MATURA

2012

Powtórka do matury

z matematyki

Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

ROZWI

ĄZANIA

Organizatorzy:

MatmaNa6.p

l

i

Dziennik.pl

Witaj,

otrzyma

łeś już ósmą z dziesięciu części materiałów powtórkowych

do matury z matematyki, tutaj znajdziesz rozwi

ązania zadań. W

poniedzia

łek pod adresem

http://dziennik.pl

b

ędą dostępne kolejne

zadania maturalne do rozwi

ązania.

Na stronie

http://matmana6.pl/tablice_matematyczne

znajdziesz

materia

ły pomocne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych.

Powodzenia,

Redaktorzy portalu MatmaNa6.pl

Dziennikarze Dziennik.pl

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

Geometria analityczna

Zadanie 1:

Wska

ż prostą równoległą do prostej

k :y=−5 x1

.

a  y=−

1

5

x−4

b y=−5 x1

c  y=5 x6

d  y=

1
5

x2

Rozwi

ązanie:

Prawid

łowa odpowiedź: b)

Dwie proste s

ą równoległe, jeżeli mają taki sam współczynnik kierunkowy.

Zadanie 2:

Wska

ż równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt

Q=0,1

i

równoleg

łej do prostej

y=4 x−2

.

a y=−3 x6

b y=−x1

c  y=4 x1

d  y=−

1

4

x

Rozwi

ązanie:

Prawid

łowa odpowiedź: c)

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

y=axb

Poniewa

ż szukana prosta jest równoległa do prostej

y=4 x−2

, to wspó

łczynnik

kierunkowy

a

jest równy

4

. Prosta

y=axb

przechodzi przez

punkt

Q=0,1

. St

ąd otrzymujemy:

{

a=4

b=1

Równanie prostej, to:

y=4 x 1

Zadanie 3:

Wska

ż promień okręgu o równaniu

x−5

2

y−4

2

=16

.

a  5

b 4

c  3

d  2

Rozwi

ązanie:

Prawid

łowa odpowiedź: b)

Zadanie 4:

Punkt styczno

ści okręgu o równaniu

(x−3)

2

+(y−3)

2

=9

z osi

ą

OY

to:

a  0,3

b 0,2

c  0,1

d  0,−3

Rozwi

ązanie:

Prawid

łowa odpowiedź: a)

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

Zadanie 5:

Dane s

ą dwa przeciwległe wierzchołki prostokąta

A=4,5

i

C=2,1

. Punkt

przeci

ęcia się przekątnych tego prostokąta, to:

a  3,3

b6,6

c 3,4

d 2,5

Rozwi

ązanie:

Prawid

łowa odpowiedź: a)

Punkt przeci

ęcia się przekątnych, to środek odcinka

AC

, st

ąd:

S=



4

2
2,

5

1

2



=3,3

.

Zadanie 6:

Oblicz pole trójk

ąta równobocznego, w który wpisany jest okrąg o równaniu

x

2

y

2

− 4 x6 y9=0.

Rozwi

ązanie:

Przekszta

łcamy równanie okręgu.

x

2

y

2

−4x6y9=0

x

2

−4xy

2

6y9=0

x

2

−4x4y

2

6y9−4=0

x−2

2

 y3

2

−4=0

x−2

2

y3

2

=2

2

Promie

ń okręgu wynosi:

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

r=2

Obliczamy wysoko

ść trójkąta.

r=

1
3

h

2

=

1
3

h

h=6

Obliczamy d

ługość boku.

h=

a



3

2

6

=

a



3

2

a=

12



3

=4



3

Obliczamy pole trójk

ąta równobocznego.

P=

a

2



3

4

=

4



3



2



3

4

=12



3

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

Zadanie 7:

Wyznacz równanie okr

ęgu

O

je

żeli wiadomo, że odcinek

AB

jest

średnicą tego

okr

ęgu (

A=3,6

,

B=5,8

).

Rozwi

ązanie:

Skoro odcinek

AB

jest

średnicą okręgu, to środek okręgu znajduje się w połowie

odcinka

AB

.

S=



3

5

2,

6

8

2



=4,7

Promie

ń okręgu wyznaczymy jako długość odcinka

AS

.

r=

∣

AS

∣

=



4−3

2

7−6

2

=



2

Szukane równanie okr

ęgu, to:

O :  x−4

2

y−7

2

=2

Zadanie 8:

Zapisz wzór funkcji

f

przesuni

ętej o wektor

v

.

a  f x=x

2

, v=[3,−2 ]

,

b f x =

1
x

,

v=[−2,0 ] ,

c  f x =log

3

x , v=[−1,1 ]

,

Rozwi

ązanie:

a  f x=x

2

, v=[3,−2 ]

,

f x−3−2= x−3

2

−2=x

2

−6 x9−2=x

2

−6 x7

b f x=

1
x

,

v=[−2,0 ] ,

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

f x20=

1

x 2

c  f x =log

3

x , v=[−1,1 ]

,

f x11=log

3

x11

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

Zadanie 9:

Okre

śl dla jakich wartości parametru

m

, okr

ęgi

O

1

: xm

2

y−2m

2

=9,

O

2

: x−3m

2

ym

2

=16

s

ą wewnętrznie styczne.

Rozwi

ązanie:

O

1

: xm

2

 y−2m

2

=9

S

1

=−m,2m

r

1

=3

O

2

:x−3m

2

ym

2

=16

S

2

=3m ,−m

r

2

=4

∣

S

1

S

2

∣

2

=3mm

2

−m−2m 

2

=16m

2

9m

2

=25m

2

∣

r

1

−r

2

∣

=

∣

4

−3

∣

=1

∣

S

1

S

2

∣

=

∣

r

1

−r

2

∣

∣

S

1

S

2

∣

2

=

∣

r

1

−r

2

∣

2

25m

2

=1

m

2

=

1

25

m=±

1

5

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

Zadanie 10:

Punkt

E

jest

środkiem boku

AC

trójk

ąta

ABC

, natomiast punkt

F

jest

śodkiem boku

BC

tego trójk

ąta. Wykaż, że odcinek

EF

jest równoleg

ły do boku

AB

i jego d

ługość jest równa połowie długości boku

AB

.

Rozwi

ązanie:



EF =

EC

CF =

1
2



AC 

1
2



CB=

1

2



AC 

CB=

1

2



AB

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna

Kolejne cz

ęści powtórki będą dostępne w poniedziałek pod adresem

http://www.dziennik.pl

Szczegó

łowe wyjaśnienia zagadnień z działu geometria analityczna, które pomogą Ci

w rozwi

ązaniu powyższych zadań znajdziesz na stronie

http://matmana6.pl/tablice_matematyczne/liceum

Wszelkie uwagi, komentarze na temat powtórki maturalnej mo

żna kierować na

adres

[e-mail]

.

Redaktorzy serwisu MatmaNa6.pl prowadz

ą Darmowy

Kurs Maturalny z matematyki na poziomie podstawowym

i rozszerzonym, który sk

łada się z ponad 70 lekcji. Każda

lekcja zawiera:

1. omówienie wybranego zagadnienia,

2.

ćwiczenia interaktywne,

3. przyk

łady zadań,

4. zadania maturalne do samodzielnego rozwi

ązania,

5. rozwi

ązania zadań z poprzedniej lekcji.

Kliknij aby zapisa

ć się na kurs.

Powtórka maturalna > Cz

ęść VIII: Geometria analityczna