A

E

GZAMIN Z

A

LGEBRY

L

INIOWEJ

,

SEMESTR LETNI

2002

C

Z ˛

E ´S ´

C

I. Z

ADANIA

1. Niech f : C

3

7→ C

3

b˛edzie homomorfizmem o macierzy A =





1

1

0

−1 1 1

0

1

1





w bazie standardowej.

Znale´z´c macierz Jordana A

J

przekształcenia f oraz tak ˛

a macierz C, ˙ze C

−1

AC = A

J

.

2. Niech R

3

b˛edzie afiniczn ˛

a przestrzeni ˛

a euklidesow ˛

a ze standardowym iloczynem skalarnym i H =

af {[2, 3, 1], [1, 2, 1], [2, 4, 1]} ⊆ R

3

.

(a) Znale´z´c układ równa´n opisuj ˛

acy H.

(b) Znale´z´c wzór analityczny rzutu prostopadłego R

3

na H

(c) Znale´z´c odległo´s´c punktu [0, 0, 0] od H.

3. Niech R

3

b˛edzie przestrzeni ˛

a euklidesow ˛

a ze standardowym iloczynem skalarnym. Dla dowolnej

liczby a ∈ R rozwa˙zmy przekształcenia f

a

, g

a

: R

3

→ R

3

okre´slone wzorami:

f

a

(x

1

, x

2

, x

3

) = (ax

1

−

1

2

x

2

,

1

2

x

1

+ ax

2

, x

3

)

g

a

(x

1

, x

2

, x

3

) = (x

1

, ax

2

−

1

2

x

3

,

1

2

x

2

+ ax

3

).

Wyznaczy´c wszystkie warto´sci parametru a dla których przekształcenie f

a

◦ g

a

jest izometri ˛

a.

4. Niech X

a

⊆ R

3

b˛edzie hiperpowierzchni ˛

a opisan ˛

a równaniem x

1

x

2

+ax

1

x

3

+x

2

x

3

+x

1

+2 = 0. Dla

jakich a ∈ R, X

a

jest afinicznie równowa˙zna z paraboloid ˛

a hiperboliczn ˛

a (tzn. z hiperpowierzchni ˛

a

opisan ˛

a równaniem x

2

1

− x

2

2

+ x

3

= 0)

5. Niech A b˛edzie macierz ˛

a n × n o współczynnikach z ciała K tak ˛

a, ˙ze A

m

= 0 dla pewnej liczby

naturalnej m. Wykaza´c, nie korzystaj ˛

ac z twierdzenia Jordana, ˙ze A

n

= 0.

C

Z ˛

E ´S ´

C

II. T

EORIA

1. Zdefiniuj ´srodek ci˛e˙zko´sci układu punktów w przestrzeni afinicznej, co to znaczy, ˙ze układ punktów

jest w poło˙zeniu ogólnym?

2. Co to jest przekształcenie sprz˛e˙zone do przekształcenia liniowego?

3. Podaj definicj˛e przekształcenia samosprz˛e˙zonego i jego macierzow ˛

a charakteryzacj˛e.

4. Podaj definicj˛e afinicznej przestrzeni euklidesowej.

5. Sformułuj kryterium Sylwestera.

6. Podaj definicj˛e k ˛

ata niezorientowanego i jego miary w przestrzeni euklidesowej.

Punktacja:
zadania z cz˛e´sci I po 10 punktów
zadania z cz˛e´sci II po 4 p.
Razem 74 p.