współrzędnych związany z chwytakiem orientuje się oddzielnie:

•oś z

n

określa kierunek zbliżania się chwytaka do obiektu (ang. a-approach);

•oś y

n

leży w płaszczyźnie chwytania – wzdłuż tej osi poruszają się szczęki chwytaka (ang.

s-sliding);

• oś x

n

jest

prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez osie z

n

i y

n

i tworzy z nimi

układ

prawoskrętny (ang. n-normal).

x (n)

n

z (a)

n

y (s)

n

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

37

NOTACJA DH - ZADANIE

x

2

y

2

a

2

x

1



1

a

1

z

2



2

y

4

y

3

x

4

z

0

y

1

z

1

x

0

y

0

z

3

x

3

z

4

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

38

ZADANIE ODWROTNE KINEMATYKI

Nakazanie robotowi przemieszczenia końcówki roboczej do wyznaczonego w przestrzeni

roboczej punktu możliwe jest poprzez rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki.

Dane:

współrzędne kartezjańskie

Poszukiwane :

współrzędne konfiguracyjne

Korzystając z nieliniowych równań kinematyki prostej widać, że:

•zadanie jest trudne

•rozwiązanie nie jest jednoznaczne



2





x

0

y

0

z

0



1

l

1

l

2

Rozwiązania dla przypadku przedstawionego na rysunku:

• brak rozwiązań – punkt leży poza przestrzenią manipulatora

• dwa rozwiązania (łokieć u góry/dołu) – punkt leży

w przestrzeni manipulatora

• jedno rozwiązanie – punk leży na granicy przestrzeni roboczej









2

1

2

1

1

0

2

1

2

1

1

0

0

sin

sin

cos

cos

0



































l

l

z

l

l

y

x

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

39

ZADANIE ODWROTNE KINEMATYKI

Równania uzyskane z analizy zadania prostego kinematyki są zbyt trudne ponieważ tworzą

układ nieliniowych równań trygonometrycznych.

Dana jest macierz:















1

0

r

rot

H

Należy znaleźć:

n

n

n

n

n

n

T

T

q

q

T

gdzie

H

q

q

T

1

1

0

1

0

1

0

)

,...,

(

)

,...,

(











Równanie daje 12 nieliniowych elementów macierzy (ostatni wiersz macierzy jest znany):

Poszukujemy rozwiązania w postaci zamkniętej (nie rozwiązania

numerycznego) czyli:

n

k

gdzie

h

h

f

q

k

k

,...,

1

)

,...,

(

34

11





ponieważ:

• dają się szybciej rozwiązać (wymagane podczas śledzenia trajektorii ruchu

kamerą na.: spawanie)

• dają możliwość wyboru konkretnego rozwiązania

Rozwiązanie problemu jest zajęciem dla matematyka i inżyniera:

• możliwość różnych konfiguracji robota dla osiągnięcia tej samej pozycji

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

40

ZADANIE ODWROTNE KINEMATYKI – ODSPŻĘŻENIE KINEMATYCZNE

Dla manipulatorów o 6-ciu stopniach swobody z kiścią typu sferycznego

Podzielenie problemu na dwa mniejsze:

• kinematyka odwrotna pozycji

• kinematyka odwrotna orientacji

rot

q

q

rot

n



)

,...

(

1

6

0

r

q

q

r

n



)

,...

(

1

6

0

r – pozycja narzędzia

rot – orientacja narzędzia

Współrzędne kiści można wyznaczyć ze wzoru:























































33

6

3

6

0

23

6

3

6

0

13

6

3

6

0

3

0

3

0

3

0

k

r

r

k

r

r

k

r

r

r

r

r

z

z

y

y

x

x

z

y

x































1

0

0

0

6

0

33

32

31

6

0

23

22

21

6

0

13

12

11

6

0

z

y

x

r

k

k

k

r

k

k

k

r

k

k

k

T

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

41

ZADANIE ODWROTNE KINEMATYKI - PRZYKŁAD



2





x

0

y

0

z

0



1

l

1

l

2

Rozwiązanie
Rozwiązanie polega na wyznaczeniu kątów



1

i



2

w funkcji x,y,z czyli



i

=f

-1

(x,y,z). W związku z tym, iż x

0

=0 układ sprowadza się do zależności



i

=f

-1

(y,z).

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA

Wojskowa Akademia Techniczna

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa

42

WYKŁAD 4

DEFINICJE PRĘDKOŚCI I PRZYSPIESZEŃ

CZŁONÓW MANIPULATORA