1

Fizyka polimerόw

wykład V

2

2

Spis treści

• Oddziaływania wyłączonej objętości

– f- funkcja Mayera
– Asymetryczne mery

• Klasyfikacja rozpuszczalników

•

Energia oddziaływań dalekiego zasięgu

•

Teoria Flory’ego dla łańcucha polimerowego w dobrym rozpuszczalniku

•

Metoda grup renormalizacji (RG)

3

™ Oddziaływania wyłączonej objętości

• modele łańcucha idealnego

– efekty

oddziaływań bliskiego zasięgu

między

ograniczoną liczbą sąsiadujących merόw

•

w łańcuchu giętkim

oddziałują rόwnież

segmenty znacznie odległe od siebie wzdłuż
konturu łańcucha
->

oddziaływania dalekiego zasięgu

• w zakresie większych odległości występują

przyciągające oddziaływania Van der Waalsa

• przy odległościach małych pojawiają się silne

oddziaływania odpychające związane z

zakazem Pauliego przenikania orbitali
molekularnych, prowadzące do efektów sterycznych

• segmenty zajmują skończoną objętość i nie mogą się

wzajemnie przenikać

4

•

prawdopodobieństwo znalezienia dwóch merów na odległości

r

w

rozpuszczalniku przy temperaturze

T

jest określone statystycznym rozkladem

Boltzmanna

•

gdzie

- energia potencjalna łańcucha w danej konformacji

• hard-core repulsion

• w warunkach dominacji oddziaływań

odpychających następuje spęcznienie łańcucha ->

rozmiary łańcucha giętkiego stają się większe od rozmiarów łańcucha idealnego

• efekt wyłączonej objętości odzwierciedla oddziaływania między segmentami

znacznie odległymi od siebie wzdłuż konturu łańcucha, które nazywają się
oddziaływaniami dalekiego zasięgu

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

Ψ

−

T

k

r

U

Z

r

B

})

({

exp

})

({

1

r

r

})

({r

U

r

→

5

f- funkcja Mayera

• f-funkcja Mayera – różnica między statystycznym rozkladem Boltzmanna dla

dwóch merów na odległości

r

i rozkladem na nieskończonych odległościach

równym 1

• wyłączona objętość

v

:

• przy oddziaływaniach odpychających (

r<1)

:

v > 0

• przy oddziaływaniach przyciągających

(r >1) : v < 0

• o.o. - przy wysokich temperaturach,
• o.p. - przy niskich temperaturach

1

)

(

exp

)

(

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

T

k

U

f

B

r

r

→

→

r

r

r

r

3

3

)

)

(

exp

1

(

)

(

v

d

T

k

U

d

f

B

∫

∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

−

=

6

Assymetryczne mery

• (mono-)mery czasem wygodniej przedstawiać jako cylindry, długości

równej długości Kuhna

b

i średnicy

d (d<b)

• dla większości giętkich polimerów :

• część gęstości swobodnej energji związana z oddziaływaniami dalekiego

zasięgu w łańcuchu polimerowym może być zapisana w postaci

rozwinięcia

wirialnego

• gdzie - stężenia (mono-)merów (monomer number density)

• w.o.

v

opisuje oddzialywania binarne merów (segmentów)

• współczynnik

w

– trójcząsteczkowe oddzialywania

→

3

2

<

<

d

b

(

)

,

...

R

N

w

R

N

v

...

wc

vc

2

9

3

6

2

3

n

2
n

int

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

≈

+

+

=

T

k

T

k

V

F

B

B

n

c

7

• energia oddzialywań nie powinna się zmieniać przy zmianie definicji meru

• biorąc pod uwagę, że , cylindryczny mer Kuhna ma

współczynniki

• wyłączona objętość asymetrycznych obiektów – dlugich prętów

jest znacznie większa aniżeli zajmowana przez nich objętość

,

ponieważ

• kiedy jest duże, w.o. stwarza nematyczne uporządkowanie

cieklokrystaliczne w roztworze prętów (Onsager)

→

d

n,

d

b

b

d

n

N

,

,

=

3

c

3

s

2

c

2

s

w

w

,

v

v

N

n

N

n

=

=

6

3

s

w

,

v

d

d

s

≈

≈

,

v

v

v

2

2

s

2

s

c

d

b

d

b

N

n

≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈

3

3

3

s

3

s

c

d

b

w

w

w

d

b

N

n

≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈

d

b

c

2

v

≈

2

0

v

bd

≈

d

b

>>

d

b

=

0

c

v

v

8

™

Klasyfikacja rozpuszczalników

•

atermiczne rozpuszczalniki

(athermal solvents)

w.o. staje się niezależna od temperatury przy wysokich temperaturach, czyniąc

rozpuszczalnik atermicznym

•

dobry rozpuszczalnik

(good solvent)

przyciąganie pomiędzy merami jest większe aniżeli przyciąganie pomiędzy merami

i rozpuszczalnikiem

•

Θ – rozpuszczalnik

(Θ - solvent)

przy Θ – temperaturze wklad do w.o. od przyciągania dokladnie znosi się poprzez

wklad od hard-core odpychania

•

zly rozpuszczalnik

(poor solvent)

przy temperaturach T<Θ – temperatury dominuje przyciąganie pomiędzy merami

•

nierozpuszczalniki

(non-solvents)

bardzo silne przyciąganie pomiędzy merami w porównaniu z oddzialywaniem z

rozpuszczalnikiem (woda dla polistyrenu jest nierozpuszczalnikiem =>

styropianowe kubki do kawy)

d

2

b

v

≈

d

2

b

v

0

<

<

0

v

=

0

v

2

<

<

− d

b

d

2

-b

v

≈

9

™

Energia oddziaływań dalekiego zasięgu

• oddziaływania dalekiego zasięgu prowadzą do spęcznienia łańcucha w

roztworze i do zasadniczej

zmiany jego charakterystyk statystycznych

•

średnia kwadratowa odleglości końców łańcucha rzeczywistego

(real chain)

gdzie

• dla idealnego łańcucha :
• oddziaływania dalekiego zasięgu prowadzą do

obniżenia średniego

objętościowego stężenia segmentów wewnątrz kłębka statystycznego

•

z wartości (idealny łańcuch ) do wartości (rzeczywisty łańcuch )

• w łańcuchu z efektami w.o.

steżenie segmentów

znacznie szybciej spada wraz

ze wzrostem liczby segmentów N

• małe stężenie merów (segmentów) wewnątrz izolowanego kłębka długiego

łańcucha pozwala pominąć wyższe człony

rozwinięcia wirialnego

energii

oddziaływań dalekiego zasięgu względem stężenia merów

,

2

2

2

ν

N

b

>=

< R

5

3

≈

ν

2

1

=

ν

3

1

3

2

3

2

1

b

N

N

c

−

=

>

<

∝

ν

R

2

1

1

~

N

5

4

1

~

N

10

• całkowita energia oddziaływań dalekiego zasięgu

w łańcuchu

gdzie - lokalne stężenie merów (segmentów)

w punkcie

r

kłębka

•

potencjał sił wyłączonej objętości

(Flory)

jakiemu podlega, w przybliżeniu średniego pola, segment łańcucha w punkcie

r

•

w Θ – rozpuszczalniku oddziaływania dalekiego zasięgu odpychające i

przyciągające wzajemnie się równoważą : łańcuchy idealne

,

- zanika

•

występowanie łańcuchów idealnych w rozcieńczonych roztworach w warunkach

Θ stwierdzono doświadczalnie metodami

rozpraszania promieniowania i pomiaru ciśnienia osmotycznego

•

koncepcja idealnych łańcuchów w stanie skondensowanym

(Flory) – zostala

potwierdzona doświadczalnie

metodą rozpraszania neutronów

•

wskutek wzajemnego przenikania się łańcuchów oddziaływania

dalekiego zasięgu wewnątrz każdego łańcucha są „ekranowane”
przez elementy pochodzące od innych łańcuchów

- przestrzennie jednorodny

,

)

(

c

v

2

3

2

int

r

r d

T

k

F

B

∫

=

)

(r

c

)

vc(

)

(

r

r

T

k

u

B

e

=

0

v

=

⇒

const

c

=

)

(r

⇒

const

u

e

=

)

(r

)

(r

l

u

11

• jeśli przyjąć gaussowski rozkład średniego stężenia segmentów

względem środka masy łańcucha w postaci

to

średnia energia oddziaływań wyłączonej objętości w łańcuchu

będzie:

gdzie

• średnia energia oddziaływań wyłączonej objętości

łańcucha N segmentów

maleje monotonicznie ze wzrostem rozmiaru kłębka ,

• łańcuch dążąc do obniżenia energii oddziaływań, będzie przyjmował

konformacje bardziej rozprzestrzenione, co w efekcie prowadzi do spęcznienia
kłębka statystycznego

>

<

)

(r

c

c

R

,

2

)

(

3

exp

2

3

)

(

2

2

2

/

3

2

/

1

2

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

>

<

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

>

<

>=

<

G

c

G

N

c

R

R

r

R

r

π

,

4

3

2

v

2

/

3

2

2

2

/

3

int

>

<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

>=

<

G

B

R

N

T

k

F

π

2

2

)

(

)

(

>

>≅<

<

r

r

c

c

2

/

1

2

>

<

G

R

12

•

dla łańcucha idealnego :

przyjmując, że

•

całkowita energia oddziaływań dalekiego zasiegu:

gdzie -

stopień liniowego spęcznienia łańcucha,

•

parametr oddziaływań łańcucha :

•

całkowita energia oddziaływań dalekiego zasięgu jest odwrotnie proporcjonalna do
trzeciej potęgi liniowego stopnia spęcznienia,

3

1/2

2

/

3

3/2

2

2

2

/

3

b

vN

2

3

N)

(b

vN

2

3

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

π

π

z

6

,

2

0

2

2

0

2

Nb

R

Nb

R

G

=

>

<

=

>

<

0

2

2

0

2

2

>

<

>

<

≈

>

<

>

<

R

R

R

R

G

G

,

2

3

3

2

/

3

int

α

z

T

k

F

B

>=

<

2

/

1

0

2

2

/

1

2

>

<

>

<

=

R

R

α

3

α

13

™ Teoria Flory’ego

dla łańcucha polimerowego w dobrym rozpuszczalniku

•

spęczniającym siłom wyłączonej objętości przeciwdziała elastyczna siła entropowa,
wynikająca z obniżania się entropii konformacyjnej przy zwiększaniu odległości
końców pęczniejącego łańcucha

•

proces spęczniania zostaje zahamowany kiedy siły entropowe ściągające końce
łańcucha do konfiguracji bardzej skłębionych zrównoważą „rozprężające” siły
wylączonej objętości

•

liczba konformacji łańcucha o zadanym wektorze koniec-koniec

R

jest

proporcjonalna do funkcji rozkladu prawdopodobieństwa

P(R) :

•

Gaussowski rozkład prawdopodobieństwa

•

1d funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2

2

2

3

2

3

2

3

exp

2

3

)

,

(

Nb

Nb

N

P

d

R

R

π

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

≈

N

x

N

x

N

W

N

2

exp

2

2

)

,

(

2

π

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

N

x

N

x

n

P

d

2

exp

2

1

)

,

(

2

1

π

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2

2

2

1

2

3

exp

2

3

)

,

(

Nb

R

Nb

R

N

P

x

x

d

π

⇒

⇓

⇓

⇐

14

14

przypomnienie wiadomości z poprzedniego wykładu:

• sumaryczna liczba trajektorii rόwna się kombinacji krokόw

w gόrę i krokόw w dόł dlatego, żeby dotrzeć do pozycji

x

poprzez

wykonanie krokόw:

• liczba wszystkich możliwych przejść z N krokόw - 2

N

, bo na każdy krok są

2 możliwości, ktόre są niezależne od poprzednich krokόw

• wszystkie te 2

N

błądzeń są rόwnoprawdopodobne

• prawdopodobieństwo znalezienia obiektu w pozycji

x

po

N

krokach :

- dokładne prawdopodobieństwo rozkładu dla jednowymiarowego

błądzenia przypadkowego

)

,

(

x

N

W

+

N

−

N

N

]!

2

/

)

[(

]!

2

/

)

[(

!

!

!

)!

(

)

,

(

x

N

x

N

N

N

N

N

N

x

N

W

−

+

=

+

=

−

+

−

+

]!

2

/

)

[(

]!

2

/

)

[(

!

2

1

2

)

,

(

x

N

x

N

N

x

N

W

N

N

−

+

=

15

15

•

przypomnienie wiadomości z poprzedniego wykładu:

• Gaussowski rozkład prawdopodobieństwa

• W(N,x)

jest odmienne od zera tylko dla parzystych albo nieparzystych

x

w

zależności od tego czy N jest parzyste czy nieparzyste

• funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

• średnia kwadratowa odleglości

x

uśredniona po wszystkich możliwych

błądzeniach :

• funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

może być zapisana w postaci:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

≈

N

x

N

x

N

W

N

2

exp

2

2

)

,

(

2

π

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

N

x

N

x

n

P

d

2

exp

2

1

)

,

(

2

1

π

N

dx

N

x

x

N

dx

x

N

P

x

x

id

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

>=

<

∫

∫

+∞

∞

−

+∞

∞

−

2

exp

2

1

)

,

(

2

2

2

2

π

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

>

<

−

>

<

=

2

2

2

1

2

exp

2

1

)

,

(

x

x

x

x

n

P

d

π

16

16

•

przypomnienie wiadomości z poprzedniego wykładu

• funkcja rozkładu prawdopodobieństwa ma maksimum

przy x=0 i szybko zanika dla odległości

• funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wektora koniec-

koniec dla dowolnej skończonej liczby

N

krokόw o stałej

długości

b

w zakresie od

R

do

R+dR

wyraża się wzorem

•

gdzie

>

<

>

2

x

x

,

)

,

(

3

3

R

R d

N

P

d

z

y

x

dR

dR

dR

d

=

R

3

17

17

•

przypomnienie wiadomości z poprzedniego wykładu:

• 3d

funkcja rozkładu prawdopodobieństwa :

• średnia kwadratowa odległości błądzenia przypadkowego rόwna się

średniej kwadratowej odległości końcόw łańcucha swobodnie
połączonych segmentόw z liczby N merόw rόwnych liczbie krokόw
błądzenia przypadkowego

• przy czym długość meru

b

rόwna się rozmiarowi kroku

• tak jak

• i osie karteziańskie są ekwiwalentne, to

z

z

id

y

y

id

x

x

id

z

y

x

d

dR

R

N

P

dR

R

N

P

dR

R

N

P

dR

dR

dR

N

P

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

3

=

R

2

2

Nb

>=

< R

>

<

+

>

<

+

>

>=<

<

2

2

2

2

z

y

x

R

R

R

R

3

2

2

2

2

Nb

R

R

R

z

y

x

>=

>=<

>=<

<

18

18

•

przypomnienie wiadomości z poprzedniego wykładu:

• 1d

funkcja rozkładu prawdopodobieństwa może być zapisana w postaci:

• 3d

funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wektora koniec-koniec

R

idealnego łańcucha N merόw jest iloczynem trzech niezależnych funkcji
rozkładu

•
•

Gaussowska funkcja rozkładu moge być

stosowana dla

ponieważ nie zanika w zakresie

rozkład Gaussa wykazuje niefizyczne
zachowanie w zakresie odległości końcόw

przekraczających długość konturową łańcucha

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

>

<

−

>

<

=

2

2

2

2

2

2

1

2

3

exp

2

3

2

exp

2

1

)

,

(

Nb

R

Nb

R

R

R

R

N

P

x

x

x

x

x

d

π

π

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

+

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

3

exp

2

3

2

)

(

3

exp

2

3

)

,

(

Nb

Nb

Nb

R

R

R

Nb

N

P

z

y

x

d

R

R

π

π

Nb

R

=

<<

max

|

| R

Nb

>

|

| R

19

19

• entropia konformacyjna łańcucha przy zadanym wektorze koniec-koniec:

gdzie

- liczba konformacji swobodnie połączonych segmentόw

N merόw z wektorem koniec-koniec R

• funkcja rozkładu prawdopodobieństwa jest ułamkiem wszystkich

konformacji ktόre aktualnie ma wektor koniec-koniec pomiędzy

R

i

R+dR :

• entropia łańcucha idealnego

• energia swobodna

),

,

(

ln

)

,

(

R

R

N

k

N

S

B

Ω

=

)

,

(

R

N

Ω

R

R

R

R

3

3

)

,

(

)

,

(

)

,

(

d

N

N

N

P

d

∫

Ω

Ω

=

[

]

)

0

,

(

2

3

)

,

(

ln

)

,

(

ln

)

,

(

2

2

3

N

S

Nb

k

d

N

k

N

P

k

N

S

B

B

d

B

+

−

=

Ω

+

=

∫

R

R

R

R

R

)

0

,

(

2

3

)

,

(

)

,

(

)

,

(

2

2

N

F

Nb

T

k

N

TS

N

U

N

F

B

ent

+

=

−

=

R

R

R

R

20

•

wklad do średniej energji swobodnej od entropii konformacyjnej łańcucha

gdzie - stopień liniowego spęcznienia łańcucha

• pelna średnia energia swobodna łańcucha

:

- suma średniej energii oddziaływań dalekiego zasięgu i średniej energii

swobodnej, wynikającej z entropii konformacyjnej

• równowaga sił wyłączonej objętości i entropii konformacyjnej wystąpi przy

stopniu spęcznienia, przy którym energia swobodna osiąga minimum

,

2

3

2

3

2

0

2

2

α

T

k

T

k

F

B

B

ent

=

>

<

>

<

>=

<

R

R

2

/

1

0

2

2

/

1

2

>

<

>

<

=

R

R

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

>=

<

+

>

>=<

<

2

3

2

1

int

3

2

3

α

α

z

T

k

F

F

F

B

ent

21

• z warunku minimum energii swobodnej otrzymujemy

równowagowy stopień spęcznienia

• i optymalny rozmiar łańcucha spęcznionego w stanie równowagi sił

nazywany

promieniem Flory’ego

:

gdzie -

efektywna długość segmentu

, odzwierciedlająca efekty

oddziaływań bliskiego zasięgu oraz sił wyłączonej objętości

• model Flory’ego wychodzi z oddziaływań wyłączonej objętości w

przybliżeniu średniego pola

• liniowe rozmiary łańcucha z efektami wyłączonej objętości skalują się z

wykladnikiem

• dla idealnego łańcucha :

0

=

∂

∂

R

F

10

1

5

1

3

5

1

b

v

~

~

N

z

eq

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α

F

R

R

=

,

5

3

2

1

0

2

N

b

R

F

eq

F

=

>

<

=

R

α

5

1

2

)

v

(

~ b

b

F

5

3

=

ν

b

b

F

→

=

=

,

2

1

,

1

ν

α

22

•

statystyka konformacyjna łańcucha z oddziaływaniami wyłączonej objętości jest
traktowana w

modelach perturbacyjnych

jako stan zaburzony łańcucha idealnego

•

modele te wychodzą z rozkladu statystycznego łańcucha idealnego z zaburzeniem w
postaci potencjału wyłączonej objętości

•

kwadrat stopnia liniowego spęcznienia łańcucha

gdzie

•

zastosowanie odpowiednich przekształceń przegrupowujących wyrazy szeregu
pozwoliło skonstruować wyrażenia w formie parametrycznej poprawne w pełnym
zakresie parametru

z

, ze skończonym, asymptotycznym zachowaniem w granicy

•

Padé – approximation, Padé- Borel approximation

•

po przekształceniach przegrupowywujących otrzymujemy:

...,

297

.

6

075

.

2

3

4

1

3

2

0

2

2

2

−

+

−

+

=

>

<

>

<

=

z

z

z

R

R

α

3

1/2

2

/

3

b

vN

2

3

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

π

z

∞

→

z

001

.

0

588

.

0

±

=

ν

23

• zaburzenie ma być małe w stosunku do potencjału stanu wyjściowego

• stosunek średniej energii potęncjału wyłączonej objętości łańcucha do

średniej energii swobodnej stanu wyjściowego dla stanu spełnia
relację

• parametr

z

charakteryzuje zaburzenie odniesione do łańcucha

idealnego

• fizyczna przyczyną rozbieżności otrzymywanych wyrazeń w teoriach

perturbacyjnych jest działanie sił wyłączonej objętości między każdą
parą dostatecznie odległych segmentów w łańcuchu

• perturbacyjne modele łańcuchów odegraly ważną rolę jako prototyp

modeli opartych na stosowanej w teorii pola

metodzie grup renormalizacji (RG)

1

=

α

z

F

F

ent

~

0

int

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

24

™Metoda grup renormalizacji (RG)

•

metoda grup renormalizacji (RG)

byla po raz pierwszy zastosowana do polimerów

przez de Gennesa i des Cloizeaux (pocz..lat 70-ch)

•

w przypadku idealnych łańcuchów stwierdzono, że ich charakterystyki statystyczne są

niezmiennicze względem transformacji skalowania:

•

łańcuch z równoważny łańcuchowi z

•

rozmiar łańcucha jest inwariantny przy transformacji

•

przeskalowanie łańcucha prowadzi do tych samych wartości rozmiaru statystycznego

kłębka

gdzie -liniowy statystyczny rozmiar X łańcucha gaussowskiego

• dla

łańcucha z efektem wyłączonej objętości rozmiar łańcucha jest inwariantny przy

transformacji :

•

średni liniowy rozmiar łańcucha z efektami wyłączonej objętości :

zachowuje niezmienność rozmiaru

X

względem transformacji skalowania

'

,'

b

b

N

N

→

→

b

N ,

b

b

N

N

b

N

N

2

/

1

2

1

)'

(

'

,

'

λ

λ

=

=

=

'

)

'

(

)

(

b

N

f

b

N

f

=

2

1

)

(

bN

const

N

bf

X

⋅

=

=

( )

b

b

N

N

b

b

N

N

N

ν

ν

λ

λ

=

=

→

=

→

'

'

,

'

ν

bN

const

N

bf

X

⋅

=

=

)

(

⇒

25

•

a) wyjściowy łańcuch polimerowy

•

b) nowy łańcuch polimerowy, w którym λ=2

• przeskalowanie łańcucha prowadzi do tych samych wartości rozmiaru

statystycznego kłębka

• polymery - obiekty fraktlne o wymiarowości :

• w pol. lat 70-ch XX w. badania rozpraszania neutronów ujawniły

istnienie wewnątrz łańcucha spęcznionego o wymiarze fraktalnym 5/3

lokalnych struktur o wymiarze fraktalnym 2

'

)

'

(

)

(

b

N

f

b

N

f

=

ν

1

ν

1

X

const

N

⋅

=

26

•

w ogólnym przypadku dla dowolnej welkości fizycznej ma miejsce:

•

Przykład:

•

faktor strukturalny g(k) dla polimeru z efektem wylączonej objętości

przy transformacji zmienia się z g(k) na g(k)/λ

•

funkcja F powinna zmieniać się przy transformacji wedlug reguły:

•

dla tego żeby to miało miejsce dla dowolnego λ, g(k) powinna być równa:

•

a tak jak , to możemy przepisać

•

kiedy , funkcja g(k) powinna być niezależna od N. To ma miejsce kiedy

•

koncepcja skalowania – P.G. de Gennes, Scaling Concepts in Polymer Physics,

Cornell Univ. Press, Ithaca (1979)

A

A

x

λ

→

)

,

(

)

(

N

kb

F

g

=

k

⇒

)

,

(

1

)

,

(

N

kb

F

N

kb

F

λ

λ

λ

ν

=

)

(

)

(

ν

kbN

NF

g

=

k

g

R

b

N

∝

ν

)

(

)

(

g

kR

NF

g

=

k

1

>>

g

kR

ν

ν

ν

1

1

)

(

)

(

−

−

∝

=

k

kN

N

const

g k

27

•

RG uwzględnia efekty korelacji segmentów w oddziaływaniach dalekiego

zasięgu

, pomijane w modelach z oddziaływaniami w przybliżeniu średniego pola

•

parametr rozwinięcia

z

modelu perturbacyjnego w przestrzeni euklidesowej o

dowolnym wymiarze

d

przyjmuje postać

•

wprowadzono schemat rozwinięć w szereg potęgowy względem parametru ε=4-d,

który określa odchylenie wymiaru przestrzeni od wymiaru krytycznego d=4

•

wykladnik krytyczny w drugim rzędzie rozwinięcia względem ε

•

lańcuchy polimerowe – obiekty fraktalne o wymiarze fraktalnym :

•

badania doświadczalne na rozcieńczonych roztworach giętkich łańcuchów

potwierdziły wymiar fraktalny 5/3 przewidziany dla efektów wyłączonej objętości

(rozpraszanie promieniowania elektromagnetycznego albo neutronów)

2

/

)

4

(

2

d

2

2

N)

(b

vN

d

N

z

−

∝

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

+

=

...

256

15

8

1

1

2

1

2

ε

ε

ν

ν

1

ν

1

X

const

N

⋅

=