EAIiE

Imię i Nazwisko:

Jakub Janczak

ROK I

GRUPA 1 ZESPÓŁ

6

Pracownia

fizyczna I

TEMAT:

Wahadło matematyczne

Nr ćwiczenia

5

Data

wykonania:

2 III 2004 r.

Data

oddania:

Zwrot do

poprawy:

Data

oddania:

Data

zaliczenia:

OCENA

Wahadło proste (matematyczne)
jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej m, zawieszone na cienkiej, nierozciagliwej
i niewazkiej nici. Takie wahadło, wyprowadzone z połozenia równowagi, wykonuje ruch
drgajacy w płaszczyznie pionowej pod wpływem siły ciezkosci. Jest to ruch okresowy o
okresie T. Na rysunku przedstawiono wahadło o długosci l i masie m, odchylone od pionu
o kat

 . Na mase m działa siła ciezkosci mg i naprezenie nici . Jako osie

współrzednych przyjmujemy styczna do łuku (os x) i przedłuzenie promienia nici (os y).
Siłe ciezkosci mg rozkładamy na współrzedna radialna mg cos



i współrzedna

styczna mg sin

 .

Współrzedna styczna siły ciezkosci wynosi

F

=−mgsin 

Siła F nie jest wiec proporcjonalna do przemieszczenia katowego  , ale do sin  .

Dla małych katów  mamy

sin

≈

, a przemieszczenie masy m wzdłuz łuku

wynosi x = l



i (znowu dla małych katów



) — ruch jest w przyblizeniu

prostoliniowy, a siłe w nim działajaca mozemy zapisac jako

F

=−mg =−

mgx

l

=−

mg

l

x

.

Dla małych przemieszczen siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia ze znakiem
przeciwnym, czyli masa m wykonuje drgania harmoniczne proste. Stała mg/l jest

odpowiednikiem stałej k w równaniu F = -kx, opisujacym siłe harmoniczna. Z teorii ruchu

harmonicznego prostego, wiemy ze okres takiego ruchu wynosi

T

=2 



m

k

=2 



m

mg

/l

=2 



l

g

. (1)

Okres drgan wahadła prostego zalezy wiec jedynie od długosci wahadła l oraz od g (nie

zalezy od masy m wahadła).
Można pokazać , ze dla wahań o wiekszej amplitudzie wzór na okres ma
postać

T

=2 



l

g

[1 

1
2



2

sin

2



m



1

∗3

2

∗4



2

sin

4



m



1

∗3∗5

2

∗4∗6



2

sin

6



m

....]

W powyzszym wzorze



m

jest maksymalnym przemieszczeniem katowym (zwykle

wychyleniem poczatkowym), a kolejne wyrazy wewnatrz nawiasu sa coraz mniejsze. Wzór
(1) dostajemy z powyzszego wzoru przy zaniedbaniu wszystkich wyrazów w nawiasie za
wyjatkiem jednosci. W cwiczeniu wahadło proste jest wykorzystywane do pomiaru
przyspieszenia ziemskiego g. Pomiar przyspieszenia ziemskiego kojarzy nam sie wprawdzie
w pierwszym rzedzie ze spadkiem swobodnym (pomiar czasu spadania i drogi przebytej
przez ciało), ale przy pomocy wahadła pomiar g jest prostszy — wystarczy zmierzyc okres

wahan T wahadła o okreslonej długosci l.