MiTE Zadania seria 2 wersja 06

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010

Strona 1

MITE Zadania domowe i testowe seria 2

Zadanie 1

Czy twierdzenie Moivre’a - Laplace’a jest szczególnym przypadkiem twierdzenia
Lindeberga-

Fellera ?. Uzasadnij szczegółowo.

Rozwiązanie:

Omawiano na wykładzie. Zobacz tekst wykładu.

Zadanie 2

Ogniwa krótk

ie pewnego łańcucha rolkowego mają wymiar

05

.

0

04

.

0

05

.

20

+

=

k

, ogniwa o średniej

długości mają wymiar

03

.

0

03

.

0

05

.

25

+

=

s

a ogniwa długie wymiar

03

.

0

03

.

0

05

.

27

+

=

d

. Montujemy łańcuch z

20 ogniw krótkich, 25 ogniw średnich i 25 długich.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy długość całego łańcucha

1

.

0

1

.

0

1703.6

+

=

L

mm

(przewidzianą normą).

Wskazówka: Oszacować nieznane parametry rozkładów wymiarów poszczególnych ogniw na

podstawie znajomości pola tolerancji korzystając z prawa

σ

3

a następnie wykorzystać CTG

LF (centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Fellera).

Rozwiązanie:

Wartości średnie i odchylenia standardowe (w mm):

055

.

20

2

04

.

0

05

.

20

05

.

0

05

.

20

1

=

+

+

=

µ

,

015

.

0

6

04

.

0

05

.

0

1

=

+

=

σ

05

.

25

2

03

.

0

05

.

25

03

.

0

05

.

25

2

=

+

+

=

µ

,

01

.

0

6

03

.

0

03

.

0

2

=

+

=

σ

05

.

27

2

03

.

0

05

.

27

03

.

0

05

.

27

3

=

+

+

=

µ

,

01

.

0

6

03

.

0

03

.

0

3

=

+

=

σ

Wartości do standaryzacji zmiennej:

6

.

1703

05

.

27

25

05

.

25

25

055

.

20

20

=

+

+

=

µ

,

0975

.

0

01

.

0

25

01

.

0

25

015

.

0

20

2

2

2

=

+

+

=

σ

oraz

=

<

<

=

<

<

)

0975

.

0

6

.

1703

7

.

1703

0975

.

0

6

.

1703

0975

.

0

6

.

1703

5

.

1703

(

)

7

.

1703

5

.

1703

(

i

i

X

P

X

P

70

.

0

1

848

.

0

2

1

)

03

.

1

(

2

)

03

.

1

03

.

1

(

=

=

Φ

=

<

<

=

Y

P

Dokonano odczytu z tablic rozkładu normalnego.

Uwaga: Sp

rawdzić powyższe obliczenia !.

Zadanie 3 (podobne do tego z

wykładu)

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010

Strona 2

Lina spleciona jest z 20 drutów grubych i 70 cienkich. Wytrzymałość drutu grubego ma

rozkład równomierny w przedziale <3.2,4.8> kN. Wytrzymałość drutu cienkiego ma rozkład
równomierny w

przedziale <0.8,1.2>. Przyjmując, że wszystkie te zmienne losowe są

niezależne, i że wytrzymałość liny jest sumą wytrzymałości wszystkich drutów, znaleźć

prawdopodobieństwo, że wytrzymałość liny Q jest większa od 145 kN i mniejsza niż 153 kN.

Uwaga: Warto

ść średnią oraz wariancję dla rozkładu równomiernego na przedziale <a,b>

oblicza się odpowiednio ze wzorów:

2

b

a

+

=

µ

,

12

)

(

2

2

a

b

=

σ

Zadanie 4

Przestudiuj zadanie numer 2.19, str. 58 ze skryptu

Jana Oderfelda (zobacz piśmiennictwo w

wykładzie 1)

Zadanie 5

Odczytać wartość kwantyla rzędu 0.90 z tablic rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody

r=100 i wartość tego kwantyla z tablic rozkładu N(0.1). Obliczyć względną różnicę

procentową.

Wskazówka: Z tablic rozkładu Studenta odczytuje się wartości krytyczne. Jakiego rzędu

kwantylem jest wartość krytyczna ?

Zadanie 6

B

łąd zaokrąglenia przy dodawaniu na kalkulatorze ma rozkład jednostajny w przedziale

8

8

10

,

10

. Oszacować prawdopodobieństwo, że przy dodawaniu 1001 liczb błąd

bezwzględny nie przekroczy

7

10

.

Wskazówka: Wykorzystać CTG LL

Rozwiązanie:

Dodając 1001 liczb wykonamy 1000 działań dodawania. Niech

i

X

oznacza błąd (zmienna losowa) przy

wykonywaniu i-tego dodawania. Zmi

enna ta rozkład jednostajny więc:

0

2

10

10

)

(

E

8

8

=

+

=

=

i

i

X

µ

,

0

3

10

12

))

10

(

10

(

)

(

D

2

16

2

8

8

2

>

=

=

=

σ

i

X

Błąd całościowy to

=

=

1000

1

1000

i

i

X

S

. Chcemy oszacować

)

10

(

7

1000

S

P

. Z CTG LL otrzymujemy przybliżenie:

418

.

0

1

7088

.

0

2

1

)

55

.

0

(

2

1

)

3

.

0

(

2

3

/

10

0

10

1000

1000

(

)

10

(

13

7

1000

7

1000

=

=

Φ

Φ

=

σ

µ

S

P

S

P

Wykorzystaliśmy tablice rozkładu normalnego.

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010

Strona 3

Zadanie 7

Należy oszacować czas bezawaryjnej pracy wyprodukowanej partii dysków twardych.

Wiadomo, że czas pracy ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym σ, które nie jest
znane

.

Wylosowana niezależnie z tej partii próba n = 11 dysków dała wyniki pomiarów czasu

ich bezawaryjnej pracy (w tys. godzin): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950,
2690, 2720, 2800. Przyjmując poziom ufności 1-α = 0.98 oszacować metodą przedziałową

średni czas bezawaryjnej pracy tej partii oraz szerokość przedziału ufności.

Uwaga: Proszę przed obliczeniami koniecznie napisać wzór ogólny.

Rozwiązanie:

Średnia z 11 realizacji (jednostki pomijam):

55

.

2784

11

11

1

=

=

=

i

i

x

x

,

Estymator

59

.

90

)

(

11

1

2

=

=

=

n

x

x

s

i

i

oraz

65

.

28

10

/

59

.

90

1

=

=

n

s

Odczyt z tablic studenta t(0.02,10)=2.76 czyli

05

.

79

65

.

28

76

.

2

1

=

=

n

s

t

Czyli przedział ufności:

60

,

2863

;

50

,

2705

05

,

79

55

,

2784

;

05

,

79

55

,

2784

=

+

Szerokość przedziału

10

,

158

05

,

79

2

=

=

L

Zadanie 8

Za pomocą metody największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru p rozkładu
populac

ji ogólnej o rozkładzie dwumianowym:

m

x

p

p

x

m

p

x

P

x

m

x

,...,

2

,

1

,

)

1

(

)

,

(

=





=


Wyznaczyć, na podstawie n niezależnych pomiarów x

1

,x

2

,...,x

n

, estymator największej

wiarygodności dla p.

Rozwiązanie:

Było na wykładzie. W domu należy sprawdzić, że znalezione rozwiązanie przynosi maksimum funkcji

wiarygodności.

Zadanie 9

Czas pracy elementu jest zmienną losową X o gęstości

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010

Strona 4

>

=

0

,

0

0

),

(

)

(

1

x

gdy

x

gdy

x

exp

x

x

f

a

β

αβ

α

gdzie

α jest znanym dodatnim parametrem, β zaś jest nieznaną dodatnią stałą (jest to gęstość

rozkładu Weibulla). Wyznaczyć, na podstawie niezależnych pomiarów x

1

,x

2

,...,x

n

czasu pracy

elementu, estymator największej wiarygodności dla β.

Zadanie 10


Na podstawie n-elementowej próby prostej pobranej z populacji, w której badana cecha X ma

rozkład Poissona:



>

=

=

=

poza

c

i

e

i

c

i

X

P

c

i

0

0

,...

2

,

1

,

0

!

)

(

należy:

1.

Skonstruować estymator parametru c metodą analogii.

2.

Skonstruować estymator parametru c metodą największej wiarygodności

3.

Wykazać, że estymator według punktu 2 jest nieobciążony.

Zadanie 11

Zmienna losowa określająca populację ma rozkład określony funkcją gęstości

)

0

(

>

λ

:

>

=

poza

x

dla

xe

c

x

f

x

0

0

)

(

2

λ

λ

Należy:

1.

Wyznaczyć stałą c.

2.

Napisać funkcję dystrybuanty.

3.

Wyznaczyć estymator parametru λ metodą największej wiarygodności.

Rozwiązanie:

Stała c z warunku:

= 1

)

( dt

t

f

czyli:

[ ]

1

2

))

(

lim

1

(

2

2

2

2

2

2

0

=

=

=

=

=

c

e

c

e

c

dx

xe

c

dx

xe

c

x

T

x

x

x

λ

λ

λ

λ

λ

λ

A zatem c=2.
Dystrybuanta:
dla

:

0

x

0

)

(

=

x

F

dla

[ ]

2

2

2

1

2

)

(

:

0

0

0

x

x

t

x

t

e

e

dt

te

x

F

x

λ

λ

λ

λ

=

=

=

>

Funkcja wiarygodności:

=

=

=

=

i

i

i

x

n

i

i

n

n

n

i

x

i

e

x

e

x

L

2

2

)

(

2

)

2

(

1

1

λ

λ

λ

λ

Logarytmiczna funkcja wiarygodności:

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010

Strona 5

+

=

+

+

=

=

=

=

=

i

i

n

i

i

n

x

n

n

i

i

n

x

n

i

i

n

n

x

n

x

e

x

e

x

L

i

i

i

i

2

1

1

1

ln

))

(

2

ln(

ln

ln

))

(

2

ln(

)

)

(

2

ln(

ln

2

2

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Pochodna:

=

i

i

x

n

d

L

d

2

)

(ln

λ

λ

=0 gdy

=

i

i

x

n

2

λ

Sprawdzamy, że:

0

)

(ln

2

2

2

<

=

λ

λ

n

d

L

d

niezależnie od wartości parametru λ .

Estymatorem NW parametru

λ jest:

=

Λ

i

i

X

n

2

Zadanie 12

Należy oszacować żywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek.

Wiadomo, że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym

σ.

Wylosowana niezależnie z tej partii próba n = 11 świetlówek dała wyniki pomiarów czasu

ich świecenia (w godzinach): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950, 2690, 2720,

2800. Przyjmując poziom ufności 1-α = 0.98 oszacować metodą przedziałową średni czas

świecenia świetlówek tej partii oraz szerokość przedziału ufności.
R

ozważyć trzy przypadki:

a) Odchylenie standardowe jest znane i wynosi

σ=100 godzin.

b) Odchylenie standardowe nie jest znane.

c)

Jak zmieniłyby się brzegi przedziału ufności w przypadku 2 gdyby oszacowanie

pierwiastka z wariancji było równe wartości odchylenia z przypadku 1 (tzn.
s=

σ=100) ?

Przeliczyć.


Uwaga: W zadaniu

proszę przed obliczeniami napisać wzór ogólny.

Rozwiązanie:

a)

Średnia z 11 realizacji (jednostki pomijam):

5

.

2784

11

11

1

=

=

=

i

i

x

x

Jeśli odchylenie standardowe jest znane to:

131

.

70

11

100

326

.

2

99

.

0

=

=

n

x

σ

gdzie

99

.

0

x

jest kwantylem rzędu

2

1

α

rozkładu normalnego tzn. kwantylem rzędu 0.99, który odczytujemy z

tablic i

326

.

2

99

.

0

=

x

w takim razie przedział ufności wynosi: <2784.5-70.131;2784.5+70.131>=<2714.4 ; 2854.7>

Szerokość przedziału ufności wynosi 140.3

b)

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010

Strona 6

Estymator

59

.

90

)

(

11

1

2

=

=

=

n

x

x

s

i

i

Jeśli odchylenie standardowe nie jest znane to:

181

.

79

1

11

59

.

90

764

.

2

)

10

,

02

.

0

(

=

=

r

s

t

gdzie

)

10

,

02

.

0

(

t

jest

wartościa krytyczną (kwantylem rzędu

2

1

α

)

rozkładu Studenta, którą odczytujemy z

tablic i

764

.

2

)

10

,

02

.

0

(

=

t

w takim razie przedział ufności wynosi: <2784.5-79.181;2784.5+79.181>=<2705.4 ; 2863.7>

Szerokość przedziału ufności wynosi 158.36

c) Powtar

zamy obliczenia z punktu b ale zamiast s wstawiamy wartość 100.

Otrzymujemy przedział ufności <2697.1 ; 2871.9> i szerokość przedziału

równą 174.81 a zatem znacznie więcej niż w punkcie a).

Zadanie 13

Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych gotowych elementów walcowanych i

otrzymano następujące wyniki: 383, 284, 339, 340, 305, 386, 387, 335, 344, 346 [Pa]. Przy

założeniu, że wytrzymałość tych elementów jest zmienną losową

)

,

(

σ

µ

N

o nieznanych

µ

i

σ , wyznaczyć na podstawie tej próbki 95 % (tzn. przyjąć α = 0.05) realizację przedziału

ufności dla µ.

Zadanie 14

Zakłada się następujący sposób zdawania egzaminów poprawkowych:

Prawdopodobieństwo niezadania egzaminu poprawkowego (parametr θ) jest stałe dla

określonego przedmiotu i jednakowe dla wszystkich studentów w określonej grupie. Ze

względu na sens fizyczny musi być: 0 < θ < 1 (parametr θ nie zależy od tego po raz który

zdaje się egzamin poprawkowy).
Niech X

oznacza zmienną losową, która jest zdefiniowana jako liczba egzaminów

popra

wkowych ustalonego studenta aż do zdania włącznie. W założonym modelu X ma

rozkład geometryczny:

)

1

(

)

(

1

θ

θ

=

=

k

k

X

P

(k=1,2,...)

W pewnej grupie o liczności n=40 studentów zarejestrowano wynik przedstawiony w tablicy:

Krotność zdawania k:

Liczba stu

dentów o krotności k:

1

22

2

8

3

5

4

5

>4

0

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010

Strona 7

Oszacować metoda największej wiarygodności parametr θ.

Zadanie 15

Dokonano serii 5 pomiarów rezystancji metodą mostkową. Otrzymano następujące wyniki:
53.2, 53.6, 53.1, 54.9, 53.7

Ω. Obliczyć niepewność standardową typu A u

A

oraz niepewność

rozszerzoną U

A

dla poziomu ufności 0.95.

Rozwiązanie:

Przypominam fragment wykładu, że niepewność standardową obliczamy jako odchylenie standardowe lub

estymatę tego odchylenia.Obliczamy kolejno:

Średnia arytmetyczna serii pomiarów (jednostki pomijam):

7

.

53

5

5

1

=

=

=

i

i

x

x

Jako estymator odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru przyjmujemy (zobacz fragment wykładu

dotyczący estymowania wariancji w metodzie analogii):

72

.

0

1

5

)

7

.

53

7

.

53

(

)

7

.

53

9

.

54

(

)

7

.

53

1

.

53

(

)

7

.

53

6

.

53

(

)

7

.

53

3

.

52

(

1

)

(

2

2

2

2

2

5

1

2

=

+

+

+

+

=

=

=

n

x

x

s

i

i

Powyższe jest estymatorem odchylenia standardowego dla pojedynczego pomiaru. Natomiast wiadomo, że
odchylenie standardowe średniej arytmetycznej jest

5

=

n

32

.

0

5

72

.

0

=

=

=

n

s

s

x

A zatem

tą wartość przyjmujemy jako niepewność standardową pomiaru to znaczy u

A

=0.32

Ω.

Niepewność rozszerzona jest połową szerokości przedziału ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie

ufności 0.95 przy założeniu, że odchylenie standardowe nie jest znane (nie podano w zadaniu).

Oblicza się ja następująco (porównaj rozwiązanie zadania 12b):

32

.

0

776

.

2

)

4

,

05

.

0

(

=

=

x

A

s

t

U

=0.89


gdzie

)

4

,

05

.

0

(

t

jest wartością krytyczną rozkładu studenta o r=4 stopniach swobody, albo jak kto woli

kwantylem rzędu 1-0.05/2. W ocenie niepewności rozszerzonej kwantyl t rozkładu studenta nosi nazwę

współczynnika rozszerzenia i oznacza jako k.


Zadanie 16.

Weźmy pod uwagę zadanie 12 punkt b). Postawimy hipotezę H

0

:

2790

=

µ

przeciwko

hipotezie H

1

:

2790

<

µ

(ta hipoteza jest uzasadniona bo z obliczeń otrzymaliśmy wartość

estymatora wartości oczekiwanej <2790).

Należy zweryfikować hipotezę H

0

na poziomie istotności

05

.

0

=

α

.

Rozwiązanie:
T

worzymy statystykę (odchylenie standardowe nie jest znane):

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010

Strona 8

1

0

n

S

X

µ

i obliczamy jej realizację dla zadanych danych:

192

.

0

10

59

.

90

2790

5

.

2784

1

0

=

=

n

s

x

µ

Tworzymy obszar krytyczny lewostronny dla poziomu istotności

05

.

0

=

α

:

)

,

(

05

.

0

t

S

od

−∞

=

Gdzie t

0.05

jest kwantylem rzędu 0.05 rozkładu Studenta dla 10 stopni swobody. Jest on zatem równy:

)

10

,

1

.

0

(

05

.

0

t

t

=

gdzie t(0.1,10)

jest wartością krytyczna rozkładu studenta. Z tablic wartości krytycznych

odczytujemy t(0.1,10)

=1.81. Stąd:

)

81

.

1

,

(

−∞

=

od

S

. Zatem

od

S

− 192

.

0

a zatem brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

(stosujemy orzekanie dwuorzeczeniowe).


Zadanie 17.

Weźmy pod uwagę zadanie 12 punkt a). Postawimy hipotezę H

0

:

2790

=

µ

przeciwko

hipotezie H

1

:

2790

<

µ

(ta hipoteza jest uzasadniona b

o z obliczeń otrzymaliśmy wartość

estymatora wartości oczekiwanej <2790).

Należy zweryfikować hipotezę H

0

na poziomie istotności

05

.

0

=

α

.

Rozwiązanie:

Tworzymy statystykę (odchylenie standardowe jest znane):

n

X

σ

µ

0

i obliczamy jej realizację dla zadanych danych:

182

.

0

11

100

2790

5

.

2784

0

=

=

n

x

σ

µ


Tworzymy obszar krytyczny lewostronny dla poziomu istotności

05

.

0

=

α

:

)

,

(

05

.

0

u

S

od

−∞

=

Gdzie u

0.05

jest kwantylem rzędu 0.05 rozkładu N(0.1). Jest on zatem równy:

64

.

1

05

.

0

=

u

)

64

.

1

,

(

−∞

=

od

U

. Zatem

od

S

− 192

.

0

a zatem brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

(stosujemy orzekanie dwuorzeczeniowe).




Uwaga:

Analizując rozwiązania wszystkich zadań należy zawsze sprawdzać obliczenia

i wzory!


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MiTE Zadania seria 2 wersja 06
MiTE Zadania seria 2 wersja 03
MiTE Zadania seria 2 wersja 04 Nieznany
MiTE Zadania seria 1 wersja 01 Nieznany
MiTE Zadania seria 2 wersja 03
MiTE Zadania seria 2 wersja 04 Nieznany
MiTE Zadania seria 2 wersja 04
MiTE Zadania seria 2 wersja 03
MiTE Zadania seria 1 wersja 01
MITE Zadania domowe seria 2
MITE Zadania domowe seria 2
MiTE Zadania domowe seria 1 Nieznany
MITE Zadania domowe seria 3 id Nieznany
MiTE wykL,ad 7 8 wersja 01 id 3 Nieznany
Polityka migracyjna Polski wersja z 06 04 2011

więcej podobnych podstron