materiał pochodzi ze strony

matematyka.pisz.pl

Funkcja liniowa (równanie kierunkowe prostej)

Funkcja liniowa to

funkcja

dana wzorem:

y =

a

x +

b

a

– współczynnik kierunkowy

Monotoniczność

:

a > 0

– rosnąca

a < 0

– malejąca

a = 0

– stała

b

– współrzędna punktu przecięcia z osią

Oy

:

(0,

b

)

Wykres funkcji liniowej:

1

3

y

=

2

x

+

3

a > 0

x

y

1

1

y = −

1

3

x + 1

a < 0

x

y

1

2

y = 2

a = 0

x

y

Współczynnik kierunkowy:

a = 2

a = −

1
3

a = 0

Monotoniczność

:

rosnąca

malejąca

stała

Punkt przecięcia wykresu z osią

Oy

:

(0,

3

)

(0,

1

)

(0,

2

)

kąt nachylenia prostej do osi

x

kąt nachylenia prostej do osi

Ox

α

1

y

=

x

+

b

a

x

y

współczynnik kierunkowy

prostej

y =

a

x + b

jest równy tangensowi nachylenia

prostej do osi

Ox

a = tg α

przykłady:

α

1

y

=

x

+

b

a

x

y

63

◦

1

y

=

2

x

−

1

x

y

135

◦

1

y

=

−

x

+

2

x

y

2 ≈ tg 63

◦

−1 = tg 135

◦

0 = tg 0

◦

Proste równoległe i prostopadłe

1

−1

2

y

=

2

x

−

1

y

=

2

x

+

2

x

y

Proste

równoległe

mają

ten sam

współczynnik kierunkowy

.

a

1

= a

2

—

matematyka.pisz.pl

—

1

—

matematyka.pisz.pl

—

1

−1

−3

y =

1

2

x −

1

y

=

−

2

x

−

3

x

y

Proste

prostopadłe

mają

współczynniki kierunkowe

spełniające wzór:

a

1

· a

2

= −1

np.

−2 ·

1
2

= −1

równanie ogólne prostej

Ax + By + C = 0

współczynniki

A

i

B

nie mogą być jednocześnie równe

0

przykłady równań

:

3x + y − 1 = 0

− x + 2y = 0

4x − y + 3 = 0

przykłady wykresów

:

1

2

x

−

y

−

1

=

0

x

y

1

x = 1

x

y

1

2

y = 2

x

y

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty mogę wyznaczyć, rozwiązując układ równań.

Przykład

.

Mogę też skorzystać ze wzoru:

x

y

A = (x

1

, y

1

)

B = (x

2

, y

2

)

Równanie prostej przechodzącje przez dwa

punkty

A = (x

1

, y

1

)

i

B = (x

2

, y

2

)

(x

2

− x

1

)(y − y

1

) = (y

2

− y

1

)(x − x

1

)

Przykład:

Prosta przechodząca przez punkty

A = (

2

,

5

)

i

B = (

3

,

7

)

ma równanie:

(

3

−

2

)(y −

5

) = (

7

−

5

)(x −

2

)

1(y − 5) = 2(x − 2)

y − 5 = 2x − 4

y = 2x − 4 + 5

y = 2x + 1

—

matematyka.pisz.pl

—

2

—

matematyka.pisz.pl

—

odległość dwóch punktów od siebie

x

y

A = (x

1

, y

1

)

B = (x

2

, y

2

)

d

odległość punktów

A = (x

1

, y

1

)

i

B = (x

2

, y

2

)

od siebie liczymy ze wzoru

d =

p(x

2

− x

1

)

2

+ (y

2

− y

1

)

2

przykład:

odległość punktów

A = (

2

,

5

)

i

B = (

5

,

9

)

od siebie wynosi

d =

p

(

5

−

2

)

2

+ (

9

−

5

)

2

d =

p

3

2

+ 4

2

d =

√

9 + 16

d =

√

25 = 5

Odp. odległość punktów

A

i

B

od siebie wynosi

5

Współrzędne środka odcinka

x

y

A = (x

1

, y

1

)

B = (x

2

, y

2

)

S

Współrzędne środka odcinka

o końcach

A = (x

1

, y

1

)

i

B = (x

2

, y

2

)

S =

 x

1

+ x

2

2

,

y

1

+ y

2

2



Przykład

Współrzędne środka odcinka o końcach

A = (

−2

,

3

)

i

B = (

4

,

−9

)

S =



−2

+

4

2

,

3

+ (

−9

)

2



= (1, −3)

Odległość punktu od prostej

P = (x

0

, y

0

)

Ax

+

By

+

C

=

0

x

y

Odległość punktu

P = (x

0

, y

0

)

od prostej

o

równaniu ogólnym

Ax + By + C = 0

możemy policzyć ze wzoru

d =

|Ax

0

+ By

0

+ C|

√

A

2

+ B

2

Przykład:

Odległość punktu

A = (

5

,

2

)

od prostej o równaniu

3

x +

4

y + 5 = 0

wynosi:

d =

|

3

·

5

+

4

·

2

+ 5|

√

3

2

+

4

2

d =

|15 + 8 + 5|

√

9 + 16

d =

|28|

√

25

=

28

5

d = 5,6

Okrąg w układzie współrzędnych

—

matematyka.pisz.pl

—

3

—

matematyka.pisz.pl

—

S = (a, b)

r

x

y

Równanie okręgu o środku

S = (a, b)

i promieniu

r

(x − a)

2

+ (y − b)

2

= r

2

Koło w układzie współrzędnych

S = (a, b)

r

x

y

Nierówność opisująca koło o środku

S = (a, b)

i promieniu

r

(x − a)

2

+ (y − b)

2

¬ r

2

Współrzędne wektora

A = (x

1

, y

1

)

B = (x

2

, y

2

)

x

y

A = (x

1

, y

1

)

– początek wektora

B = (x

2

, y

2

)

– koniec wektora

Współrzędne wektora:

−

−

→

AB = [x

2

− x

1

, y

2

− y

1

]

Przykłady

Wyznaczam współrzędne wektora o początku

A

i końcu

B

.

A = (

1

,

2

)

B = (

5

,

4

)

−

−

→

AB = [

5

−

1

,

4

−

2

] = [4, 2]

A = (

3

,

7

)

B = (

0

,

9

)

−

−

→

AB = [

0

−

3

,

9

−

7

] = [−3, 2]

A = (

−4

,

8

)

B = (

2

,

1

)

−

−

→

AB = [

2

− (

−4

),

1

−

8

] = [6, −7]

Współrzędne wektorów najłatwiej odczytać z rysunku:

~a

3

4

~a = [3, 4]

~b

~b = [−3, 2]

~

c

~

c = [−2, −3]

~

d

~

d = [2, −1]

~

d

~

e = [0, 2]

~

d

~

f = [0, −1]

~

d

~

g = [−2, 0]

Długość wektora

~a = [a

1

, a

2

]

x

y

Mając

współrzędne wektora

mogę policzyć

jego długość.

|~a| =

pa

2

1

+ a

2

2

przykłady

~a

~a = [4, 3]

|~a| =

√

4

2

+ 3

2

=

√

16 + 9 =

√

25 = 5

~b

~b = [−2, 1]

|~b| =

p(−2)

2

+ 1

2

=

√

4 + 1 =

√

5

—

matematyka.pisz.pl

—

4

—

matematyka.pisz.pl

—

~

c

~

c = [−2, −3]

|~c| =

p(−2)

2

+ (−3)

2

=

√

4 + 9 =

√

13

~

d

| ~

d| = 3

~

e

|~e| = 1

Dodawanie wektorów

Dodanie wektora

~a

i

~b

polega na przesunięciu

~b

do końca

~a

i połączeniu początku

~a

z końcem

~b

.

~a

~b

~

c

~a = [2, 3] ~b = [4, 1]

(dodawanie na

współrzędnych

)

~

c = ~a + ~b = [2, 3] + [4, 1] = [2 + 4, 3 + 1] = [6, 4]

~a

~b

~

c

~a = [0, 2] ~b = [−4, 0]

~

c = ~a+~b = [0, 2]+[−4, 0] = [0+(−4), 2+0] = [−4, 2]

~a

~b

~

c

~

d

~a = [−2, 2] ~b = [1, 2] ~

c = [4, 1]

~

d = ~a + ~b + ~

c = [−2, 2] + [1, 2] + [4, 1] =

= [−2 + 1 + 4, 2 + 2 + 1] = [3, 5]

Dodanie wektorów

~a

i

~b

za pomocą

reguły równoległoboku

polega na połączeniu początków

~a

i

~b

, a następnie narysowaniu przekątnej tak utworzonego

równoległoboku

.

~a

~b

~

c

~a = [5, 0] ~b = [1, 3]

~

c = ~a + ~b = [5, 0] + [1, 3] = [5 + 1, 0 + 3] = [6, 3]

~

m

~

n

~

p

~

m = [4, −3] ~

n = [1, 2]

~

p = ~

m + ~

n = [4, −3] + [1, 2] =

= [4 + 1, −3 + 2] = [5, −1]

Odejmowanie wektorów

Odjęcie od wektora

~a

wektora

~b

polega na

dodaniu

do wektora

~a

wektora

przeciwnego

do

~b

czyli

(−~b)

.

~a

−~b

~

c

~b

~a = [3, 2] ~b = [−1, 3]

(odejmowanie na

współrzędnych

)

~

c = ~a−~b = [3, 2]−[−1, 3] = [3−(−1), 2−3] = [4, −1]

~a

−~b

~

c

~b

~a = [4, 2] ~b = [5, 0]

~

c = ~a − ~b = [4, 2] − [5, 0] = [4 − 5, 2 − 0] = [−1, 2]

~a

−~b

~b

~

c

~a = [4, 0] ~b = [1, 2]

(

reguła równoległoboku

)

~

c = ~a − ~b = [4, 0] − [1, 2] = [4 − 1, 0 − 2] = [3, −2]

—

matematyka.pisz.pl

—

5

—

matematyka.pisz.pl

—

~

e

− ~

f

~

f

~

g

~

e = [−5, 3]

~

f = [0, 2]

~

c = ~

e − ~

f = [−5, 3] − [0, 2] =

= [−5 − 0, 3 − 2] = [−5, 1]

Mnożenie wektora przez liczbę

~a

2~a

~a = [2, 3]

(mnożenie na

współrzędnych

)

2~a = 2 · [2, 3] = [4, 6]

~b

1
2

~b

~b = [−4, 2]

1
2

~b =

1
2

· [−4, 2] = [−2, 1]

~

c

−2~c

~

c = [0, 2]

−2~c = −2 · [0, 2] = [0, −4]

~

d

4
3

~

d

~

d = [3, −2]

4
3

~

d =

4
3

· [3, −2] = [4, −2

2
3

]

Jak widać pomnożenie wektora przez liczbę nie zmienia jego

kierunku

ale może zmienić

zwrot

np.

~

c

i

− ~

2c

.

Wektor prostopadły do prostej

~

u = [A, B]

1

Ax

+

By

+

C

=

0

x

y

Do równania prostej w

postaci ogólnej

A

x +

B

y + C = 0

łatwo znaleźć współrzędne

wektora

prostopa-

dłego do wykresu

~

u = [A, B]

Przykłady:

~

u = [2, 1]

1

2

x

+

y

+

1

=

0

x

y

~

u = [−3, 1]

1

−

3

x

+

y

−

2

=

0

x

y

~

u = [1, 0]

1

x − 1 = 0

x

y

Wektor równoległy do prostej

—

matematyka.pisz.pl

—

6

—

matematyka.pisz.pl

—

~

u = [1, a]

1

y

=

ax

+

b

x

y

Do równania prostej w

postaci kierunkowej

y =

a

x + b

łatwo znaleźć współrzędne

wektora

równoległego

do wykresu

~

u = [1, a]

Przykłady:

~

u = [1, −2]

1

y

=

−

2

x

−

1

x

y

~

u = [1, 3]

1

y

=

3

x

+

2

x

y

~

u = [1, 0]

1

y = 2

x

y

—

matematyka.pisz.pl

—

7

—

matematyka.pisz.pl

—