2. Modele matematyczne układów regulacji

18

2. MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW REGULACJI

Rys. 2.1

Najczęściej stosowanymi modelami matematycznymi są:
- równania różniczkowe zwyczajne dla modeli ciągłych;
- równania różniczkowe cząstkowe dla układów, w których parametry obiektu zależą

również od współrzędnych przestrzennych;

- równania różnicowe dla modeli dyskretnych;
- transmitancje (Laplace’a lub z) tylko dla obiektów liniowych;
- równania stanu.

Metody wyznaczania modeli matematycznych.

eksperymentalne

(empiryczne)

- wyznaczenie charakterystyki

statycznej;

- wyznaczenie charakterystyki

dynamicznej

analityczne

(teoretyczne)

z ogólnych praw

fizycznych

zasady Hamiltona

równania Lagrange’a

analogie

elektromechaniczne

analityczno -

eksperymentalne

- eksperyment stosuje się do

wyznaczania współczynni-
ków modelu matematy-
cznego przyjętego na drodze
analitycznej.

metodami aktywnymi

(czynnymi)

Wady:
-

wyłączenie z
eksploatacji.

Zalety:
-

duża dokładność.

metodami pasywnymi

(biernymi)

Wady:
-

duża ilość
informacji;

-

pracochłonna
obróbka danych.

Zalety:
-

podczas normalnej
pracy.

2. Modele matematyczne układów regulacji

19

2.1. Analogie elektromechaniczne

Tabela 2.1

Człony mechaniczne

Człony elektryczne

Analogia napięciowa Analogia prądowa

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

Człony

hydrauliczne

U→F lub M

i→v lub ω

i→ F lub M

U→v lub ω

In

ercj

a, bez

w

ładno

ść

dt

dv

m

F

=

x

mD

F

!

=

x

D

m

v

D

m

F

2

=

=

dt

d

J

M

ω

=

ϕ

!

JD

M

=

ϕ

ω

2

D

J

D

J

M

=

=

Bezwładność

h

h

h

m

V

D

m

DQ

m

p

2

=

=

∆

m lub J → L

L

LDi

U

=

dt

di

L

U

=

m lub J → C

C

dt

dU

C

i

=

Tarcie wiskot

yc

zn

e

(proporcjonaln

e do

v)

v

B

F

p

⋅

=

B

p

x

B

F

p

!

=

Dx

B

F

p

⋅

=

ω

ω

⋅

=

B

M

B

ω

ϕ

ω

!

B

M

=

ϕ

ω

⋅

⋅

=

D

B

M

Opory

przepływowe

h

h

h

r

DV

R

Q

R

p

=

=

∆

B

p

lub B

ω

→ R

R

R

i

U

⋅

=

B

p

lub B

ω

→

R

1

R

1

U

R

i

⋅

=

1

Spr

ęż

ys

to

ść

D

C

v

F

p

⋅

=

C

p

x

D

C

F

p

!

1

=

p

p

C

x

D

C

v

F

=

⋅

=

−

1

D

C

M

⋅

=

ω

ω

Cω

ϕ

!

D

C

F

p

1

=

ω

ω

ϕ

ω

C

D

C

M

=

⋅

=

−

1

Pojemność

hydrauliczna

h

h

h

c

C

V

D

C

Q

p

=

=

∆

C

p

lub C

ω

→ C

C

∫

+

=

⋅

⋅

=

0

1

1

U

dt

i

C

U

i

D

C

U

C

p

lub C

ω

→ L

L

∫

+

=

⋅

⋅

=

0

1

1

I

dt

U

L

i

U

D

L

i

Obiekty zbudowane są z elementów zwanych w automatyce członami. Człony mogą

być mechaniczne i elektryczne. Człony mechaniczne dotyczą ruchu postępowego i
obrotowego, natomiast w członach elektrycznych występuje dualizm pomiędzy analogami
(odpowiednikami) napięciowymi i analogami prądowymi.

Stosując metody prądów oczkowych w elektrotechnice wyznaczamy układ równań dla

prądów w poszczególnych oczkach stosując zawsze prawoskrętny kierunek prądu.
Podobnie dla układów mechanicznych konstruujemy układ równań dla poszczególnych
prędkości w układzie.

m

J

8

m

h

C

h

R

h

2. Modele matematyczne układów regulacji

20

Przykład 2.1
Zbudować model matematyczny układu i jego analog napięciowy.

Rys. 2.1

( )

x

D

C

x

B

x

mD

t

F

p

p

!

!

!

1

+

+

=

m → L

B

p

→ R

C

p

→ C

Przykład 2.2
Zbudować model matematyczny układu a) i b) oraz jego analog napięciowy.

a)

b)

Rys. 2.2

( )

(

)

1

1

2

1

1

1

x

B

x

x

D

C

t

F

p

p

!

!

!

+

−

=

( )

(

)

1

1

2

1

2

1

1

1

x

D

C

x

x

B

x

B

t

F

p

p

p

!

!

!

!

+

−

+

=

(

)

1

2

1

2

2

2

2

1

1

0

x

x

D

C

x

D

C

x

B

p

p

p

!

!

!

!

−

+

+

=

(

)

2

2

1

2

2

1

0

x

D

C

x

x

B

p

p

!

!

!

+

−

=

m

x

F(t)

B

p

C

p

m

x

F(t)

B

p

C

p

E(t)

L

R

C

x

2

F(t)

B

p2

C

p1

C

p2

x

1

B

p1

x

2

F(t)

B

p2

C

p1

C

p2

x

1

B

p1

m

B

p

C

p

F(t)

x!

B

p1

C

p1

F(t)

B

p2

C

p2

1

x!

2

x!

B

p1

C

p1

F(t)

B

p2

C

p2

1

x!

2

x!

2. Modele matematyczne układów regulacji

21

2.2. Metoda prądów oczkowych (II prawo Kirchoffa)

Drugie prawo Kirchoffa (zwane też bilansem napięć w oczku) mówi, że w każdym

zamkniętym obwodzie elektrycznym, zwanym oczkiem, suma algebraiczna napięć
źródłowych E

i

równa się sumie algebraicznej spadków napięć na impedancjach.

Przykład 2.3
Stosując metodę prądów oczkowych zbudować model matematyczny obwodu (rys.2.3.).

1

2

2

2

1

2

3

1

1

1

1

i

R

Di

L

Di

L

i

R

i

R

U

+

−

+

−

=

1

1

3

1

3

1

1

0

i

R

i

R

i

D

C

−

+

=

1

2

2

2

2

2

1

0

Di

L

Di

L

i

D

C

−

+

=

1

2

2

2

2

1

i

R

i

D

C

U

+

=

Rys. 2.3

Przykład 2.4
Stosując metodę prądów oczkowych wyznaczyć równanie wejść

( )

1

i

f

e

=

i wyjść

( )

1

i

f

U

=

(

)

2

1

1

1

2

1

i

i

D

C

i

R

e

−

+

=

(1)

(

)

1

2

1

2

2

2

1

1

1

0

i

i

D

C

i

D

C

i

R

−

+

+

=

(2)

z równania (2)

D

C

C

C

C

R

i

D

C

i

2

1

1

1

2

1

1

2

1

+

+

=

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

2

1

1

i

D

C

C

C

C

R

D

C

i

D

C

i

R

e

+

+

−

+

=

1

2

2

2

1

i

R

i

D

C

U

+

=

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

i

R

i

D

C

C

C

C

R

D

C

C

U

+

+

+

=

L

2

C

2

R

2

i

1

U

1

i

2

i

3

R

1

C

1

U

2

C

2

R

2

i

1

e

i

2

R

1

C

1

U

C

2

R

2

i

1

e

R

1

C

1

U

i

2

Rys. 2.4

2. Modele matematyczne układów regulacji

22

Przykład 2.5
Zbudować model matematyczny i wyznaczyć transmitancję operatorową G(D) dla układu
mostkowego RC jak na rysunku 2.5. Spadki napięć są zawsze przeciwne do kierunku
przepływy prądu.

Rys. 2.5

1

1

)

(

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

+

=

→

+

=

D

C

R

D

C

U

i

i

R

i

D

C

D

U

1

1

)

(

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

+

=

→

+

=

D

C

R

D

C

U

i

i

R

i

D

C

D

U

1

1

2

2

2

1

)

(

i

R

i

D

C

D

U

−

=

i

1

i i

2

podstawiamy do równania U

2

( )

(

)(

)

1

1

1

)

(

)

(

2

1

2

2

1

1

2

+

+

−

=

=

D

T

D

T

D

T

T

D

U

D

U

D

G

dla T

1

= T

2

( )

(

)(

)

(

)(

)

TD

TD

TD

TD

TD

TD

D

T

D

T

D

G

+

−

=

+

+

−

+

=

+

−

=

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

,

C

R

T

C

R

T

=

=

Przykład 2.6
Zbudować model matematyczny i wyznaczyć transmitancję operatorową dla układu
rysunku 2.6.

Rys. 2.6

C

2

R

2

i

1

R

1

C

1

U

1

i

2

U

2

C

L

i

1

C

U

1

i

2

U

2

L

2. Modele matematyczne układów regulacji

23

2

1

1

1

1

1

i

LD

CD

U

i

CD

LD

U













+

=













+

=

1

1

2

1

1

2

1

+

=

+

=

→

=

LCD

CD

U

CD

LD

U

i

i

i

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

U

LCD

LCD

LCD

CD

U

CD

LD

U

i

CD

LDi

U

+

−

=

+













−

=

−

=

( )

1

1

2

2

2

2

+

−

=

D

T

D

T

D

G

gdzie

LC

T

=

Przykład 2.7
Zbudować model matematyczny

( )

1

2

U

f

U

=

, zakładając że C i R

1

to połączenie

równoległe dwóch impedancji

CD

1

i R

1

.

Rys. 2.7

i

R

LD

R

CD

R

CD

U

























+

+

+

=

2

1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

R

R

CD

R

D

LR

CD

LD

R

CD

R

CD

U

R

R

LD

R

CD

R

CD

U

R

U

i

R

U

+

+

+

+













+

=

+

+

+

=

=

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

U

R

R

R

D

LCR

LD

R

CD

R

R

D

CR

U

+

+

+

+

+

=

U

1

U

2

i

L

R

1

C

R

2

2. Modele matematyczne układów regulacji

24

2.3. Modele matematyczne układów mechanicznych

Przykład 2.8
Zbudować model matematyczny obiektu pokazanego na rysunku 2.8.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

3

2

2

3

2

3

2

3

2

2

1

2

1

3

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

1

0

1

1

0

1

)

(

x

x

D

C

x

x

B

x

D

m

x

x

B

x

x

B

x

x

D

C

x

x

D

C

x

D

m

x

x

B

x

x

D

C

t

F

p

p

p

p

p

p

p

p

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

−

+

−

+

=

−

+

−

+

−

+

−

+

=

−

+

−

=

Rys. 2.8

Przykład 2.9
Zbudować model matematyczny obiektu pokazanego na rysunku 2.9.

Rys. 2.9

x

3

x

2

x

1

B

p

B

p

F(t)

C

p

C

p

C

p3

x

3

x

2

B

p2

B

p1

F(t)

C

p2

C

p1

m

1

m

2

x

1

3

x!

1

x!

2

x!

C

p3

B

p2

B

p1

C

p2

C

p1

m

1

m

2

F(t)

3

x!

2

x!

1

x!

B

p2

B

p1

C

p2

C

p1

m

1

m

2

F(t)

2. Modele matematyczne układów regulacji

25

(

)

(

)

(

)

(

)

2

3

2

3

3

3

2

3

2

3

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

0

1

1

0

1

)

(

x

x

D

C

x

D

C

x

B

x

D

m

x

x

D

C

x

x

D

C

x

B

x

D

m

x

x

D

C

t

F

p

p

p

p

p

p

p

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

−

+

+

+

=

−

+

−

+

+

=

−

=

Powyższe równanie można również zapisać w postaci:

(

)

(

)

(

)

(

)





















=

+

−

+

+

=

−

+

−

+

+

=

−

0

1

1

0

1

1

1

3

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

x

C

x

x

C

x

B

x

m

x

x

C

x

x

C

x

B

x

m

F

x

x

C

p

p

p

p

p

!

!!

!

!!

Przykład 2.10
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.10.

Rys. 2.10

C

p4

C

p5

C

p1

x

3

x

2

C

p3

C

p2

x

1

F(t)

m

1

m

2

m

3

B

p1

B

p2

1

x!

2

x!

3

x!

C

p5

C

p4

C

p3

B

p2

B

p1

C

p2

C

p1

m

1

m

2

F(t)

m

3

2. Modele matematyczne układów regulacji

26

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

3

4

2

3

3

3

5

2

3

3

2

3

1

2

2

2

2

3

1

4

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

x

x

C

x

x

C

x

D

C

B

D

m

x

x

D

C

x

x

D

C

x

D

m

x

x

D

C

x

x

D

C

x

D

C

x

B

x

D

m

t

F

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

−

+

−

+















+

+

=

−

+

−

+

=

−

+

−

+

+

+

=

Powyższe równanie można również zapisać w postaci:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

0

0

3

5

2

3

3

1

3

4

3

2

3

3

1

2

2

3

2

3

2

2

1

1

3

1

4

2

1

2

1

1

1

1

=

+

−

+

−

+

+

=

−

+

−

+

=

+

−

+

−

+

+

x

k

x

x

k

x

x

k

x

B

x

m

x

x

k

x

x

k

x

m

F

x

k

x

x

k

x

x

k

x

B

x

m

p

p

!

!!

!!

!

!!

Przykład 2.11
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.11.

Rys. 2.11

ω

ω

ω

D

C

B

JD

t

M

w

w

1

)

(

+

+

=

i

CD

Ri

LDi

t

U

1

)

(

+

+

=

Przykład 2.12
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.12.

Rys. 2.12

ω

M(t)

J

C

w

B

w

J

8

ω

M(t)

C

w

B

w

J→L

C

w

→C

B

w

→R

ω→i

U(t)

ω

3

M(t)

J

1

C

w2

B

w2

J

2

C

w1

ω

1

ω

2

B

w1

B

w3

J

2

ω

2

M(t)

C

w

B

w

8

8

J

1

8

B

w2

B

w3

C

w2

ω

3

ω

1

2. Modele matematyczne układów regulacji

27

( )

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

2

2

3

2

3

2

3

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

=

−









+

+

=

−

−









+

+

+

=

−









+

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

D

C

D

C

B

D

J

D

C

D

C

D

C

D

C

B

D

J

t

M

D

C

D

C

B

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

Przykład 2.13
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.13.

Rys. 2.13

( )

(

)

3

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

0

1

ω

ω

ω

ω

ω

w

w

w

w

w

B

D

C

B

D

C

D

J

D

C

t

M

−

−









+

+

=

−

=

(

)

(

)

(

)

(

)

o

w

w

w

w

M

D

C

B

D

J

D

C

D

J

B

+

−

+

+

=

−

+

+

−

=

3

4

2

4

3

3

4

3

2

3

2

2

3

1

1

0

1

0

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

2

M(t)

C

w1

B

w1

ω

1

C

w2

ω

4

ω

3

M

o

B

w2

J

1

J

2

J

3

J

3

ω

2

M(t)

C

w1

B

w1

8

8

J

1

B

w3

C

w2

ω

4

ω

1

J

2

ω

3

M

o

2. Modele matematyczne układów regulacji

28

Przykład 2.14
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.14.

Rys. 2.14

(

)

( )

t

M

D

C

D

C

B

D

J

e

e

i

D

L

R

w

w

w

w

w

w

w

=

−









+

+

−

=

+

2

1

1

1

1

1

1

1

ω

ω

(

)

1

0

1

1

2

2

1

2

2

1

1

0

1

1

f

f

v

B

D

m

M

D

C

B

D

J

D

C

x

p

w

w

w

=

+

+

=

+









+

+

+

−

ω

ω

równania więzów:

M

2

= f

0

R

R

v

x

2

ω

=

( )

1

ω

k

e

ki

t

M

w

w

=

=

gdzie

k

- stała silnika wynikająca z jego parametrów konstrukcyjnych.

e

R

w

I

w

e

w

L

w

f

o

ω

2

ω

1

C

w1

J

2

,B

w2

J

1

,B

w1

m

1

,B

p1

v

x

J

2

ω

2

M(t)

C

w1

B

w1

8

J

1

8

B

w2

ω

1

M

2

e

R

w

i

w

e

w

L

w

m

f

o

B

p1

v

x

f

1

R

R

v

R

f

M

x

2

0

2

ω

=

=

( )

1

ω

k

e

ki

t

M

w

w

=

=

2. Modele matematyczne układów regulacji

29

Przykład 2.15
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.15.

Rys. 2.15

0

1

1

1

1

0

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

=

+









+

+

+

−

=

−









+

+

M

D

C

B

D

J

D

C

M

D

C

D

C

B

D

J

s

s

s

ω

ω

ω

ω

0

1

1

1

1

1

2

2

2

2

0

2

2

1

2

2

=









+

−









+

+

=









+

−









+

x

D

C

B

x

D

C

B

mD

f

x

D

C

B

x

D

C

B

!

!

!

!

równania więzów:

M

0

= f

0

R

2

1

ω

R

x

=

!

m

M

s

,J

s

,B

s

ω

2

ω

1

C

1

B

2

C

2

J

1

B

1

2R

x

x

1

J

1

ω

2

M

s

C

1

B

1

8

J

s

8

B

s

ω

1

M

0

m

f

0

B

2

C

2

1

x!

x!

R

2

1

ω

R

x

=

!