Wykład 5

21.11.2005

Ruch relatywistycznej cząstki naładowanej w polu elektromagnetycznym (przypomnienie).

Wzór na siłę Lorentza ma postać:

~

F = q

³

~

F + ~v × ~

B

´

= m¯a

W relatywistycznej postaci powyższego wyrażenia operujemy raczej 4-prędkością u

µ

zdefiniowaną,

jako pochodna czterowektora położenia x

µ

po czasie własnym cząstki τ .

Składowe pola elektromagnetycznego otrzymujemy z tensora F

µν

i, jak już wiemy, mamy:

m

d

2

x

µ

dτ

2

= −qF

µν

dx

ν

dτ

m

du

µ

dτ

= −qF

µν

u

ν

Czteropęd jest zdefiniowany jako p

µ

= mu

µ

dla µ = 1, 2, 3 i zwykłej pochodnej pędu po czasie

³

˙~p ≡

d~

p

dt

´

otrzymujemy ˙~p = q

³

~

E + ~v × ~

B

´

Trzeba rozróżniać:

u

µ

≡

dx

µ

dτ

, ~v =

d~x

dt

p

0

=

E

c

, a cały wektor p

µ

wygląda następująco:

p

µ

=

µ

E

c

, ~p

¶

Długość czterowektora p

µ

definiujemy, jako :

p

µ

p

µ

= m

2

u

µ

u

µ

= m

2

c

2

Stąd możemy otrzymać wzór na zmianę energii cząstki w czasie pod wpływem pola elektromagnety-
cznego:

µ

E

c

¶

2

− ~p

2

= m

2

c

2

˙

E = q ~

E~v

1

Przykład 1. Cząstka w stałym polu elektrycznym.

~v

0

, ~

E wyznaczają płaszczyznę ruchu. Niech ~

E = (E, 0, 0)

Równania ruchu:

(

˙p

x

= qE

˙p

y

= 0

Całkujemy powyższe równania, i otrzymujemy:

(

p

x

(t) = qEt + p

0x

p

y

(t) = p

0y

Wiemy, że ~v =

~

p

E

c

2

. Potrzebujemy jeszcze podstawić E(t) w funkcji pędu:

E

c

=

q

m

2

c

2

+ ~p

2

E(t) = c

q

m

2

c

2

+ p

2

0y

+ (qEt + p

0x

)

2

Mamy teraz parę równań opisujących prędkosć cząstki w polu elektrycznym:











dx

dt

= c

2

qEt+p

0x

c

√

m

2

c

2

+p

2

0y

+(qEt+p

0x

)

2

dy

dt

= c

2

p

0y

√

m

2

c

2

+p

2

0y

+(qEt+p

0x

)

2

Możemy je scałkować, aby otrzymać x i y w funkcji czasu:

x(t) = c

Z

qEt + p

0x

q

m

2

c

2

+ p

2

0y

+ (qEt + p

0x

)

2

+ x

0

podstawmy ξ = m

2

c

2

+ p

2

0y

+ (yEt + p

0x

)

2

, dξ = 2qE(qEt + p

0x

)dt

x(t) = c

Z

dξ

2qE

1

√

ξ

+ x

0

=

c

2qE

2ξ

1
2

+ x

0

ostatecznie:

x (t) =

c

qE

q

m

2

c

2

+ p

2

0y

+ (qEt + p

0x

)

2

+ x

0

2

y(t) = cp

0y

Z

dt

q

m

2

c

2

+ p

2

0y

+ (qEt + p

0x

)

2

podstawiamyη = p

0x

+ qEt, dη = qEdt

y(t) =

cp

0y

qE

Z

dη

q

m

2

c

2

+ p

2

0y

+ η

2

+ y

0

y(t) =

cp

0y

qE

ash(

qEt + p

0x

q

m

2

c

2

+ p

2

0y

) + y

0

Szukamy trajektorii, czyli funkcji y(x).

Wybieramy punkt początkowy (0,0), czyli x

0

= y

0

= 0. Skorzystamy z tożsamości matematycznej:

1 = ch

2

(x) − sh

2

(x), czyli ch

2

(h) = 1 + sh

2

(x)

sh

Ã

yqE

cp

0y

!

=

qEt + p

0x

q

m

2

c

2

+ p

2

0y

ch

2

(

yqE

cp

0y

) = 1 +

(qEt + p

0x

)

2

m

2

c

2

+ p

2

0y

=

m

2

c

2

+ p

2

0y

+ (qEt + p

0x

)

m

2

c

2

+ p

2

0y

=

³

xqE

c

´

2

m

2

c

2

+ p

2

0y

ch(

yqE

cp

0y

) =

xqE

c

q

m

2

c

2

+ p

2

0y

Trajektoria nie jest więc parabolą, chociaż można wykazać, że dla małych (nierelatywistycznych)
prędkości powyższy wzór redukuje się do postaci klasycznej.

Przykład 2. Cząstka w stałym polu magnetycznym.

Wiemy, że E = const.

Wychdzimy od ˙~p = q~v × ~

B, różniczkując wzór ~v =

~

p

E

c

2

po czasie (i pamiętając, że ˙

E = 0)

dostajemy:















˙v

x

=

³

c

2

q

E

´

v

y

B

˙v

y

= −

c

2

q

E

v

x

B

˙v

z

= 0

3

˙~v =

Ã

c

2

E

q

!

~v × ~

B

Do opisu ruchu po płaszczyźnie wygodnie jest wprowadzić liczby zespolone na miejsce
dwuwymiarowych wektorów.

d

dt

(v

x

+ iv

y

) =

c

2

q

E

B (v

y

− iv

x

) = −i

Ã

Bc

2

q

E

!

|

{z

}

ω

(v

x

+ iv

y

)

Rozwiązując powyższe równanie trzymujemy v

x

+ iv

y

= Ωe

−iωt

, gdzie Ω = v

0t

e

−iα

(

v

x

= v

0t

cos (ωt + α)

v

y

= −v

0t

sin (ωt + α)

(

x(t) =

v

0t

ω

sin (ωt + α)

y(t) =

v

0t

ω

cos (ωt + α)

Prędkosc czastki v

0t

=

q

v

2

x

(t) + v

2

y

(t), a promień okręgu, po którym się porusza R =

v

0t

ω

=

v

0t

Bc

2

q

E

p

t

=

Ev

0t

c

2

Ostatecznie: R =

p

t

Bq

Przykład 3. Równoczesne stałe prostopadłe pola ~

E, ~

B.

~

E⊥ ~

B

~

E · ~

B = 0

W celu uproszczenia obliczeń dokonujemy transformacji Lorentza do układu, gdzie albo ~

B = 0 (gdy

¯

¯

¯

~

E

c

¯

¯

¯

< ~

B) albo ~

E = 0 (gdy

¯

¯

¯

~

E

c

¯

¯

¯

> ~

B). Ostatni przypadek będzie dyskutowany na ćwiczeniach.

Mamy zatem

~

E = (0, E, 0)

~

B = (0, 0, B)

Przechodzimy do układu, który porusza się względem początkowego z prędkością:

~u =

~

E × ~

B

~

B

2

; ~u =

µ

E
B

, 0, 0

¶

Sprawdzamy, że

|~u|

c

=

E

Bc

< 1

W początkowej sytuacji mamy zadany tensor pola elektromagnetycznego:

4

F

µν

=











0

0

E

c

0

0

0

B 0

−

E

c

−B 0 0

0

0

0 0











Prędkosc ~u jest skierowana wzdłuż osi x, tak więc macierz transformacji Lorentza ma postać:

Λ

µ

ν

= (β) =











γ

−βγ 0 0

−βγ

γ

0 0

0

0

1 0

0

0

0 1











,

β =

E

Bc

Tensor pola elektromagnetycznego transformuje się według wzoru:

F

0µν

= Λ

µ

χ

Λ

ν

λ

F

χλ

= Λ

µ

χ

F

χλ

³

Λ

T

´

ν

λ

czyli macierzowo

F

0

= ΛF Λ

T

Dokonujemy prostych obliczeń:

ΛF =















0

0

γ

³

E

c

− βB

´

0

0

0

γ

³

−β

E

c

+ B

´

0

−

E

c

−B

0

0

0

0

0

0















βB =

E

c

γ

µ

E

c

− βB

¶

= 0

γ

µ

B − β

E

c

¶

= γ(B − Bβ

2

) = Bγ(1 − β

2

) =

B

γ

Tak więc:

F

0

=













0

0

0 0

0

0

B

γ

0

0 −

B

γ

0 0

0

0

0 0













5

Obserwator w układzie poruszającym się z prędkością u obserwuje jedynie stałe pole magnetyczne

B

0

=

b

γ

skierowanym wzdłuż osi z, dlatego też z jego punktu widzenia cząstka porusza się po krzywej

śrubowej.
W układzie nieruchomym obserwator widzi złożenie dwóch ruchów, co jak łatwo zauważyć daje w
wyniku dryf w kierunku wyznaczonym przez ~

E× ~

B. Dokładniejsza analiza trajektorii będzie tematem

jednego z zadań na ćwiczeniach.

Na podstawie wykładu prof. Jana Sobczyka przygotował Jakub Żmuda

6