Instrukcja do ćwiczenia - Laboratorium E9

Jakość i korekcja układów regulacji

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

1

CzĊĞü I - OCENA JAKOĝCI REGULACJI

WPROWADZENIE

Od układu automatycznej regulacji, oprócz spełnienia nadrzĊdnego warunku dotyczącego jego stabilnoĞci,

wymaga siĊ takĪe odpowiedniej jako

Ğci regulacji. JakoĞü ta okreĞlana jest wielkoĞcią uchybu regulacji w czasie

całego okresu pracy układu. Ze wzglĊdu jednak na przypadkowy charakter zakłóceĔ oddziałujących na układ, nie
jest moĪliwe analityczne okreĞlenie rzeczywistego przebiegu uchybu regulacji. Wobec tego ocenĊ jakoĞci pracy
układu moĪna przeprowadziü jedynie na podstawie odpowiednio dobranych wska

Ĩników jakoĞci, które

wyraĪają stawiane układowi wymagania technologiczne, ekonomiczne i inne. PoniĪej przedstawione zostaną
niektóre z takich wskaĨników, najczĊĞciej stosowanych w praktyce [2 s.118-121],[3 s.210-249]

I. Dokładno

Ğü statyczna

- charakteryzuje stan ustalony układu, a okreĞlana jest na podstawie wartoĞci uchybu ustalonego

e

e t

s e s

ust

t

s

=

=

→∞

→

lim

lim

( )

( )

0

(1)

na który w przypadku ogólnym składają siĊ czĊĞci bĊdące efektem działania wymuszenia w(t) oraz zakłóceĔ z

1

(t),

z

2

(t) , ..., z

r

(t) (jak na Rys. 1)

e

e

e

ust

ust w

ust z

=

+

,

,

(2)

przy czym

e

e

ust z

ust z

i

r

i

,

,

=

=

¦

1

(3)

Dla powyĪszego układu regulacji, moĪna zapisaü

e s

G s

w s

G s

G s

z s

G s

G s

z s

G s

G s

z s

o

j

j

r

o

j

j

r

o

r

o

r

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

∏

∏

1

1

1

1

1

1

1

2

2



(4)

przy czym

G s

G

s

G s

G

s G

s

o

reg

j

j

r

reg

ob

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

∏

1

(5)

nazywa siĊ transmitancją operatorową układu otwartego i jest szeregowym połączeniem transmitancji regulatora
G

reg

(s) i obiektu G

ob

(s). Na tej podstawie otrzymuje siĊ transmitancje uchybowe:

1 - wymuszeniow

ą - od sygnału w(s) - dla z s

z

s

z s

r

1

2

0

( )

( )

( )

=

=

=

=



G

s

e s

w s

G

s

e w

o

,

( )

( )

( )

( )

=

=

+

1

1

(6)

Rys. 1. Schemat blokowy układu automatycznej regulacji z rozbiciem obiektu regulacji

na r członów zgodnie z miejscami działania zakłóceĔ

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

2

2 - zakłóceniow

ą - od sygnałów z

i

(s) - dla:

w s

z s

z

s

z

s

z s

i

i

r

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

=

=

=

=

−

+

1

1

1

0





G

s

e s

z s

G

s

G

s

e z

i

j

j i

r

o

i

,

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

+

=

∏

1

(7)

Ze wzglĊdu na zachowanie siĊ uchybu w stanie ustalonym, układy regulacji dzieli siĊ na statyczne i

astatyczne. W układzie statycznym stałemu sygnałowi wymuszającemu (lub stałym sygnałom zakłócającym)
odpowiada w stanie ustalonym stały (róĪny od 0) sygnał uchybu. Natomiast w układzie astatycznym uchyb
ustalony równy jest 0 i nie zaleĪy on od ustalonych wartoĞci sygnału wymuszającego (lub sygnałów
zakłócających). Dodatkowo mówi siĊ, Īe układ regulacji jest astatyczny wzglĊdem wymuszenia i ma h-ty rz

ąd

astatyzmu, jeĞli dla sygnału wymuszeniowego bĊdącego wielomianową funkcją czasu l-tego stopnia

w t

A t

j

j

j

l

( )

=

=

¦

0

(8)

obowiązuje

e

h

l

h=l

h

l

ust ,w

=

≠

∞

>

<

­

®

°

¯

°

0

dla

const 0 dla

dla

(9)

Korzystając z powyĪszych zaleĪnoĞci moĪna wykazaü, Īe postaü transmitancji układu otwartego pozwala

okreĞliü rząd astatyzmu układu z Rys. 1. Tak wiĊc dla transmitancji G

o

(s) o postaci

G s

L s

s M

s

o

o

h

o

( )

( )

( )

=

(10)

dla: L

o

(0) M

o

(0)

≠

0,

otrzymuje siĊ dla

h=0 - układ statyczny wzglĊdem wymuszenia,
h=1 - układ astatyczny 1-go rzĊdu wzglĊdem wymuszenia,
h=k - układ astatyczny k-tego rzĊdu wzglĊdem wymuszenia;

a wymuszeniową transmitancjĊ uchybową moĪna zapisaü jako

G

s

e s

w s

G s

L s

s M

s

s M

s

s M

s

L s

s M

s

M s

e

o

o

h

o

h

o

h

o

o

h

o

,w

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

+

=

+

=

+

=

1

1

1

1

(11)

dla: M

o

(0) M(0)

≠

0

Oznacza to, Īe układ jest statyczny wzgl

Ċdem wymuszenia, jeĞli jego wymuszeniowa transmitancja uchybowa

nie ma miejsca zerowego licznika równego zeru, oraz jest astatyczny k-tego rz

Ċdu wzglĊdem wymuszenia,

jeĞli transmitancja ta posiada takie miejsce zerowe o krotnoĞci równej k.

Analogicznie jak dla wymuszenia, mówi siĊ, Īe układ regulacji jest astatyczny wzglĊdem zakłócenia i ma q-

ty rz

ąd astatyzmu, jeĞli dla sygnału zakłócającego bĊdącego wielomianową funkcją czasu l’-tego stopnia

z t

B t

i

j

j

j

l

( )

'

=

=

¦

0

(12)

obowiązuje

e

q

l

q=l

q

l

ust

i

,z

'

'

'

=

≠

∞

>

<

­

®

°

¯

°

0

dla

const 0 dla

dla

(13)

Dla uchybów, których przebiegi po zanikniĊciu procesów przejĞciowych nie są stałymi funkcjami czasu,

wygodnie jest wykorzystywaü tzw. współczynniki uchybu. Wykazuje siĊ bowiem, Īe dla

t

→ ∞

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

3

e

t

G

w t

G

w t

G

w t

e

t

G

z t

G

z t

G

z t

w

d

dt

k

d

dt

z

i

d

dt

i

k

d

dt

i

k

k

i

i

i

i

k

k

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

,w

,w

,w

,z

,z

,z

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

0

1

0

1









(14)

gdzie współczynniki uchybu G

k w

,

oraz

G

k z

,

oblicza siĊ z zaleĪnoĞci

G

k

d

ds

G

s

G

k

d

ds

G

s

k w

k

k

e w

s

k z

k

k

e z

s

i

i

,

,

,

,

!

( )

!

( )

=

=

=

=

1

1

0

0

(15)

Inną metodą wyznaczania tych współczynników jest podzielenie przez siebie wielomianów licznika i mianownika
odpowiednich transmitancji uchybowych, co pozwala zapisaü

G

s

G

G

s

G

s

G

s

G

G

s

G

s

e w

w

w

k w

k

e z

z

z

k z

k

i

i

i

i

,

,

,

,

,

,

,

,

( )

( )

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

0

1

0

1









(16)

Problemy do samodzielnego rozwiązania:
1. Wyprowadziü podane powyĪej zaleĪnoĞci.
2. OkreĞlenie astatyzmu układu na podstawie jego transmitancji wypadkowej.
3. Wpływ współczynnika wzmocnienia toru głównego układu statycznego na wartoĞü uchybu ustalonego.

MoĪliwoĞci zmniejszania uchybu ustalonego.

4. Postaü współczynników uchybu dla układów astatycznych.

II. Parametry odpowiedzi jednostkowej

- zgodnie z oznaczeniami na Rys. 2, bada siĊ

1 - przeregulowanie - okreĞlone zaleĪnoĞcią

δ

1

100

=

−

h

h

h

ust

ust

max

%

(17)

Zwykle dopuszcza siĊ przeregulowanie

δ

1

= (10÷30)% wartoĞci ustalonej.

2 - czas regulacji t

r

- jest to czas, po upływie którego wielkoĞü regulowana róĪni siĊ trwale od swojej wartoĞci

ustalonej o nie wiĊcej niĪ załoĪony błąd dopuszczalny ∆

∆

∆

∆.

Rys. 2. Przykładowa odpowiedĨ jednostkowa układu

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

4

3 - bł

ąd dopuszczalny ∆

∆

∆

∆ - ocenia dokładnoĞü z jaką okreĞla siĊ w układzie stan ustalony. Zwykle przyjmuje siĊ

wartoĞci

∆

= (2÷5)% wartoĞci ustalonej.

4 - czas narastania t

n

- mierzy szybkoĞü reakcji układu. Jest to czas, po upływie którego wielkoĞü regulowana

po raz pierwszy zrówna siĊ z wartoĞcią ustaloną.

5 - tłumienno

Ğü - okreĞla skłonnoĞü układu do oscylacji, a obliczana jest jako stosunek

σ

δ

δ

=

1

2

(18)

III. Rozkład pierwiastków równania charakterystycznego

- okreĞla charakter przebiegów czasowych w stanach przejĞciowych. Wymagania stawiane układowi mogą

wiĊc dotyczyü nie tylko połoĪenia tych pierwiastków w lewej półpłaszczyĨnie zmiennej zespolonej (ze wzglĊdu
na stabilnoĞü), ale takĪe w okreĞlonej czĊĞci tej półpłaszczyzny. Bada siĊ:

1 - stopie

Ĕ stabilnoĞci η

η

η

η - wyraĪający minimalną szybkoĞü zanikania składowych w układzie. OkreĞlony jest

zaleĪnoĞcią

{ }

η

= min Re

s

i

i

s

(19)

gdzie s

i

jest i-tym pierwiastkiem równania charakterystycznego n-tego stopnia.

2 - oscylacyjno

Ğü µ

µ

µ

µ - wskazującą skłonnoĞü układu do oscylacji. OkreĞlona jest (zgodnie z Rys.3) zaleĪnoĞcią

{ }

{ }

µ

ψ

=

=

max

Im

Re

tg

s

i

i

i

s

s

(20)

Zwykle przyjmuje siĊ

Ψ

≤ 60°.

IV. Kryteria cz

ĊstotliwoĞciowe

- okreĞlają jakoĞü regulacji na podstawie charakterystyk czĊstotliwoĞciowych układu. Miarą zapasu sta-

bilno

Ğci układu zamkniĊtego jest odległoĞü charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego (jak na Rys.

4) od punktu (-1,j0). Zapas ten definiowany jest przy tym poprzez zapas amplitudy (modułu)

∆

A lub zapas

wzmocnienia

∆

K oraz zapas fazy

∆ϕ

.

Rys. 3. OkreĞlanie stopnia stabilnoĞci

η

i oscylacyjnoĞci

µ

Rys. 4. OkreĞlanie zapasu stabilnoĞci na

podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej

układu otwartego

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

5

PowyĪsze wielkoĞci okreĞlane są za pomocą nastĊpujących zaleĪnoĞci

∆

∆

1

0

1

2

0

2

1

1

A

A

A

A

=

−

= −

(

)

(

)

ω

ω

(21)

∆

∆

1

0

1

2

0

2

1

K

A

K

A

=

=

(

)

(

)

ω

ω

(22)

∆

Π

ϕ

ϕ ω

= −

+

o

x

(

)

(23)

przy czym

[

]

A

G

j

G

j

o

o

o

o

(

)

(

)

(

)

(

)

ω

ω

ϕ ω

ω

=

= arg

(24)

CzĊsto do okreĞlenia zapasu stabilnoĞci uĪywa siĊ logarytmicznych charakterystyk czĊstotliwoĞciowych (jak

to pokazano na Rys. 5). Mówi siĊ wtedy o logarytmicznym zapasie amplitudy

∆

L (w decybelach)

∆

∆

1

1

2

2

20

20

L

A

L

A

o

o

=

=

lg

lg

(

)

(

)

ω

ω

(25)

i logarytmicznym zapasie fazy

∆ϕ

(jak 23).

Zwykle przyjmuje siĊ

∆

A = (0,5

÷0,6) co odpowiada

∆

K = (2,0

÷2,5) lub

∆

L = (6

÷8) dB oraz

∆ϕ

≈

Π

/6.

W oparciu o charakterystykĊ amplitudową układu zamkniĊtego (jak na Rys. 6) okreĞla siĊ szczyt rezo-

nansowy M

p

. Jest to maksymalna wartoĞü amplitudy, wystĊpująca dla

ω

=

ω

r

czyli tzw. pulsacji rezonansowej.

Im wyĪszy jest szczyt rezonansowy, tym słabsze tłumienie oscylacji i tym wiĊksze wartoĞci przeregulowania.

Zwykle przyjmuje siĊ M

p

= (1,1÷1,5)⋅A(0). Dla znanej pulsacji rezonansowej moĪna w przybliĪeniu obliczyü

czas regulacji zgodnie z zaleĪnoĞcią

Rys.5. OkreĞlanie zapasu stabilnoĞci na podstawie

charakterystyk logarytmicznych układu otwartego

Rys.6. OkreĞlanie szczytu i pulsacji rezonansowej na

podstawie charakterystyki amplitudowej układu

zamkniĊtego

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

6

t

r

r

≈

3Π

ω

(26)

Pulsacja ta na ogół niewiele róĪni siĊ od pulsacji odci

Ċcia, tzn. pulsacji, przy której wykres G

o

(j

ω

) przecina

okrąg jednostkowy.

V. Kryteria całkowe

- najbardziej kompleksowo okreĞlają jakoĞü regulacji na podstawie funkcjonałów, bĊdącymi odpowiednimi

całkami z uchybu przej

Ğciowego

e

t

e t

e

p

ust

( )

( )

=

−

(27)

NajczĊĞciej stosowanymi kryteriami całkowymi są

I

e

t dt

I

t e

t dt

I

t

e

t dt

p

t

p

t

k

p

k

0

0

0

0

0

0

=

=

=

∞

∞

∞

³

³

³

( )

( )

( )

(28)

I

e

t dt

I

t e

t dt

I

t e

t dt

p

t

p

t

k

p

k

1

0

1

0

1

0

=

=

=

∞

∞

∞

³

³

³

( )

( )

( )

(29)

I

e

t dt

I

t e

t dt

I

t e

t dt

p

t

p

t

k

p

k

2

2

0

2

2

0

2

2

0

=

=

=

∞

∞

∞

³

³

³

( )

( )

( )

(30)

przy czym kryteria I I

I

t

t

k

1

1

1

,

oraz

moĪna stosowaü wyłącznie do przebiegów, dla których uchyb przejĞciowy

ma stały znak. Według tych kryteriów jakoĞü regulacji jest tym lepsza im mniejszą wartoĞü przyjmuje dany
funkcjonał. Warunek ten prowadzi do ich minimalizacji wzglĊdem okreĞlonych parametrów układu.

MoĪna wykazaü, Īe wartoĞci niektórych kryteriów wymagają znajomoĞci jedynie transformatĊ Laplace’a

uchybu przejĞciowego e

p

(s). I tak

I

d e

s

d s

t

k

k

p

k

s

k

1

0

1

= −

=

(

)

( )

(31)

a stąd

I

e

s

s

p

1

0

=

→

lim

( )

(32)

Ponadto

I

e

j

d

p

2

0

2

1

=

∞

³

Π

(

)

ω

ω

(33)

gdzie e

j

e

s

p

p

s j

(

)

( )

ω

ω

=

=

.

Problemy do samodzielnego rozwiązania:
1. WyjaĞniü na podstawie wzoru na składową przejĞciową odpowiedzi jednostkowej zamkniĊtego układu re-

gulacji, dlaczego stopieĔ stabilnoĞci

η

jest miarą czasu regulacji, a oscylacyjnoĞü

µ

- miarą tłumienia

oscylacji.

2. W jakim sensie zapas amplitudy jest miarą tolerancji układu na zmiany współczynnika wzmocnienia toru

głównego, a zapas fazy - na zmiany opóĨnienia w torze głównym?

3. OkreĞliü wpływ na szybkoĞü reakcji układu regulacji - zapasu stabilnoĞci oraz czĊstotliwoĞci odciĊcia.

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

7

PROGRAM

ûWICZENIA

A. Układy statyczne.
A.1. Wykorzystując program CODAS zamodelowaü układ zamkniĊty z obiektem statycznym oraz regulatorem
typu P (o transmitancjach podanych przez prowadzącego). PrzejĞü do trybu kreĞlenia odpowiedzi czasowych i
wyznaczyü (m.in. dobierając liczbĊ obliczanych punktów i odpowiednie zakresy na osiach) oraz wydrukowa

ü

odpowiedĨ jednostkową dla tego układu. Powtórzyü badanie dla kilku wartoĞci współczynnika K - wzmocnienia
toru głównego.
A.2. PrzejĞü do trybu kreĞlenia charakterystyk czĊstotliwoĞciowych i dla układu otwartego wyznaczyü oraz wy-
drukowa

ü charakterystyki amplitudowo-fazową oraz logarytmiczne (dla poprzednio wykorzystywanych wartoĞci

współczynnika K).
A.3. Dla badanego układu obliczyü transmitancjĊ uchybową, zamodelowaü ją i w układzie otwartym (dla po-
przednio wykorzystywanych wartoĞci współczynnika K) wyznaczyü i wydrukowa

ü przebiegi uchybu w funkcji

czasu dla wymuszenia w postaci skoku jednostkowego, a nastĊpnie w postaci liniowej funkcji czasu.
A.4. Do badanego układu wprowadziü (podawane przez prowadzącego) opóĨnienie. Wyznaczyü i wydrukowa

ü

odpowiedzi jednostkowe układu otwartego i zamkniĊtego, oraz na podstawie wyznaczonej charakterystyki
amplitudowo-fazowej (lub charakterystyk logarytmicznych) okreĞliü zapas stabilnoĞci amplitudy i fazy.
A.5. Powtórzyü badania z p. A.1.

÷A.4. dla układu z rzeczywistym regulatorem PD (o transmitancji podanej

przez prowadzącego) z uwzglĊdnieniem kilku wartoĞci stałej wyprzedzenia T

D

.

B. Układy astatyczne.
B.1. Powtórzyü badania z p. A.1.

÷A.4. dla układu z regulatorem PI (o transmitancji podanej przez prowadzą-

cego) z uwzglĊdnieniem kilku wartoĞci stałej zdwojenia T

I

.

B.2. Zamodelowaü układ z obiektem astatycznym co najmniej drugiego rzĊdu. Dla układu zamkniĊtego wy-
znaczyü i wydrukowa

ü wybrane odpowiedzi i charakterystyki.

1.3 WYMAGANIA

Ad. A.1 i A.2

ZamieĞciü otrzymane wykresy i na ich podstawie wypełniü tabelĊ 1.

Tabela 1.

G

reg

(s) =

G

ob

(s) =

K

e

ust

t

r

t

n

δ

δδ

δ

1

δ

δδ

δ

2

∆

∆

∆

∆A

∆

∆

∆

∆ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ω

ω

ω

0

Omówiü wpływ współczynnika K na jakoĞü regulacji.

Ad. A.3

Podaü obliczoną transmitancjĊ uchybową i zamieĞciü uzyskane przebiegi. Dla kaĪdego wymuszenia wy-

znaczyü współczynniki uchybu, a na ich podstawie przebieg uchybu w stanie ustalonym. Porównaü obliczenia z
otrzymanymi wykresami.

Ad. A.4

ZamieĞciü otrzymane wykresy i na ich podstawie wypełniü tabelĊ 1. Omówiü wpływ współczynnika K na

jakoĞü regulacji.

G

s

G

G

e

e w

w

w

ust

,

,

,

( )

=

=

=

=

0

1

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

8

Ad. A.5

Powtórzyü powyĪsze punkty sprawozdania dla wszystkich T

D

.

Ad. B.1

Powtórzyü powyĪsze punkty sprawozdania dla wszystkich T

I

.

Ad. B.2

Podaü zamodelowaną transmitancjĊ obiektu i obliczone transmitancje wypadkową oraz uchybową. ZamieĞciü

uzyskane wykresy i omówiü je.

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

9

CzĊĞü II - KOREKCJA UKŁADÓW REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

1.

Cel i rodzaje korekcji

Podczas projektowania układów regulacji automatycznej, zadanie syntezy czĊsto sprowadza siĊ

do nastĊpującego zadania. Dany jest obiekt regulacji o transmitancji G

0

(s). NaleĪy zaprojektowaü

układ spełniający Īądaną dokładnoĞü statyczną oraz warunek dostatecznego zapasu stabilnoĞci i
szybkoĞci działania. W tym celu wprowadza siĊ do układu dodatkowe człony zwane członami
korekcyjnymi. Ich struktura i parametry są dobrane tak, aby nowo powstały układ spełniał załoĪone
wymagania. Taki tok postĊpowania nazywamy korekcją. Celem korekcji jest wiĊc uzyskanie Īądanej
dokładnoĞci oraz dostatecznego zapasu stabilnoĞci układu przy jednoczesnym zapewnieniu
wymaganego pasma przenoszonych czĊstotliwoĞci. Wymaganą dokładnoĞü układu moĪna osiągnąü
poprzez:
• zwiĊkszenie współczynnika wzmocnienia układu otwartego,
• podwyĪszenie rzĊdu astatyzmu układu,
• zastosowanie regulacji z wykorzystaniem pochodnych uchybu.
Człony korekcyjne włącza siĊ do układu regulacji ze sprzĊĪeniem zwrotnym w trojaki sposób:
• łaĔcuchowo (szeregowo) z obiektem,
• równolegle z jednym z członów obiektu,
• w pĊtlĊ sprzĊĪenia zwrotnego obejmującą jeden lub kilka członów wchodzących w skład obiektu.

W kaĪdym przypadku moĪna wyznaczyü równowaĪny człon korekcyjny włączony szeregowo z

obiektem. Bierze siĊ teĪ pod uwagĊ łatwoĞü wyznaczania transmitancji korektora i moĪliwoĞü
poprawy odpornoĞci właĞciwoĞci układu zamkniĊtego na zmiany parametrów obiektu i na zakłócenia.
Ujemne korekcyjne sprzĊĪenie zwrotne stosuje siĊ z uwagi na korzystne właĞciwoĞci utworzonej w
ten sposób czĊĞci układu pracującej jak lokalny układ regulacji. Uzyskuje siĊ dziĊki temu znaczne
zmniejszenie wpływu nieliniowoĞci charakterystyk i zmian parametrów czĊĞci obiektu objĊtej
lokalnym sprzĊĪeniem zwrotnym. NaleĪy sobie zdawaü sprawĊ, Īe korekcja poprzez lokalne
sprzĊĪenie zwrotne moĪe zlikwidowaü astatyzm układu regulacji. KorekcjĊ równoległą stosuje siĊ
zwykle, gdy poprawĊ jakoĞci regulacji moĪna uzyskaü przez dodanie do sygnałów w torze głównym
sygnałów utworzonych przez ich całkowanie lub róĪniczkowanie. Za przykład takiej korekcji uwaĪa
siĊ wprowadzenie członów proporcjonalno - całkujących lub członów typu proporcjonalno -
róĪniczkujących, co moĪna takĪe interpretowaü jako korekcjĊ szeregową. Zaletami korekcji
szeregowej jest jej prostota i łatwoĞü realizacji, łatwoĞü wyznaczania transmitancji korektora metodą
charakterystyk czĊstotliwoĞciowych lub metodą analizy zer i biegunów układu. WadĊ stanowi to, Īe
zmianĊ parametrów korektorów i niepoĪądane nieliniowoĞci ich charakterystyk silnie wpływają na
parametr)' całego układu.
2.

Człony korekcyjne.

WĞród elementów korekcji szeregowej moĪna wyróĪniü: elementy czynne zasilane zewnĊtrzną

energią. Nazywane są one zwykle regulatorami i są one dokładnie omówione w üwiczeniu nr 6 oraz
elementy bierne, które nie zawierają wzmacniaczy i są

najczĊĞciej czwórnikami zawierającymi
elementy R, L, C, jak na rys. 1.
Transmitancja

operatorowa

takiego

czwórnika jest wyraĪona zaleĪnoĞcią:

( )

( )

( )

s

Z

s

Z

s

Z

s

G

k

2

1

2

)

(

+

=

(1)

gdzie

Z

1

(s),

Z

2

(s)

są

impedancjami

operatorowy mi.
NajczĊĞciej

spotykanymi

członami

korekcyjnymi są:

Z

1

(s)

Z

2

(s)

U

1

(s)

U

2

(s)

Rys.1 Budowa korektora szeregowego,

z

budowanego z elementów biernych

a) człon korekcyjny opóĨniający fazĊ,

b)

człon korekcyjny przyĞpieszający fazĊ,

c)

człon korekcyjny opóĨniająco -przyĞpieszający fazĊ.

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

10

2.1.Człon korekcyjny opó

Ĩniający fazĊ

R

1

R

2

U

1

(s)

U

2

(s)

C

Rys.2 Przykład członu korekcyjnego
opóĨniającego fazĊ

( )

(

)

C

R

T

C

R

R

T

sT

sT

s

G

k

2

2

2

1

1

1

2

1

1

=

+

=

+

+

=

(2)

( )

1

1

2

1

1

T

t

e

T

T

T

t

h

−

−

−

=

(3)

Rys.4 OdpowiedĨ jednostkowa członu
opóĨniającego fazĊ

P(ω)

Q(ω)

1

2

1

2T

T

T

+

1

2

1

2T

T

T

−

2

1

T

T

1

ω<0

ω>0

ω=0

Rys.3

Charakterystyka

amplitudowo-

fazowa członu

Rys.5

Charakterystyki

logarytmiczne

członu korekcyjnego opóĨniającego fazĊ

2.2. Człon korekcyjny przyspieszaj

ący fazĊ.

R

1

R

2

U

1

(s)

U

2

(s)

C

Rys.6 Człon korekcyjny przyspieszający fazĊ

Rys.7

OdpowiedĨ

jednostkowa

członu

korekcyjnego przyspieszającego fazĊ.

P(ω)

Q(ω)

1

2

1

2T

T

T

+

1

2

1

2T

T

T

−

1

2

T

T

1

ω>0

ω<0

ω=0

Rys.8 Charakterystyka amplitudowo-fazowa
członu korekcyjnego przyspieszającego fazĊ.

Transmitancja członu

( )

C

R

R

R

R

T

C

R

T

sT

sT

T

T

s

G

k

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

+

=

=

+

+

=

(4)

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

11

OdpowiedĨ jednostkowa

( )

2

1

2

1

1

2

T

t

e

T

T

T

T

T

t

h

−

−

+

=

(5)

Rys.9 Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa i fazowa członu korekcyjnego

2.3.Człon korekcyjny opó

Ĩniająco- przyspieszający fazĊ.

U

1

(s)

U

2

(s)

C

1

R

1

R

2

C

2

Rys.10 Człon korekcyjny przyspieszająco -
opóĨniający fazĊ

( ) (

)(

)

(

)(

)

4

3

2

1

1

1

1

1

sT

sT

sT

sT

s

G

k

+

+

+

+

=

(6)

OdpowiedĨ jednostkowa

( )

¸

¸
¹

·

¨

¨
©

§

−

−

−

−

+

−

=

−

−

4

3

4

3

2

1

4

3

1

T

t

T

t

e

e

T

T

T

T

T

T

t

h

(7)

Rys.11

OdpowiedĨ

jednostkowa

członu

przyspieszająco -opóĨniającego fazĊ.

Rys.12 Charakterystyka amplitudowo-fazowa
elementu

korekcyjnego

opóĨniająco-

przyspieszającego fazĊ

Rys.13

Logarytmiczna

charakterystyka

amplitudowa i fazowa elementu korekcyjnego
opóĨniająco-przyspieszającego fazĊ

Współczynnik wzmocnienia członów korekcyjnych biernych jest mniejszy od jednoĞci..

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

12

3. Metody wyznaczania transmitancji układu skorygowanego.

W praktyce stosuje siĊ nastĊpujące metody korekcji:

ƒ metoda wzglĊdnego współczynnika tłumienia,
ƒ metoda charakterystyk logarytmicznych,
ƒ metoda wykresu Nicholsa,
ƒ metoda okrĊgów stałej amplitudy.

NiĪej zostanie omówiona metoda korekcji oparta na wykorzystaniu charakterystyk logarytmicznych.
W metodzie tej człon korekcyjny dobieramy na podstawie logarytmicznych charakterystyk
amplitudowych (zazwyczaj asymptotycznych) i fazowych. Rozpatrzono dwa przypadki:

ƒ człon korekcyjny włączamy łaĔcuchowo (szeregowo) z obiektem,

ƒ

człon korekcyjny włączamy w pĊtlĊ sprzĊĪenia zwrotnego.

Człon korekcyjny wł

ączamy szeregowo z obiektem,

Dany jest układ o logarytmicznej charakterystyce amplitudowej i fazowej przedstawionej na

rys.14 linią przerywaną. Z charakterystyk wynika, Īe układ jest niestabilny, gdyĪ dla pulsacji odciĊcia
(Orf = 80 opóĨnienie fazowe przekracza 180° (Ap=-18°). Zakładamy, Īe zapas fazy układu
skorygowanego ma wynosiü na przykład 50°. W przypadku korekcji za pomocą członu
proporcjonalnego dla osiągniĊcia takiego zapasu naleĪy wprowadziü człon o współczynniku
wzmocnienia k. WartoĞü tego współczynnika wzmocnienia otrzymujemy z rys.14 przesuwając
logarytmiczną charakterystykĊ amplitudową układu nieskorygowanego tak, aby dla nowej pulsacji
odciĊcia 10 zapas fazy był równy 50°. Wynika to z faktu, Īe logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa układu skorygowanego jest równa sumie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej
układu nieskorygowanego i logarytmicznej charakterystyki amplitudowej członu korekcyjnego, a
logarytmiczna charakterystyka fazowa układu skorygowanego jest równa logarytmicznej
charakterystyce fazowej układu nieskorygowanego. JednoczeĞnie ze wzglĊdu na małe pasmo
przenoszenia układ taki jest układem powolnym. JeĪeli z powodu wymienionych wad korekcja za
pomocą członu proporcjonalnego jest niedopuszczalna, to naleĪy wprowadziü do układu człon
opóĨniający lub przyspieszający fazĊ. W przypadku korekcji za pomocą członu opóĨniającego fazĊ
rys.2 o logarytmicznej charakterystyce amplitudowej i fazowej przedstawionej na rys.5,
asymptotyczna logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa układu skorygowanego dla
pulsacji mniejszych od

ω

1

, (rys.15) bĊdą siĊ pokrywały z odpowiednimi charakterystykami układu

nieskorygowanego. Człon korekcyjny spowoduje w tym przypadku zmniejszenie pulsacji odciĊcia i
wzrost ujemnego nachylenia charakterystyki amplitudowej na odcinku od

ω

1

do

ω

2

. Z rys.15 wynika,

Īe zapas fazy układu skorygowanego wynosi załoĪone 50°. CzĊstotliwoĞü odciĊcia układu po korekcji
jest jednak jeszcze mniejsza niĪ w układzie z korekcją proporcjonalną. Natomiast korekcjĊ za pomocą
członu przyspieszającego fazĊ (rys.6) o logarytmicznej charakterystyce amplitudowej i fazowej
(rys.9) przedstawia rys.16. WłaĞciwoĞci tego rozwiązania polegają na wprowadzeniu dodatkowego
przesuniĊcia fazowego pozwalającego na zwiĊkszenie współczynnika wzmocnienia toru głównego
przez uprowadzenie dodatkowego wzmocnienia. Rys.16 przedstawia sytuacjĊ, gdy element
przyspieszający fazĊ włączono ze wzmacniaczem o wzmocnieniu T

1

/T

2

. Człon korekcyjny

przyspieszający fazĊ powoduje przesuniĊcie punktu przeciĊcia logarytmicznej charakterystyki
amplitudowej układu skorygowanego w zakres wiĊkszych pulsacji (rys.16), a wiĊc zwiĊkszenie
dokładnoĞci statycznej układu i poszerzenie pasma przenoszenia. JednoczeĞnie z poszerzeniem pasma
przenoszenia wzrasta wpływ szumów duĪych czĊstotliwoĞci wywołujących szkodliwe uchyby.
Rozwiązanie takie posiada wiĊc pewne wady. W celu przeprowadzenia korekcji układów złoĪonych
stosuje siĊ człony korekcyjne opóĨniająco-przyspieszające fazĊ, które łączą w sobie zalety
poszczególnych członów prostych. Wybór odpowiedniego członu korekcyjnego powinien byü
kompromisem pomiĊdzy wymaganiami dokładnoĞci statycznej i szybkoĞci, a jego stabilnoĞcią. Na
rys.17 pokazano przykład doboru takiego korektora.

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki

13

Rys.14. Logarytmiczna charakterystyka układu
przed korekcją (linie przerywane), układu
skorygowanego (linie ciągłe) przez zmianĊ
współczynnika wzmocnienia

Rys.15. Logarytmiczna charakterystyka układu
przed korekcją (linie przerywane), układu
skorygowanego

(linie

ciągłe)

i

członu

korekcyjnego opóĨniającego fazĊ.

Rys.16 Logarytmiczna charakterystyka układu
przed korekcją (linie przerywane), układu
skorygowanego

(linie

ciągłe)

i

członu

korekcyjnego przyspieszającego fazĊ

.
Rys.17 Logarytmiczna charakterystyka układu
przed korekcją (linie przerywane), układu
skorygowanego

(linie

ciągłe)

i

członu

korekcyjnego przyspieszającego fazĊ.

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej

14

Człon korekcyjny wł

czamy w ptl sprzenia zwrotnego

Rozpatrujemy schemat blokowy układu regulacji automatycznej z rys.18. z członem korekcyjnym
włączonym w wewnĊtrzną pĊtlĊ sprzĊĪenia zwrotnego. Mając dane transmitancje G(s),G

i

(s) i G

2

(5)

naleĪy tak dobraü transmitancje H(s) członu korekcyjnego, aby układ skorygowany spełniał okreĞlone
wymagania dotyczące dokładnoĞci statycznej oraz zapasu stabilnoĞci amplitudy i fazy.

Rys.18 Układ z członem korekcyjnym włączonym w wewnĊtrzną pĊtlĊ sprzĊĪenia zwrotnego.

Transmitancja widmowa zastĊpcza układu z wewnĊtrzną pĊtlą sprzĊĪenia zwrotnego okreĞlana jest

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

G

j

H

j

G

j

H

j

H

j

G

j

H

j

G

j

G

w

+

=

+

=

1

1

1

(8)

PrzybliĪona wartoĞü transmitancji widmowej

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

°¯

°

®

­

<<

>>

=

1

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

G

j

H

dla

j

G

j

G

j

H

dla

j

H

j

G

w

(9)

Transmitancja układu otwartego z korektorem

(

)

(

) (

) (

)

ω

ω

ω

ω

j

G

j

G

j

G

j

G

w

ok

2

1

=

(10)

WartoĞü przybliĪona

(

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

°¯

°

®

­

>>

<<

=

1

1

2

1

2

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

H

j

G

dla

j

G

j

H

j

G

j

G

j

G

j

H

j

G

dla

j

G

j

G

j

G

j

G

ok

(11)

Z zaleĪnoĞci (8) wynika, Īe dla pulsacji spełniających warunek

(

) (

)

1

>>

ω

ω

j

G

j

H

logarytmiczna

charakterystyka amplitudowa i fazowa skorygowanego układu otwartego jest róĪnicą logarytmicznej
charakterystyki amplitudowej i odpowiednio fazowej nieskorygowanego układu otwartego oraz
logarytmicznej charakterystyki amplitudowej i fazowej układu otwartego z wewnĊtrzną pĊtlą sprzĊĪenia
zwrotnego wydzielonego na rys.18 linią przerywaną. Mając dane logarytmiczne charakterystyki
nieskorygowanego układu otwartego oraz przyjmując poĪądany przebieg logarytmicznych
charakterystyk skorygowanego układu otwartego, moĪna wyznaczyü logarytmiczne charakterystyki
układu otwartego o transmitancji H(s)G(s). Znając transmitancjĊ G(s), moĪna nastĊpnie wyznaczyü
poszukiwaną transmitancjĊ członu korekcyjnego H(s). KolejnoĞü postĊpowania:
1) wykreĞlenie logarytmicznej charakterystykĊ amplitudowej i fazowej układu otwartego przed
korekcją,
2) wykreĞlenie poĪądanej charakterystyki układu otwartego,
3) wyznaczenie róĪnicy charakterystyk układu nieskorygowanego i charakterystyk o poĪądanym
przebiegu,
4) na podstawie róĪnicy wyznaczonej w poprzednim punkcie moĪna wyznaczyü transmitancjĊ
operatorową H(s)G(s) i nastĊpnie H(s).

Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej

15

4

Wymagania i przebieg

wiczenia

Podczas üwiczenia bĊdą wymagane wiadomoĞci dotyczące:
• rodzajów i właĞciwoĞci członów korekcyjnych
• stabilnoĞci UAR
• kryteriów jakoĞci regulacji,
• metod korekcji.

Za pomocą programu CODAS naleĪy wyznaczyü i zarejestrowaü charakterystyki członów

korekcyjnych o parametrach zadanych przez prowadzącego zajĊcia. Dla obiektu o zadanej transmitancji
dobraü korektory szeregowe, zapewniające narzucone właĞciwoĞci przebiegów przejĞciowych.
Zarejestrowaü przebiegi charakterystyk czĊstotliwoĞciowych i odpowiedzi jednostkowych układu.