Mariusz PYRZ

SIMR (PW), Instytut Pojazdów

Metody numeryczne w mechanice

Wprowadzenie de oblicze

ń

numerycznych

1.

Metody numeryczne

Dokładne rozwiązania analityczne wielu problemów mechaniki są trudne

(lub niemożliwe) do uzyskania.

Metody numeryczne zajmują się analizą sposobów rozwiazywania
problemów matematycznych za pomocą działań arytmetycznych oraz

doborem takich procedur

(i ich zastosowaniem)

które są najbardziej

odpowiednie do rozwiązania rozważanego problemu.

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

2

odpowiednie do rozwiązania rozważanego problemu.

Analiza numeryczna zajmuje się badaniem metod umożliwiających

wyznaczanie numeryczne wartości liczbowej oraz wartości funkcji.

W mechanice dotyczy to problemów modelowania i projektowania,

opracowywania wyników eksperymentalnych, …

Znajomość numeryczna wartości liczbowej

Liczbę uważamy za „znaną” numerycznie jeśli dysponujemy jej zapisem w
dziesiętnym systemie liczbowym , np.

(tzn., jeżeli znamy pewną liczbę cyfr opisujących rozwinięcie dziesiętne

e

=

±

−

2 7183 10

4

,

3

(tzn., jeżeli znamy pewną liczbę cyfr opisujących rozwinięcie dziesiętne

oraz znamy dokładność z jaką to rozwinięcie jest podane)

Niektóre liczby rzeczywiste będą traktowane jako „dobrze znane” ponieważ można
znaleźć ich przybliżoną wartość z wymaganą dokładnością (np. w tablicach)

2

3

,

, ,

π

e

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Znajomość numeryczna funkcji

Funkcję traktujemy jako znaną numerycznie jeżeli można obliczyć jej
wartość* w każdym punkcie dziedziny określoności funkcji.

*) w sensie znajomości numerycznej wartości liczbowej

tj. podania wartości przybliżonej i wskazania jej dokładności

4

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Liczba cyfr znaczących

(wyznacza granicę błędu)

Niech x będzie liczbą rzeczywistą, której rozwinięcie dziesiętne jest w

ogólnym przypadku nieskończone.

x = 4 1 2 8 , 4 5 0 6 7

3 2 1 0 -1 -2 -3 … -d

numery cyfr

Liczba x jest poprawnie zaokrąglona do pozycji d (co oznaczymy

Przykłady:

Uwaga: można wybrać zaokrąglenie do wartości wyższej lub niższej
Z zasady zaokrągla się zawsze do wartości wyższej albo zawsze do wartości niższej

5

Liczba x jest poprawnie zaokrąglona do pozycji d (co oznaczymy

symbolem x

(d)

) jeśli błąd zaokrąglenia wynosi

ε

= −

≤

x

x

d

d

( )

1

2

10

x

x

x

=

=

=

−

−

6 74 3 9 9 6 66

6 7 4 4

6 7 43 9 9 6 7

3

7

.

.

.

(

)

(

)

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Równania nieliniowe i ich układy

Wyznaczyć

x

x

Poszukiwanie wartości liczbowych

– przykłady problemów

( )

0

f x

=

f(x) = 0

Układy równań liniowych

Wyznaczyć

A – dana macierz kwadratowa rzędu n,

- dany wektor

6

x

∈

R

n

Ax

b

=

b

∈

R

n

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Interpolacja

Wyznaczyć

Aproksymacja

Poszukiwanie wartości liczbowych

– przykłady problemów

,

0,

,

i

a

R i

n

∈

=

…

2

0

1

2

( )

...

n

n

n

P x

a

a x

a x

a x

= +

+

+ +

( )

m

f x

a

ϕ

=

∑

Aproksymacja

Wyznaczyć

- dane funkcje

7

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

0

( )

j

j

j

f x

a

ϕ

=

=

∑

,

0,

,

j

a

R

j

n

∈

=

…

j

ϕ

Wartości własne

Wyznaczyć

Wektory własne

Poszukiwanie wartości liczbowych

– przykłady problemów

λ

∈

C

Ax

x

=

λ

x

0

≠

Ax

x

=

λ

Wyznaczyć

8

x

∈

R

n

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Poszukiwanie wartości liczbowych

– przykłady problemów

Całkowanie numeryczne

2

2.7

1

1

2

2

2

(

)

x

D

e

dx

x

y dxdy

α

α

−

=

=

+

∫

∫∫

9

Minimalizacja funkcji

Znaleźć takie

aby

2

1,...,

sup

(

)

min

i

i

i

i

n

y

ax

bx

c

ω

=

=

−

+

+

→

a b c

R

, ,

∈

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Poszukiwanie wartości funkcji

– przykłady problemów

Równania różniczkowe zwyczajne

Problem warunków początkowych

Wyznaczyć y tak, aby

( )

( , ( ))

[ , ],

( )

y x

f x y x

x

a b

y a

α

′

=

∈

=

10

Problem wartości granicznych

Wyznaczyć y tak, aby

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

( )

( , ( ),

( ))

[ , ],

( )

,

( )

y x

f x y x y x

x

a b

y a

y b

α

β

′′

′

=

∈

=

=

Poszukiwanie wartości funkcji

– przykłady problemów

Równania różniczkowe cząstkowe

Problem Dirichleta

Dany jest zbiór otwarty

i jego „brzeg” .

Wyznaczyć u tak, aby

Ω

( )

( )

( )

u x

u x

f x

w

λ

−∆

+

=

Ω





Γ

11

Wyznaczyć u tak, aby

dane lub do wyznaczenia (wtedy jest to zagadnienie na wartości własne)

- operator różniczkowy, - znane funkcje

( )

( )

( )

( )

( )

u x

u x

f x

w

u x

x

na

λ

ϕ

−∆

+

=

Ω





=

Γ



M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

λ

∆

,

f

ϕ

Poszukiwanie wartości funkcji

– przykłady problemów

Problemy optymalizacji

Optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Wyznaczyć x tak aby

1

2

1

2

1

2

( ,

,...,

)

min

( ,

,...,

)

0,

( ,

,...,

)

0

n

n

n

f x x

x

x x

x

x x

x

→

=

≤

h

g

12

Kontrola optymalna

Wyznaczyć u

aby (na przykład)

( )

( , ( ), ( ))

[ , ]

( )

,

,

y x

f x y x u x

x

a b

y a

f

dane

α

α

′

=

∈

=

( , ( ), ( ))

min

b

a

g x y x u x dx

→

∫

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Rozwiązywanie zadań za pomocą metod numerycznych

Sprzęt

papier + długopis

(bardzo prosty problem )

kalkulator

(problem o łatwym algorytmie)

komputer

(poważne zagadnienia)

Metoda

Zależy od rozpatrywanego problemu i posiadanego sprzętu

Algorytm

13

Algorytm

Precyzyjny opis kolejnych działań, pozwalających na obliczenie wyniku

Badanie algorytmów

opis algorytmu

badanie teoretyczne zbieżności (błąd metody)
badanie praktyczne zbieżności

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Źródła i natura błędów

Błędy podczas definiowania problemu ( sformułowanie matematyczne)

- Błędy sformułowania (przybliżenie stanu rzeczywistego za pomocą modeli

matematycznych– margines błędu trudny do oszacowania)

- Błędy danych (błędy i niedokładności pomiarów i zaokrągleń)

Błędy przybliżeń w procesie obliczeniowym

14

Błędy przybliżeń w procesie obliczeniowym

(rozwiązywanie numeryczne)

- Błędy zaokrągleń – przybliżenie wartości liczbowych posiadających

nieskończenie wiele cyfr przez wartości o skończonej liczbie cyfr)

- Błędy „obcięcia” będące konsekwencją zastąpienia „nieskończonej” liczby

operacji matematycznych (wymaganych w teorii) przez skończoną liczbę
operacji procesu obliczeniowego

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Akumulacja błędów

Wszystkie błędy dodają się do siebie i rozprzestrzeniają w procesie obliczeń.
Ich

akumulacja

może prowadzić do nieprzewidywalnych skutków.

Metoda (lub algorytm jest

stabilny

jeżeli jest ona mało wrażliwa na

akumulację (spiętrzenie) błędów zaokrąglenia (może to być zależne od
wartości zmiennych).

Obliczanie błędu

błąd bezwzględny

błąd względny

(różnica miedzy wartością dokładną lub teoretyczną x*

a wartością przybliżoną x )

Przykład: Gdy przybliżymy

1/3

liczbą

0.333

to

epsilon=1/3*10

-3

, e=10

-3

.

15

ε

=

−

x

x

*

e

x

=

ε

*

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Komputer – narzędzie dla metod numerycznych

Komputer może dostarczyć jedynie wartości

przybliżone,

które zależą

jednocześnie od ograniczeń fizycznych (obszar pamięci, prędkość
zegara, …) i od doboru metody przez autora programu.

Niebezpiecze

ń

stwo:

zbyt duże zaufanie użytkownika do komputera

(niezależnie od tego czy jest to kalkulator czy super komputer)!

16

Reprezentacja (kodowanie) liczb na komputerze

System numeryczny komputera jest dyskretny (skończona liczba wartości)

Z wyjątkiem najprostszych przypadków,

wszystkie obliczenia są obarczone błędami.

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Obliczenia na kalkulatorze

Problem:

Obliczyć

(11 111 111)

2

Dokładna wartość :

123 456 787 654 321

Wartość wyświetlona przez kalkulator

1.2345E14

(wyświetlacz 9-cio cyfrowy)

1.2345*10

14 =

123 450 000 000 000

Błąd bezwzględny

123 456 787 654 321 - 123 450 000 000 000 =

17

Błąd bezwzględny

123 456 787 654 321 - 123 450 000 000 000 =

6 787 654 321

(rzędu 6*10

9

)

Błąd względny

6 787 654 321 / 123 456 787 654 321 =

0.0005%

W obliczeniach numerycznych należy starać się o uzyskanie odpowiedzi

charakteryzowanej prawidłowym rządem wielkości i maksymalną liczbą

dokładnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego.

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

*

Reprezentacja liczb na komputerze:

całkowite i zmiennoprzecinkowe

(rzeczywiste).

*

Dokładność:

zwykła i/lub podwójna

*

Liczby zmiennoprzecinkowe

Problemy informatyczne

x

M b

E

= ±

*

18

gdzie M – mantysa, b – podstawa systemu liczbowego, E – wykładnik (liczba całkowita)

*

Zaokrąglanie

liczby

*

Arytmetyka zmiennopozycyjna

Reprezentacja zmiennopozycyjna została zaproponowana aby błąd względny liczb

reprezentowanych w pamięci komputera był w przybliżeniu stały (wartość tego błędu
związana jest z dokładnością maszyny)

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Uwarunkowanie problemu i stabilność algorytmu

Jeżeli błędy powstałe na pośrednich etapach obliczeń mają pomijalny
wpływ na końcowy wynik, wówczas mamy do czynienia z algorytmem

stabilnym

numerycznie. W przeciwnym przypadku algorytm jest

numerycznie niestabilny.

19

Problem jest

dobrze uwarunkowany

numerycznie, jeżeli małe zmiany

danych nie pociągają za sobą dużych zmian w wynikach.

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011

Pytania przed przystąpieniem do rozwiązywania

Dane:

Jakie wielkości są danymi problemu?

W jakiej przestrzeni danych i wyników najlepiej wyrazić sens fizyczny lub
techniczny problemu?

Uwarunkowanie problemu

Czy problem jest wrażliwy na perturbacje danych?

20

Czy problem jest wrażliwy na perturbacje danych?

Czy można go rozwiązać z wymagana dokładnością?

Czy istnieje równoważny problem lepiej uwarunkowany?

Dobór algorytmu

Czy algorytm jest stabilny i prawidłowy?

Jakie są możliwe straty w dokładności?

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011