Zadanie 1
y
Dana jest funkcja:
⎧ cy dla x, y ∈ D
1
f ( x, y) ( )
= ⎨
⎩0 poza
D
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
1
2
x
Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y) 2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych 3. Narysować wykresy gęstości brzegowych 4. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y) 5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych 6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych 7. Obliczyć współczynnik korelacji ρX,Y . Czy istnieje zależność liniowa pomiędzy X a Y ?
Rozwiązanie:
Ad. 1
D : (
⎧
x
⎨ x, y)
⎫
: 0 ≤ x ≤ 2 i 0 ≤ y ≤ 1− ⎬
⎩
2⎭
D : (
{ x, y):0 ≤ y ≤1 i 0 ≤ x ≤ (
2 1− y)}
1 2(1− y )
1
1
1
2
3
⎡ y
y ⎤
cydv = c
y dxdy = c 2 y(1− y) dy = 2
∫∫
∫ ∫
∫
c∫ (
2
y − y )
2
dy = 2 c
−
= c = c =1⇒ c = 3
⎢
⎥
2
3
6
3
D
0
0
0
0
⎣
⎦0
Ad. 2
1− x
2
f
X ( x )
2
3 ⎛
x ⎞
= 3 ydy = ⎜1− ⎟
∫
2 ⎝
2 ⎠
0
2( −
1 x )
f
= 3
= 6 − 2 = 6 1−
∫
Y ( y )
ydx
( y y ) y( y) 0
Ad. 3
fX(x)
fY(y)
1,5
1,5
x
2
y
1
Ad. 4
2
2
2
2
2
2
E( X )
⎛
x ⎞
⎛
x ⎞
⎛
x ⎞
= m = xf x dx =
x
X
⎜ − ⎟ dx =
x
− x +
dx =
x − x +
dx =
10
( )
3
3
3
3
1
1
2
∫
∫
∫
∫
2 ⎝
2 ⎠
2
⎜⎜
4 ⎟⎟
2 ⎜⎜
4 ⎟⎟
0
0
0
⎝
⎠
0 ⎝
⎠
2
3
2
3
4
⎡ x
x
x ⎤
3 ⎡
8
⎤ 1
=
−
+
=
2 − +1 =
⎢
⎥
2 2
3
16
2 ⎢
⎣
⎦
⎣
3
⎥⎦ 2
0
1
1
1
E( Y )
⎡ y
y ⎤
= m = yf y dy =
y
− y dy =
−
=
=
01
Y (
)
3
4
6
2 (1
)
1
1
6
6
∫
∫
⎢
⎥
3
4
12
2
0
0
⎣
⎦0
Ad. 5
1 2(1− y )
2(1− y )
1
2
2
1
2
⎡ x y ⎤
−
m = E XY =
xycydv =
xy dxdy =
dy =
y
y dy =
11
( )
2
(
4 1
) 2
3
3
3
∫∫
∫ ∫
∫⎢
⎥
∫
2
2
D
0
0
0 ⎣
⎦0
0
1
1
3
4
5
⎡ y
y
y ⎤
⎡
⎤
= 6 2
∫ y (1−2
2
y + y )
2
1 1 1
6
1
dy = 6
−
+
= 6 − +
= 2 − 3 + =
⎢
⎥
3
4
5
⎢
⎣
⎦
⎣3 2 5⎥⎦
5
5
0
0
COV ( X , Y ) 1 1 1
1
= m − m ⋅ m = − ⋅ = −
11
10
01
5 2 2
20
Ad. 6
E(
⎛
x ⎞
⎛
x ⎞
⎛
x ⎞
2
X )
2
2
2
2
2
2
2
= m = x f x dx =
x
X
⎜ − ⎟ dx =
x
− x +
dx =
x − x +
dx =
20
( )
3 2
3
2
3
4
1
1
2
3
∫
∫
∫
∫
2
⎝
2 ⎠
2
⎜⎜
4 ⎟⎟
2 ⎜⎜
4 ⎟⎟
0
0
0
⎝
⎠
0 ⎝
⎠
2
3
3
4
5
⎡ x
x
x ⎤
3 ⎡8
32 ⎤ 3 160 − 240 + 96 2
=
−
+
=
− 4 +
= ⋅
=
2 ⎢ 3
4
20⎥
2 ⎢
⎣
⎦
⎣3
20⎥⎦ 2
60
5
0
E(
⎡ y
y ⎤
2
Y )
1
1
1
2
= m = y f y dy =
y
− y dy =
−
=
=
02
Y (
)
4
5
6
3 (1
)
6
3
6
∫
∫
⎢ 4 5 ⎥ 20 10
0
0
⎣
⎦0
2
2
2 1
3
σ = m − m = − =
X
20
10
5 4
20
2
2
3
1
1
σ = m − m =
− =
Y
02
01
10
4
20
Ad. 7
1
1
COV (
−
−
X , Y )
20
20
1
400
1
ρ =
=
=
= −
⋅
= −
≅ − 577
,
0
XY
2
2
σ ⋅ σ
3
1
3
20
3
3
X
Y
⋅
20
20
400
Zmienne X i Y nie są zależne.
Zadanie 2
y
Dana jest funkcja:
⎧ cxy 2 dla x, y ∈ D
1
f ( x, y) ( )
= ⎨
⎩0 poza
D
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
1
x
Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y) 2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych 3. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y) 4. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych 5. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych 6. Obliczyć współczynnik korelacji ρX,Y. Czy są zależne liniowo, czy nie ?
Rozwiązanie:
Ad. 1
D : (
{ x, y):0 ≤ x ≤1 i 0 ≤ y ≤ }
x
D : (
{ x, y):0 ≤ y ≤1 i y ≤ x ≤ }
1
1 x
1
3
x
1
1
4
5
⎡ xy ⎤
x
⎡ x ⎤
2
2
cxy dv = c
xy dydx = c
dx = c
dx = c
= c =1⇒ c =15
∫∫
∫∫
∫⎢ ⎥
∫
⎢ ⎥
3
3
15
15
D
0 0
0 ⎣
⎦0
0
⎣ ⎦0
Ad. 2
x
x
⎡
⎤
f
=
=
=
∫
X ( x )
3
2
xy
4
15 xy dy 15
5 x
⎢ 3 ⎥
0
⎣
⎦0
1
1
⎡
⎤
f
=
=
=
−
=
−
∫
Y ( y )
2
2
2
x y
15
15 xy dx 15⎢
⎥
( 2 4
y
y ) 15 2
y (
2
1 y )
2
2
2
⎣
⎦
y
y
Ad. 3
1
1
1
1
E( X )
⎡ x ⎤
= m = xf x dx = x ⋅ x dx = x dx =
=
10
X (
)
6
4
5
5
5
5
5
∫
∫
∫
⎢ ⎥
6
6
0
0
0
⎣ ⎦0
1
1
1
E( Y )
⎡ y
y ⎤
= m = yf y dy =
y − y dy =
−
=
=
01
Y (
)
15
∫
∫( 3 5) 15 4 6
15
5
⎢
⎥
2
2
4
6
24
8
0
0
⎣
⎦0
Ad. 4
1 x
1
2
4
x
1
2 4
1
⎡ x y ⎤
m = E XY =
xyxy dv =
x y dydx =
dx =
x x dx =
x dx =
11
( )
2
2
3
15
15
15
15
15
6
∫∫
∫∫
∫⎢
⎥
∫
∫
4
4
4
D
0 0
0 ⎣
⎦0
0
0
1
15
7
⎡ x ⎤
15 1
15
=
=
⋅ =
⎢ ⎥
4 7
4 7
28
⎣ ⎦0
COV (
−
X , Y )
15 5 5 15 25 180 175
5
= m − m ⋅ m =
− ⋅ =
−
=
=
≅ 0149
,
0
11
10
01
28 6 8
28 48
336
336
Ad. 5
E(
⎡ x ⎤
2
X )
1
1
1
2
= m = x f x dx =
x dx =
=
20
X (
)
7
6
5
5
5
∫
∫
⎢ ⎥
7
7
0
0
⎣ ⎦0
E(
⎡ y
y ⎤
2
Y )
1
1
1
2
⎡
⎤
= m = y f y dy =
y − y dy =
−
=
−
=
⋅
=
02
Y (
)
15
∫
∫( 4 6) 15 5 7
15 1 1
15 2
3
⎢
⎥
2
2
5
7
2 ⎢
⎣
⎦
⎣5 7⎥⎦
2 35
7
0
0
0
2
2
5 25
5
σ = m − m = −
=
≅ 0198
,
0
X
20
10
7 36
252
2
2
3 25
17
σ = m − m = −
=
≅ 0379
,
0
Y
02
01
7 64
448
Ad. 6
COV ( X , Y ) 0149
,
0
0149
,
0
ρ =
≅
=
= 544
,
0
XY
2
2
σ ⋅ σ
0198
,
0
⋅
0379
,
0
0273
,
0
X
Y
Zmienne X i Y nie są zależne.
Zadanie 3
y
Dana jest funkcja:
⎧ cxy 3 dla x, y ∈ D
1
f ( x, y) ( )
= ⎨
⎩0 poza
D
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
1
x
Należy:
1. Zapisać analitycznie obszar D
2. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y) 3. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych 4. Obliczyć momenty zwykłe rzędu (0,1) i (1,0) 5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych 6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych 7. Obliczyć współczynnik korelacji ρX,Y. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
Rozwiązanie:
Ad. 1
D : (
{ x, y):0 ≤ x ≤1 i x ≤ y ≤ }
1
D : (
{ x, y):0 ≤ y ≤1 i 0 ≤ x ≤ y}
Ad. 2
1 y
1
2
3
y
1
1
5
6
⎡ x y ⎤
y
⎡ x ⎤
3
3
cxy dv = c
xy dxdy = c
dy = c
dy = c
= c =1⇒ c =12
∫∫
∫∫
∫⎢
⎥
∫
⎢ ⎥
2
2
12
12
D
0 0
0 ⎣
⎦0
0
⎣ ⎦0
Ad. 3
1
1
⎡
⎤
f
=
=
=
−
∫
X ( x )
4
3
12 xy
12 xy
dy
⎢
⎥
( 5
3 x x )
4
⎣
⎦
x
x
y
y
⎡
⎤
f
=
=
=
∫
Y ( y )
2
3
3
x y
5
12 xy dx 12
6 y
⎢
⎥
2
0
⎣
⎦0
Ad. 4
1
1
1
E( X )
⎡ x
x ⎤
⎛
⎞
= m = xf x dx =
x − x dx =
−
=
∫
X
∫
⎢
⎥
⎜ − ⎟ =
=
10
( )
3
7
3 ( 2
6 )
1 1
12
4
3
3
3
7
⎣
⎦
⎝ 3 7 ⎠ 21 7
0
0
0
1
1
1
E( Y )
⎡ y ⎤
= m = yf y dy =
y dy =
=
01
Y (
)
7
6
6
6
6
∫
∫
⎢
⎥
7
7
0
0
⎣
⎦0
Ad. 5
1
3
4
y
1
3
4
1
⎡ x y ⎤
m = E XY =
xyxy dv =
x y dxdy =
dy =
y y dy = y dy =
11
( ) 12
3
12
2
4
12
12
4
7
∫∫
∫∫
∫⎢
⎥
∫
∫
3
3
D
0 0
0 ⎣
⎦0
0
0
1
8
⎡ y ⎤
1
1
= 4
= 4⋅ =
⎢ ⎥
8
8
2
⎣ ⎦0
COV (
−
X , Y )
1 4 6
1 24
49 48
1
= m − m ⋅ m = − ⋅ = −
=
=
≅ 0102
,
0
11
10
01
2 7 7
2 49
98
98
Ad. 6
E(
⎡ x
x ⎤
2
X )
1
1
1
2
⎡
⎤
= m = x f x dx =
x − x dx =
−
=
−
=
20
X (
)
4
8
3
∫
∫( 3 7)
1 1
3
3
3
⎢
⎥
4
8
⎢
⎣
⎦
⎣4 8⎥⎦ 8
0
0
0
E(
⎡ y ⎤
2
Y )
1
1
1
2
= m = y f y dy =
y dy =
= =
02
Y (
)
8
7
6
3
6
6
∫
∫
⎢ ⎥
8
8
4
0
0
⎣ ⎦0
2
2
3 16
19
σ = m − m = −
=
≅ 0485
,
0
X
20
10
8 49
392
2
2
3 36
3
σ = m − m = −
=
≅ 0153
,
0
Y
02
01
4 49 196
Ad. 7
COV ( X , Y ) 0102
,
0
0102
,
0
ρ =
≅
=
= 37
,
0
XY
2
2
σ ⋅ σ
0485
,
0
⋅
0153
,
0
0272
,
0
X
Y
Zmienne X i Y nie są zależne.
y
Dana jest funkcja:
⎧ c x + y dla x, y ∈ D
4
f ( x, y) (
)
( )
= ⎨
⎩0 poza
D
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
1
x
Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y) 2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych 3. Narysować wykresy gęstości brzegowych 4. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y) 5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych 6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych 7. Obliczyć współczynnik korelacji ρX,Y . Czy istnieje zależność liniowa pomiędzy X a Y ?
Rozwiązanie:
Ad. 1
D : (
{ x, y):0 ≤ x ≤1 i 0 ≤ y ≤ 4(1− x)}
D : (
⎧
y
⎨ x, y)
⎫
: 0 ≤ y ≤ 4 i 0 ≤ x ≤ 1− ⎬
⎩
4 ⎭
1 4(1− x)
4(1− x)
1
2
1
1
cydv = c
( x + y)
⎡
y ⎤
dydx = c
xy +
dx = c 4
∫∫
∫ ∫
∫⎢
⎥
x(1− x)+ (
8 1− x)2 dx = c 8 −12 x + 4 2
x dx =
∫
∫
2
D
0
0
0 ⎣
⎦0
0
0
1
⎡
3 2
3
x
x ⎤
⎛
3 1 ⎞ 20 c
3
= 4 c 2 x −
+
= 4
⎢
⎥
c⎜ 2 −
+ ⎟ =
=1⇒ c =
2
3
⎣
⎦
⎝
2 3 ⎠
6
10
0
Ad. 2
4(1− y )
f
=
+
=
− +
−
=
−
+
∫
X ( x )
3
( x y)
3
dy
(4 x(1 x) (8 x)2) 12
1
(
2
2 3 x x )
10
10
10
0
−
1 y
−
1 y
−
1 y
fY ( y)
4
2
4
4
= 3 ( x + y)
3 ⎡ x
⎤
3 ⎡ ⎛ x
⎞⎤
3 ⎛
y ⎞ ⎛ 1
y
⎞
dx =
+ xy
=
∫
⎢
⎥
x⎜ + y ⎟
=
⎢
⎥
⎜1− ⎟⋅⎜ − + y⎟ =
10
10
0
⎣ 2
⎦
10
0
⎣ ⎝ 2
⎠⎦
10
0
⎝
4 ⎠ ⎝ 2 8
⎠
3 ⎛
y ⎞ ⎛
7 y ⎞
3 ⎛
3 y 7 2
y ⎞
=
⎜1− ⎟⋅⎜1−
⎟ =
⎜⎜1+
−
⎟⎟
20 ⎝
4 ⎠ ⎝
4 ⎠ 20 ⎝
2
16 ⎠
fX(x)
fY(y)
12/5
3/20
x
1
y
4
Ad. 4
1
1
1
1
E( X )
⎡ x
x
x ⎤
= m = xf x dx =
x
− x + x dx =
x − x + x dx =
−
+
=
10
X (
)
12
∫
∫ (
2
3
4
2
2 )
12
3
∫(2 3 2 3) 12 2
3
⎢
⎥
10
10
10
2
3
4
0
0
0
⎣
⎦0
12 ⎡
1 ⎤ 12 1
3
=
1−1+
=
⋅ =
10 ⎢⎣
4⎥⎦ 10 4 10
4
4
4
E( Y )
⎛
y
y ⎞
⎡ y
y
y ⎤
⎛
⎞
= m = yf y dy =
y
+
−
dy =
+
−
=
∫ Y
∫ ⎜⎜
⎟⎟
⎢
⎥
⎜ +
−
⎟ =
01
( )
3
3
7 2
3
2
3 3
7 4
3
192 1792
9
1
8
20
2
16
20 2
6
64
20
⎝
⎠
⎣
⎦
⎝
6
64 ⎠ 5
0
0
0
Ad. 5
1 4(1− x)
1 4(1− x )
4(1− x)
1 ⎡ x y
xy ⎤
m = E XY =
xycydv =
xy x + y dydx =
x y + xy dydx =
+
dx =
11
( )
3
(
)
3
2
2
3
2
2
3
∫∫
∫ ∫
∫ ∫
∫⎢
⎥
10
10
10
2
3
D
0
0
0
0
0 ⎣
⎦0
3 1
2
1
⎡
⎛ x
x − x ⎞
=
∫⎢ (
⎤
16 1− x)2
4 (1
)
3 8
⋅⎜⎜ +
⎟⎟⎥ dx =
∫ (8 x−21 2 x +18 3 x −5 4 x) dx =
10
2
3
10 3
0 ⎣
⎝
⎠⎦
0
1
4 ⎡8 2
x
21 3
x
18 4
x
5 5
x ⎤
4 ⎡
9
⎤ 4 1 2
=
−
+
−
=
4 − 7 + −1 = ⋅ =
⎢
⎥
5 ⎣ 2
3
4
5 ⎦
5 ⎢⎣
2
⎥⎦ 5 2 5
0
COV ( X , Y ) 2
3 9
7
= m − m ⋅ m = −
⋅ = −
≅ − 14
,
0
11
10
01
5 10 5
50
Ad. 6
E( 2
X )
1
1
1
2
= m = x f x dx =
x
− x + x dx =
x − x + x dx =
20
X (
)
12 2
∫
∫
(2
2 )
12
3
∫(2 2 3 3 4)
10
10
0
0
0
1
12 ⎡2 3
x
3 4
5
x
x ⎤
12 ⎡2 3 1⎤ 12 7
7
=
−
+
=
− +
=
=
= 14
,
0
⎢
⎥
10
3
4
5
10 ⎢
⎣
⎦
⎣3 4 5⎥⎦ 10 60 50
0
E(
⎛
y
y ⎞
⎛
y
y ⎞
2
Y )
4
4
2
4
2
= m = y f y dy =
y
+
−
dy =
y +
−
dy =
02
Y (
)
3
2
3
7
3
3 3
2
7 4
1
∫
∫
∫
20
⎜⎜
2
16 ⎟⎟
20 ⎜⎜
2
16 ⎟⎟
0
0
⎝
⎠
0 ⎝
⎠
4
3
3
⎡ y
3 4
y
7 5
y ⎤
3 ⎡64 768 7168⎤
3 416 104
=
+
−
=
+
−
=
⋅
=
= 16
,
4
⎢
⎥
20 3
8
80
20 ⎢
⎣
⎦
⎣ 3
8
80 ⎥⎦ 20 15
25
0
2
σ = m − m = 14
,
0
− 09
,
0
= 05
,
0
X
20
10
2
2
σ = m − m = 16
,
4
− ,
3 24 = 92
,
0
Y
02
01
Ad. 7
COV ( X , Y )
− 14
,
0
− 14
,
0
ρ =
=
=
= − 14
,
0
⋅ 66
,
4
= − 65
,
0
XY
2
2
σ ⋅ σ
05
,
0
⋅
92
,
0
046
,
0
X
Y
Zmienne X i Y nie są zależne.
Zadanie 5.
Wypowiedziano twierdzenie:
COV(X,Y)=0 ⇔ zmienne losowe X i Y są niezależne.
Czy twierdzenie jest prawdziwe ?
Odpowiedź uzasadnij.