58

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Pr

Čd elektryczny staųy

Uwagi wst

ħpne:

Pr

Čd elektryczny

– uporz

Čdkowany ruch ųadunków elektrycznych.

Pr

Čd elektryczny w przewodniku powstajČcy pod wpųywem wytwarzania w nim pola elektrycznego –

pr

Čd przewodzenia

.

Aby pojawi

ų siħ prČd i trwaų przez pewien czas naleǏy speųniđ 2 warunki:

¾ muszČ wystħpowađ ųadunki elektryczne w danym Ƒrodowisku, które mogČ siħ w nim poruszađ
¾ musi wystħpowađ w tym Ƒrodowisku pole elektryczne, którego energiħ moǏna przeznaczyđ na

poruszanie tych

ųadunków.

Nale

Ǐy przy tym uzupeųniađ energiħ pola, by zapewniđ ciČgųoƑđ trwania prČdu elektrycznego.

Sprowadza si

ħ to do zapewnienia moǏliwoƑci zamiany energii dowolnego rodzaju na energiħ

pola elektrycznego (

Ǎródųo siųy elektromotorycznej lub Ǎródųo prČdu).

Umownie przyjmuje si

ħ, Ǐe kierunek prČdu wyznacza kierunek ruchu ųadunków dodatnich.

Podstawowe wielko

Ƒci

Nat

ħǏenie prČdu

:

ܫ ൌ

݀ݍ

݀ݐ

W przypadku pr

Čdu staųego (natħǏenie prČdu i kierunek nie ulegajČ zmianie w czasie):

ܫ ൌ

ݍ

ݐ

ݍ – ųadunek przechodzČcy przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie ݐ.

(3.01)

(3.02)

W tym przypadku obwód musi by

đ zamkniħty. NatħǏenie prČdu jest jednakowe dla prČdu staųego

we wszystkich przekrojach przewodnika.

Jednostk

Č natħǏenia prČdu jest amper [A] = [C/s]. NatħǏenie prČdu to wielkoƑđ skalarna.

Z kolei rozk

ųad pola elektrycznego w róǏnych miejscach przekroju przewodnika opisuje

wektor

g

ħstoƑci prČdu

j. Wektor ten ma kierunek zgodny z kierunkiem pr

Čdu, zaƑ jego moduų:

݆ ൌ

݀ܫ

݀ܵ

ᇱ

To nat

ħǏenie prČdu przepųywajČcego przez jednostkowy przekrój poprzeczny prostopadųy do

kierunku pr

Čdu. JednostkČ jest A/m

2

.

Dla dowolnej powierzchni

݀ܵ, gdy normalna do niej tworzy z j kČt ɲ, odpowiadajČca jej

powierzchnia

݀ܵԢ prostopadųa do j wynosi:

݀ܵ

ᇱ

ൌ ݀ܵ …‘• ߙ

Po podstawieniu:

݆ ൌ

݀ܫ

݀ܵ

ͳ

…‘• ߙ

݈ݑܾ ݆

௡

ൌ

݀ܫ

݀ܵ

(3.03)

(3.04)

(3.05)

[Jaworski t.2]

59

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Ca

ųkowite natħǏenie prČdu w przewodniku wynosi zatem:

ܫ ൌ න ݆

௡

݀ܵ

ௌ

Dalej rozpatrywa

đ bħdziemy tylko sytuacjħ uproszczonČ, dla której

݀ܵ ൌ ݀ܵ

ᇱ

݆

௡

ൌ ݆

ܫ ൌ න ݆݀ܵ

ௌ

Dla pr

Čdu staųego:

ܫ ൌ ݆ܵ

Uwagi o klasycznej teorii elektronowej przewodno

Ƒci elektrycznej metali.

W tej teorii wysok

Č przewodnoƑđ elektrycznČ metali wyjaƑnia siħ wystħpowaniem wielkiej liczby

no

Ƒników prČdu (elektronów przewodzenia) przemieszczajČcych siħ w caųej objħtoƑci przewodnika.

Operuje si

ħ wtedy pojħciem gazu elektronowego, który zachowuje siħ podobnie jak gaz jedno-

atomowy doskona

ųy. Elektrony zderzajČ siħ z jonami siatki krystalicznej zatem ich Ƒrednia droga

swobodna powinna co do rz

ħdu wielkoƑci wynosiđ tyle co staųa siatki krystalicznej (ok. 0.1 nm).

Z teorii kinetycznej gazów:

݉ܿ

ଶ

ʹ

ൌ

͵
ʹ

݇ܶ

݉ – masa elektronu, ܿ – Ƒrednia prħdkoƑđ kwadratowa elektronu (NIE prħdkoƑđ Ƒwiatųa) (dla
ܶ ൌ ʹͻ͵ , ܿ wynosi okoųo 100km/s)

oraz

Wtedy

(3.06)

(3.09)

(3.10)

(3.07)

(3.08)

(3.11)

Pod wp

ųywem pola zewnħtrznego w przewodniku zachodzi ruch uporzČdkowany elektronów,

czyli powstaje pr

Čd.

G

ħstoƑđ tego prČdu:

݆ ൌ ݊

଴

݁ݒҧ

gdzie

ݒҧ - prħdkoƑđ Ƒrednia uporzČdkowanego ruchu elektronów,

݊

଴

- liczba elektronów w jednostce obj

ħtoƑci.

Oszacujmy

ݒҧ.

Przyjmijmy przekrój 1mm

2

, dla przewodnika miedzianego najwy

Ǐsza dopuszczalna wartoƑđ

݆ ൌ1100 A/cm

2

oraz dla miedzi

݊

଴

= 8.5 10

22

cm

-3

ݒҧ ൌ

ͳͳͲͲ

ͺǡͷ ή ͳͲ

ଶଶ

ή ͳǡ͸ ή ͳͲ

ିଵଽ

؆ ͲǡͲͺ

ܿ݉

ݏ݁݇

Pr

ħdkoƑđ ta jest bardzo maųa w porównaniu do Ƒredniej prħdkoƑci ruch cieplnego elektronów.

T

ųumaczy siħ to czħstymi zderzeniami elektronów z jonami siatki.

Niemal natychmiastowe przekazywanie sygna

ųu elektrycznego na odlegųoƑđ kontrastuje z tym

wynikiem.
Oczywi

Ƒcie zamkniħcie obwodu powoduje bųyskawiczne rozprzestrzenianie siħ pola

elektrycznego w obwodzie i otaczaj

Čcej przestrzeni (z prħdkoƑciČ Ƒwiatųa 300 000 km/s). Po

up

ųywie czasu ݐ ൌ ܮȀܿ (ܮ– dųugoƑđ przewodu) ustala siħ pole stacjonarne i rozpoczyna siħ ruch

uporz

Čdkowany elektronów przewodzenia) ܮ ൌ0.000003 s. Zatem ruch elektronów pod

wp

ųywem pola inicjuje siħ wzdųuǏ caųego przewodu bardzo krótko po zamkniħciu obwodu i

w

ųČczeniu pola.

(3.12)

(3.13)

60

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Klasyczna teoria elektronowa a prawa Ohma i Joule’a-Lenza

Oba te podstawowe prawa mo

Ǐna ųatwo wyprowadziđ w ramach tej teorii.

Za

ųóǏmy, Ǐe w wyniku zderzeŷ z wħzųami siatki krystalicznej elektrony tracČ caųkowicie energiħ

uzyskan

Č uprzednio w obecnoƑci pola elektrycznego na drodze swobodnej. W takim przypadku

mo

Ǐna przyjČđ, Ǐe do czasu zderzenia elektrony poruszajČ siħ ze staųym przyspieszeniem. Wtedy:

ݒҧ ൌ

ݒҧ

௠௔௫

ʹ

ݒҧ – Ƒrednia prħdkoƑđ uporzČdkowanego ruchu elektronów,
ݒҧ

௠௔௫

–

Ƒrednia wartoƑđ tej prħdkoƑci, ale nabytej na caųej drodze swobodnej (do chwili

zderzenia).
Równanie ruchu elektronu ma posta

đ:

݉

݀ݒ

݀ݐ

ൌ ݁ܧ

Po rozdzieleniu zmiennych i sca

ųkowaniu obustronnym mamy:

ݒҧ

௠௔௫

ൌ

݁ܧ

݉

߬ҧ

i oczywi

Ƒcie

ݒҧ ൌ

݁ܧ

ʹ݉

߬ҧ

߬ҧ - ųatwo wyznaczyđ moǏna z relacji:

߬ҧ ൌ

ߣҧ

ݑത ൅ ݒҧ

gdzie

ݑത - Ƒrednia prħdkoƑđ ruchu cieplnego.

(3.14)

(3.16)

(3.17)

(3.15)

(3.18)

Poniewa

Ǐ:

ݒҧ ا ݑത ǡ

to w dobrym przybli

Ǐeniu

߬ҧ ൌ

ߣҧ

ݑത

Zatem:

ݒҧ ൌ

݁ߣҧ

ʹ݉ݑത

ܧ

a poniewa

Ǐ ݆ ൌ ݊

଴

݁ݒҧ, to:

݆ ൌ

݊

଴

݁

ଶ

ߣҧ

ʹ݉ݑത

ܧ

Wielko

Ƒđ ostatniego wzoru

݊

଴

݁

ଶ

ߣҧ

ʹ݉ݑത

ൌ ߛ

nazywa si

ħ przewodnoƑciČ wųaƑciwČ (a jej odwrotnoƑđ oporem wųaƑciwym

ଵ
ఊ

ൌ ߩ) przewodnika.

Zatem uzyskali

Ƒmy

prawo Ohma

w postaci:

݆ ൌ

ͳ
ߩ

ܧ ൌ ߛܧ

Mo

Ǐna je takǏe zapisađ w postaci wektorowej:

ଔԦ ൌ

ͳ
ߩ

ܧ ൌ ߛܧ

(3.19)

(3.22)

(3.23)

(3.20)

(3.21)

(3.24)

(3.25)

61

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Rozwa

Ǐmy jeszcze krótko relacje energetyczne podczas zderzeŷ elektronów z wħzųami sieci.

Podczas zderzenia elektrony trac

Č caųkowicie prħdkoƑđ ruchu uporzČdkowanego przekazujČc

swoj

Č energiħ kinetycznČ

௠ ௩ത

೘ೌೣ

మ

ଶ

jonowi.

Liczba zderze

ŷ elektronu z wħzųami siatki na jednostkħ czasu:

ݖҧ ൌ

ݑത

ߣҧ

Wszystkie elektrony do

ƑwiadczajČ wiħc ݊

଴

ݖҧ zderzeŷ na jednostkħ czasu i przekazujČ jonom

energi

ħ:

ݓ ൌ ݊

଴

ݖҧ

݉ ݒҧ

௠௔௫

ଶ

ʹ

Energia ta zu

Ǐywana jest na ogrzewanie przewodnika.

Wykorzystuj

Čc uzyskane wczeƑniej wyraǏenia na ݖҧ iݒҧ

௠௔௫

mamy:

ݓ ൌ

݁

ଶ

ܧ

ଶ

ߣҧ

ଶ

݊

଴

ݑത

ʹ݉ ݑത

ଶ

ߣҧ

ൌ

݁

ଶ

݊

଴

ߣҧ

ʹ݉ݑത

ܧ

ଶ

T

ħ energiħ przekazanČ wħzųom sieci krystalicznej w jednostce objħtoƑci przewodnika i jednostce

czasu nazywa si

ħ għstoƑciČ mocy cieplnej prČdu. Ostatnie wyraǏenie moǏna wiħc zapisađ

w postaci:

ݓ ൌ ߛܧ

ଶ

ൌ

ͳ
ߩ

ܧ

ଶ

Gdzie

ߛ tak jak poprzednio jest przewodnoƑciČ wųaƑciwČ. Jest to postađ dobrze znanego

prawa

Joule’a-Lenza

.

(3.28)

(3.29)

(3.26)

(3.27)

Prawo Wiedemanna-Franza

W danej temperaturze

ܶ stosunek wspóųczynnika przewodnoƑci cieplnej i przewodnoƑci

elektrycznej w

ųaƑciwej jest jednakowy dla wszystkich metali:

ܭ

ߛ

ൌ ܥ

Dalej pokazano wykonuj

Čc badania temperaturowe ,Ǐe

ܭ

ߛ

ൌ ܥ

ଵ

ܶ

Prawo to mo

Ǐna takǏe uzyskađ z teorii elektronowej przewodnictwa metali. W poprzednim

semestrze podali

Ƒmy dla metali zwiČzek:

ܭ ൌ

ͳ
ʹ

݇݊

଴

ߣҧݑത

݇ – staųa Boltzmanna. WykorzystujČc wzór na ߛ (np. z prawa Ohma) i ostatni zwiČzek mamy:

ܭ

ߛ

ൌ

݇

݁

ଶ

݉ ݑത

ଶ

W przybli

Ǐeniu przyjħtym przez Drude

݉ ݑത

ଶ

ʹ

ൌ

͵
ʹ

݇ܶ

St

Čd:

ܭ

ߛ

ൌ ͵

݇

ଶ

݁

ଶ

ܶ

(3.32)

(3.33)

(3.30)

(3.31)

(3.34)

(3.35)

62

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Mamy w ten sposób

ǏČdane prawo przy przyjħciu wartoƑci staųej

ܥ

ଵ

ൌ ͵

݇

ଶ

݁

ଶ

Dla

݇ ൌ ͳǡ͵ͺ ή ͳͲ

ିଶଷ

•–‘’

Τ

݁ ൌ ͳǡ͸ ή ͳͲ

ିଵଽ



uzyskujemy

ܥ

ଵ

ൌ ʹǡʹ͵ ή ͳͲ

ି଼

ଶ



ଶ

ή •–‘’

ଶ

co jest rozs

ČdnČ wartoƑciČ w odniesieniu do danych doƑwiadczalnych.

Dalsze uwagi o teorii elektronowej:
1) Rozwini

ħcia klasycznej teorii Drude przez Lorentza poprzez wziħcie pod uwagħ rozkųadu

pr

ħdkoƑci w gazie elektronowym nie doprowadziųy do praktycznie Ǐadnego postħpu w opisie

zjawisk przewodzenia w metalach.

2) Teoria ta nie wyja

Ƒniųa rzeczywistej zaleǏnoƑci oporu wųaƑciwego od temperatury

3) Podobne trudno

Ƒci teoria ta napotkaųa przy próbie wyjaƑnienia bilansu ciepųa atomowego

metali

4) Teoria ta nie okre

Ƒliųa takǏe prawidųowo dųugoƑci drogi swobodnej w zwiČzku z wartoƑciami

przewodno

Ƒci wųaƑciwej metali. Prawidųowe wartoƑci przewodnoƑci wųaƑciwej wymagaųyby

przyj

ħcia dróg swobodnych 2-3 rzħdy wielkoƑci wiħkszych niǏ staųa siatki krystalicznej.

(3.36)

(3.39)

(3.37)

(3.38)

Prawa pr

Čdu staųego

Oprócz si

ų kulombowskich do podtrzymania w obwodzie prČdu staųego konieczne jest wystħpowanie

dodatkowych si

ų zewnħtrznych (tzw. sių ubocznych). Pole elektryczne sių ubocznych jest oczywiƑcie

wytwarzane przez

Ǎródųa prČdu.

Kosztem wytwarzanego przez to

Ǎródųo pola sių ubocznych ųadunki elektryczne poruszajČ siħ

wewn

Čtrz Ǎródųa prČdu, a na koŷcach obwodu elektrycznego podtrzymywana jest róǏnica

potencja

ųów i w obwodzie pųynie prČd staųy.

Prawo Ohma, prawo Joule’a-Lenza i prawa Kirchoffa
Nat

ħǏenie wypadkowego pola elektrycznego w dowolnym punkcie wewnČtrz przewodnika:

ܧ ൌ ܧ

௞௨௟

൅ ܧ

௨௕

Zatem g

ħstoƑđ prČdu:

ଔҧ ൌ

ͳ
ߩ

ܧ

௞௨௟

൅ ܧ

௨௕

Skalarne pomno

Ǐenie przez wektor ݈݀ҧ (maųy element dųugoƑci przewodnika o kierunku ݆) obu

stron daje:

ଔҧǡ ݈݀ҧ ൌ

ͳ
ߩ

ܧ

௞௨௟

ǡ ݈݀ҧ ൅ ܧ

௨௕

ǡ ݈݀ҧ

Dla zgodnie skierowanych wektorów

ߩ݆݈݀ ൌ ܧ

௞௨௟

ǡ ݈݀ҧ ൅ ܧ

௨௕

ǡ ݈݀ҧ

Wprowad

Ǎmy ܫ zamiast ݆ do tego równania:

ܫ

ߩ
ܵ

݈݀ ൌ ܧ

௞௨௟

ǡ ݈݀ҧ ൅ ܧ

௨௕

ǡ ݈݀ҧ

(3.42)

(3.43)

(3.40)

(3.41)

(3.44)

63

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Ca

ųkowanie po ݈ od przekroju 1 do przekroju 2 przewodnika przy staųym ܫ daje:

ܫ න ߩ

݈݀

ܵ

ଶ

ଵ

ൌ න ܧ

௞௨௟

ǡ ݈݀ҧ

ଶ

ଵ

൅ න ܧ

௨௕

ǡ ݈݀ҧ

ଶ

ଵ

Pierwszy sk

ųadnik po prawej stronie wyraǏa pracħ jakČ wykonujČ siųy kulombowskie przy

przeniesieniu jednostkowego

ųadunku dodatniego z punktu 1 do 2. Wiemy, Ǐe

ܧ

௞௨௟

ǡ ݈݀ҧ ൌ െ݀߮

߮ – potencjaų pola elektrostatycznego.

Zatem

න ܧ

௞௨௟

ǡ ݈݀ҧ

ଶ

ଵ

ൌ ߮

ଵ

െ ߮

ଶ

czyli ró

Ǐnicy potencjaųów w punktach 1 i 2.

Z kolei ca

ųkħ:

ߝ

ଶଵ

ൌ න ܧ

௨௕

ǡ ݈݀ҧ

ଶ

ଵ

nazywamy si

ųČ elektromotorycznČ (SEM) dziaųajČcČ na odcinku od 1 do 2. WartoƑđ siųy

elektromotorycznej jest równa pracy jak

Č wykonujČ siųy uboczne przy przesuwaniu ųadunku

jednostkowego dodatniego od 1 do 2 wzd

ųuǏ przewodnika.

(3.47)

(3.48)

(3.45)

(3.46)

Spadek napi

ħcia (napiħcie) na odcinku 1-2 jest to wielkoƑđ równa pracy wykonanej przez pole

wypadkowe si

ų kulombowskich i ubocznych nad wspomnianym wczeƑniej ųadunkiem przy jego

przesuwaniu od 1 do 2:

ܷ

ଶଵ

ൌ න

ܧ

௞௨௟

൅ ܧ

௨௕

ǡ ݈݀ҧ

ଶ

ଵ

ൌ න ܧതǡ ݈݀ҧ

ଶ

ଵ

ܷ

ଶଵ

ൌ ߮

ଵ

െ ߮

ଶ

൅ ߝ

ଶଵ

Opór definiujemy jako ca

ųkħ:

න ߩ

݈݀

ܵ

ൌ ܴ

ଶଵ

ଶ

ଵ

Dla jednorodnego liniowego przewodnika mamy:

ܴ

ଶଵ

ൌ ߩ

݈

ଶଵ

ܵ

ൌ

݈

ଶଵ

ߛܵ

݈

ଶଵ

- d

ųugoƑđ przewodnika od 1 do 2.

Wówczas:

ܫܴ

ଶଵ

ൌ ߮

ଵ

െ ߮

ଶ

൅ ߝ

ଶଵ

lub

ܷ

ଶଵ

ൌ ܫܴ

ଶଵ

Jest to

prawo Ohma

dla dowolnego odcinka obwodu. Jednostka oporu:

ͳȳ ൌ

ଵ୚
ଵ୅

.

Dla obwodu zamkni

ħtego 1 i 2 sČ identyczne, zatem ߮

ଵ

ൌ ߮

ଶ

i

ܴ

ଶଵ

ൌ ܴ. Zatem dla obwodu

zamkni

ħtego prawo Ohma ma postađ:

ܫܴ ൌ ߝ

ߝ – suma algebraiczna wszystkich sių elektromotorycznych w obwodzie.

albo pro

Ƒciej:

(3.51)

(3.52)

(3.49)

(3.50)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

64

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Prawo Joule

഻a-Lenza

Okre

Ƒlmy energiħ wydzielanČ na danym odcinku obwodu, w którym pųynie prČd ܫ.

Je

Ƒli w jednostce objħtoƑci przewodnika i jednostce czasu wydziela siħ energia ܹ (għstoƑđ

obj

ħtoƑciowa mocy cieplnej), to w objħtoƑci ܸ݀ i czasie ݀ݐ wydziela siħ energia ܹ݀:

ܹ݀ ൌ ݓܸ݀݀ݐ

Zgodnie z prawem Joule’a-Lenza g

ħstoƑđ mocy cieplnej moǏna zapisađ jako:

ݓ ൌ ܧǡ ଔԦ

a st

Čd

ܹ݀ ൌ ܧǡ ଔԦ ܸ݀݀ݐǤ

Oczywi

Ƒcie

ܸ݀ ൌ ݈݀݀ܵ

A poniewa

Ǐ wektory ଔԦi݈݀ sČ zgodne co do kierunku, to

ଔԦ ൌ ݆

݈݀Ԧ
݈݀

Po podstawieniu mamy:

ܹ݀ ൌ ܧǡ ݈݀Ԧ ݆݀ܵ݀ݐ

Po sca

ųkowaniu powinniƑmy dostađ energiħ

ܹ ൌ ܫܷݐ

czyli energie wydzielon

Č w objħtoƑci przewodnika w czasie t.

Rzeczywi

Ƒcie:

න න න ܧǡ ݈݀Ԧ ݆݀ܵ݀ݐ

ௌ

଴

௟

଴

௧

଴

(3.58)

(3.59)

(3.56)

(3.57)

(3.60)

(3.61)

(3.62)

(3.63)

W przypadku sta

ųego prČdu:

ܹ ൌ න ܧǡ ݈݀Ԧ

௟

଴

න ݆݀ܵ

ௌ

଴

න ݀ݐ

௧

଴

Oczywi

Ƒcie

න ݆݀ܵ

ௌ

଴

ൌ ܫ

st

Čd

ܹ ൌ ܫݐ න ܧǡ ݈݀Ԧ

௟

଴

ൌ ܫܷݐ

gdzie

න ܧǡ ݈݀Ԧ

௟

଴

ൌ ܷ

Ciep

ųo wydzielone odpowiadajČce tej energii:

ܳ ൌ ͲǡʹͶܫܷݐ

Przy czym Q wyra

Ǐono w kaloriach.

Z prawa Ohma

ܷ ൌ ܫܴ, zatem

ܳ ൌ ͲǡʹͶ ܫ

ଶ

ܴݐ Ž—„ ܳ ൌ ͲǡʹͶ

ܷ

ଶ

ܴ

ݐ

(3.66)

(3.67)

(3.64)

(3.65)

(3.68)

(3.69)

65

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Prawa Kirchhoffa

Praktyczne obwody s

Č czħsto bardzo zųoǏone. OkreƑlenie oporów i sių elektromotorycznych w

skomplikowanych obwodach jest

ųatwe przy wykorzystaniu praw Kirchhoffa.

Dowolny punkt

ųČczenia siħ wiħcej niǏ dwóch przewodników nazywa siħ wħzųem.

I prawo Kirchhoffa

:

Suma algebraiczna nat

ħǏeŷ prČdów w wħǍle jest równa 0:

෍ ܫ

௞

ൌ Ͳ

௡

௞ୀଵ

݊ – liczba przewodników schodzČcych siħ w wħǍle, ܫ

௞

- pr

Čd w ݇-tym przewodniku.

Pr

Čdy wpųywajČce do wħzųa uwaǏa siħ za dodatnie, a wypųywajČce za ujemne.

Z przyk

ųadu na poniǏszym rysunku od razu widađ, Ǐe:

ܫ

ଵ

െ ܫ

ଶ

െ ܫ

ଷ

൅ ܫ

ସ

൅ ܫ

ହ

െ ܫ

଺

ൌ Ͳ

[Jaworski t.2]

(3.70)

(3.71)

II prawo Kirchhoffa

to po prostu uogólnienie prawa Ohma do obwodów rozga

ųħzionych. Zgodnie

z nim, w dowolnym obwodzie zamkni

ħtym wyodrħbnionym z caųej sieci elektrycznej:

෍ ܫ

௞

ܴ

௞

ൌ

௡

భ

௜ୀଵ

෍ ߝ

௞

௡

భ

௜ୀଵ

Po prawej stronie mamy oczywi

Ƒcie sumħ algebraicznČ wszystkich dziaųajČcych w obwodzie sių

elektromotorycznych.

Nale

Ǐy pamiħtađ o konsekwentnym wyborze kierunku obiegu obwodu (zgodnie albo przeciwnie

do kierunku ruchu wskazówek zegara).

Np. dla obwodu z poni

Ǐszego rysunku mamy:

ܫ

ଵ

ܴ

ଵ

െ ܫ

ଶ

ܴ

ଶ

൅ ܫ

ଷ

ܴ

ଷ

൅ ܫ

ସ

ܴ

ସ

ൌ ߝ

ଵ

െ ߝ

ଶ

൅ ߝ

ଷ

[Jaworski t.2]

(3.72)

(3.73)

66

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Pr

Čd elektryczny w cieczach

Roztwory soli, kwasów oraz zasad s

Č dobrymi przewodnikami prČdu. Przepųyw prČdu przez te

ciecze powoduje wydzielanie si

ħ skųadników tych cieczy na elektrodach. Zjawisko to nazywa siħ

elektroliz

Č, a odpowiednie przewodniki elektrolitami lub przewodnikami jonowymi lub

przewodnikami II rodzaju.
Prawa elektrolizy ustali

ų doƑwiadczalnie Faraday.

I prawo Faraday’a

:

Masa wydzielonej na elektrodzie substancji jest proporcjonalna do

ųadunku ݍ który przepųynČų

przez elektrolit:

ܯ ൌ ݇ݍ

݇ jest równe masie substancji wydzielonej przy przepųywie przez elektrolit ųadunku jednostkowego i
nazywamy go równowa

Ǐnikiem elektrochemicznym substancji.

Gdy mówimy o pr

Čdzie staųym to:

ݍ ൌ ܫݐ

i oczywi

Ƒcie

ܯ ൌ ݇ܫݐǤ

II prawo Faraday’a

:

Równowa

Ǐniki elektrochemiczne pierwiastków sČ wprost proporcjonalne do ich równowaǏników

chemicznych.
Równowa

Ǐnik chemiczny pierwiastka to iloraz ܣȀܼ (ciħǏar atomowy/wartoƑciowoƑđ). Wynika

st

Čd, Ǐe:

݇ ൌ ܥ

ܣ
ܼ

ܥ – staųa uniwersalna dla wszystkich pierwiastków.

(3.76)

(3.74)

(3.75)

(3.77)

Zamiast

ܥ stosuje siħ czħƑciej odwrotnoƑđ tej staųej:

ܨ ൌ

ͳ

ܥ

zwan

Č

sta

ųČ Faraday’a

. W tym uj

ħciu:

݇ ൌ

ͳ

ܨ

ܣ
ܼ

a po podstawieniu do I prawa Faraday’a mamy:

ܯ ൌ

ͳ

ܨ

ܣ
ܼ

ܫݐ

ܯ ൌ

ͳ

ܨ

ܣ
ܼ

ݍ

Je

Ƒli

ܯ ൌ ܣ ܼ

Τ

to

ݍ ൌ ܨ. Zatem ܨ odpowiada iloƑci ųadunku, który przechodzi przez elektrolit w celu

wydzielenia na elektrodzie 1 gramorównowa

Ǐnika substancji. Z doƑwiadczenia wynika, Ǐe:

ܨ ൌ ͻ͸ͶͻͶ

ܥ

‰”×™

ൎ ͻ͸ͷͲͲ

ܥ

‰”×™

ൌ ͻǡ͸ͷ ή ͳͲ

଻

ܥ

‰”×™

(3.80)

(3.81)

(3.78)

(3.79)

(3.82)

(3.83)

67

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Proces rozk

ųadania czČsteczek obojħtnych cieczy na jony dodatnio i ujemnie naųadowane nazywa

si

ħ dysocjacjČ elektrolitycznČ.

Przyk

ųadowe reakcje dysocjacji elektrolitycznej kwasu siarkowego, NaOH oraz NaCl w roztworach

wodnych:



ଶ



ସ

֎ 

ା



ସ

ି

֎ ʹ

ା

൅ 

ସ

Ȅ

ƒ ֎ ƒ

ା

൅ 

ି

ƒŽ ֎ ƒ

ା

൅ Ž

ି

Dysocjacja jest wynikiem silnego oddzia

ųywania rozpuszczanych czČsteczek np. kwasu siarkowego z

cz

Čsteczkami wody. NieuporzČdkowany ruch cieplny prowadzi z drugiej strony do ponownego

ųČczenia siħ jonów w zwiČzki obojħtne (rekombinacja).
Niech w roztworze znajduje si

ħ ݊

଴

cz

Čsteczek rozpuszczonych spoƑród których݊

଴

ᇱ

ൌ ߙ݊

଴

jest

zdysocjowanych,

ߙ – staųa dysocjacji. Liczba ο݊

଴

ᇱ

cz

Čsteczek dysocjujČcych na jednostkħ objħtoƑci

i jednostk

ħ czasu jest proporcjonalna do liczby czČsteczek niezdysocjowanych, czyli:

ο݊

଴

ᇱ

ൌ ߚ ͳ െ ߙ ݊

଴

ߚ – wspóųczynnik proporcjonalnoƑci.
Liczba cz

Čsteczek obojħtnych powstajČcych w wyniku rekombinacji (na jednostkħ objħtoƑci i

czasu):

ο݊

଴

ᇱᇱ

ൌ ߛߙ

ଶ

݊

଴

ଶ

ߛ – wspóųczynnik proporcjonalnoƑci. W stanie równowagi dynamicznej miħdzy dysocjacjČ, a
rekombinacj

Č:

ο݊

଴

ᇱ

ൌ ο݊

଴

ᇱᇱ

(3.86)

(3.87)

(3.84)

(3.85)

(3.88)

(3.89)

Zatem po podstawieniu:

ߚ ͳ െ ߙ ݊

଴

ൌ ߛߙ

ଶ

݊

଴

ଶ

lub po prostym przekszta

ųceniu

ͳ െ ߙ

ߙ

ଶ

ൌ …‘•– ή ݊

଴

a st

Čd w przypadku granicznym ݊

଴

՜ Ͳ mamy ߙ ՜ ͳ, co oznacza, Ǐe w roztworach

rozcie

ŷczonych prawie wszystkie czČsteczki dysocjujČ. Natomiast w stħǏonych roztworach:

ߙ ൎ …‘•–

ͳ

݊

଴

Prawa Faraday’a stanowi

ųy istotny krok w przyjħciu prawdziwoƑci wniosku o atomistycznym

charakterze elektryczno

Ƒci. JeƑli bowiem na elektrodzie wydzieli siħ 1 gramoatom jedno-

warto

Ƒciowego zwiČzku to przez elektrolit musi przepųynČđ ųadunek ܨ ൌ96500 C. Dla ܼ

warto

Ƒciowej substancji musi to byđ ųadunek ܼܨ. Z uwagi na to, Ǐe przenoszone jest wciČǏ ܰ

ܣ

jonów to na ka

Ǐdy jon substancji ܼ-wartoƑciowej wypada

ݍ ൌ

ܼܨ

ܰ

஺

a dla jednowarto

Ƒciowej:

݁ ൌ

ܨ

ܰ

஺

Wyniki te prowadz

Č do nastħpujČcych wniosków:

1) Jony

ܼ-wartoƑciowe mogČ mieđ róǏne ųadunki, ale Ƒrednio wynoszČ one

௓ி

ே

ಲ

.

2) Ka

Ǐdy jon jest noƑnikiem ƑciƑle okreƑlonego ųadunku

௓ி

ே

ಲ

, przy czym warto

Ƒci ųadunków mogČ

ró

Ǐniđ siħ tylko o wielokrotnoƑđ ųadunku jonu jednowartoƑciowego

ி

ே

ಲ

(3.92)

(3.93)

(3.90)

(3.91)

(3.94)

68

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Warto

Ƒđ ujemnego ųadunku elementarnego wyznaczyų pierwszy Millikan.

Atomistyczny charakter elektryczno

Ƒci moǏna teǏ pokazađ przy wykorzystaniu ukųadu jak na

rysunku poni

Ǐej (1912, Joffe).

Ujemnie na

ųadowany pyųek umieszcza siħ miħdzy okųadkami kondensatora i dobiera natħǏenie

pola tak, by pozostawa

ų w równowadze (ݍܧ ൌ ݉݃). Pyųek naƑwietlamy, w wyniku zjawiska

fotoelektrycznego ubywa

ųadunku ujemnego z pyųka. By utrzymađ stan równowagi zmieniamy

odpowiednio nat

ħǏenie pola:

݉݃ ൌ ݍ

଴

ܧ

଴

ൌ ݍ

ଵ

ܧ

ଵ

ൌ ݍ

ଶ

ܧ

ଶ

ൌǤ Ǥ

st

Čd

ݍ

଴

ǣ ݍ

ଵ

ǣ ݍ

ଶ

ǣ ǥ

ͳ

ܧ

଴

ǣ

ͳ

ܧ

ଵ

ǣ

ͳ

ܧ

ଶ

ǥ

Okazuje si

ħ, Ǐe ųadunek moǏe przyjmowađ tylko ƑciƑle okreƑlone nieciČgųe wartoƑci.

[Jaworski t.2]

(3.95)

(3.96)