Spis treści

1

Rozdział 1

Wstęp

Szereg to suma nieskończona wielu składników.

Praca moja poswięcona jest znalezieniu zależności algebraicznych pomiedzy funk-

cjami Eisensteina.

W rozdziale drugim przedstawiam podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące

szeregów liczbowych i funkcyjnych, które potrzebne są do przeprowadzenia rozumo-
wania.

W rozdziale trzecim zamieściłam defincje szeregów oraz sumowania Eisensteina

i twierdzenia dotyczące tychże pojęć zgodnie z kisążką pt. „Elliptic functions accor-
ding to Eisenstein and Kronecker”, której autorem jest Andr´

e Weil.

Rozdział ostatni poświęcony jest w całości zależnościom algebraicznym pomiędzy

funkcjami ε

n

.

W ninejszej pracy korzystam głównie z książki autorstwa Andr´

e Weil’a, o której

wspomniałam wczesniej.

2

Rozdział 2

Szeregi liczbowe i funkcyjne.

W defincjach przyjmuję oznaczenia:

R - zbiór liczb rzeczywistych
N - zbiór liczb naturalnych.

1 Definicja

Przez szereg liczbowy nieskończony oznaczony symbolem

u

1

+ u

2

+ . . . + u

n

+ . . .

lub

∞

X

n=1

u

n

(2.1)

rozumiemy ciąg sum:

s

1

= u

1

,

s

2

= u

1

+ u

2

,

. . .

(2.2)

s

n

= u

1

+ u

2

+ u

3

+ . . . + u

n

,

. . . .

2 Definicja

Liczby u

1

, u

2

, . . . nazywamy wyrazami szeregu, a symbol u

n

nazywamy wyrazem

ogólnym szeregu. Wyrazy ciągu {s

n

} nazywamy sumami cząstowymi szeregu

P

∞
n=1

u

n

.

3 Definicja

Jeżeli ciąg sum cząstkowych (??) jest zbieżny, czyli ma skończoną granicę s, to
mówimy że szereg (??) jest zbieżny, a liczbę s nazywamy suma szeregu nie-
skończonego (??). Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.

1 Twierdzenie

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu

∞

X

n=1

u

n

jest to, żeby jego wyraz ogólny u

n

dązył do zera:

lim

n→+∞

u

n

= 0.

3

Rozdział 3

Szeregi Eistensteina

4 Definicja

Jednowymiarowym szeregiem Eisensteina nazywa się nastepujący szereg funk-
cyjny

ε

n

(x) =

∞

X

−∞

1

(x + µ)

n

, n = 1, 2, 3...

(3.1)

5 Definicja

Sumowaniem Eisensteina nazywamy następujacy sposób obliczenia sumy nie-
skończonej

+∞

X

µ=−∞

=

lim

M →+∞

+M

X

µ=−M

2 Twierdzenie

Szereg (??) przy n = 1 jest zbieżny według Eisensteina.

4

Rozdział 4

Związki algebraiczne pomiędzy
szeregami Eisensteina.

Weżmy dwie niezależne zmienne p oraz q i połóżmy

r = p + q.

(4.1)

Dzieląc (??) przez pqr otrzymujemy:

1

pq

=

1

pr

+

1

qr

.

(4.2)

Biorąc pod uwagę (??) mamy:

1

pq

=

1

p(p + q)

+

1

q(p + q)

.

5

Bibliografia

[1] A. Weil: ”Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker”, Springer-

Verling, Berlin, 1976.

[2] H. Iwaniec: ”Topics in classical automorphic forms”, AMS, Providence, Rhode

Island, 1997.

[3] V. Mityushev, S. Rogosin: ”Constructive methods for linear and nonlinear bo-

undary value problems for analytic functions”, Champan & Hall CRC, NY,
2000.

[4] W. Krysicki, L. Włodarski: ”Analiza matematyczna w zadaniach”, PWN, War-

szawa,2002.

6