PARAMETRY
STATYSTYCZNE

to wielkości liczbowe, które służą

do opisu struktury zbiorowości

statystycznej w sposób
systematyczny

Zadania parametrów
statystycznych



Określenie przeciętnego rozmiaru i

rozmieszczenia wartości zmiennej- za

pośrednictwem miar położenia



Określenie granic obszaru zmienności wartości
zmiennej-

za pośrednictwem miar zmienności



Określenie skupienia i spłaszczenia (w stosunku
do krzywej normalnej) oraz stopnia zmiany od
idealnej asymetrii-

za pośrednictwem miar

asymetrii i koncentracji

MIARY POŁOŻENIA



MIARY POZYCYJNE



MIARY PRZECIĘTNE

MIARY POZYCYJNE



modalna



kwartyl pierwszy



mediana (kwartyl drugi)



kwartyl trzeci



decyle

MIARY PRZECIĘTNE



średnia arytmetyczna



średnia harmoniczna



średnia geometryczna



modalna

Miary przeciętne

charakteryzują średni lub typowy poziom

wartości cechy, wokół których skupiają się

wszystkie pozostałe wartości analizowanej

cechy

Średnią arytmetyczną



definiuje się jako sumę wartości cechy
mierzalnej podzieloną przez liczbę
jednostek skończonej zbiorowości
statystycznej.

ŚREDNIA NIEWAŻNA STOSOWANA DLA
SZEREGÓW SZCZEGÓŁOWYCH

gdzie:
n -

liczebność zbiorowości próbnej (próby),

x

i

- wariant cechy

Dwóch pracowników wykonuje detale tego samego typu. Przeprowadzono
obserwację czasu wykonania pięciu detali przez robotnika A i dziesięciu detali
przez robotnika B i otrzymano następujące szeregi szczegółowe opisujące czas
wykonania detalu:
dla robotnika A: 12, 15, 15, 18, 20
dla robotnika B: 10, 10, 12, 12, 15, 15, 18, 20, 21, 21



Korzystając z wzoru na obliczenie
średniej :

min

16

5

80

5

20

18

15

15

12















A

x

min

4

,

15

10

154

10

21

21

20

18

15

15

12

12

10

10

























B

x

W pewnym doświadczeniu medycznym
bada się czas snu pacjentów leczonych
na pewną chorobę. Zmierzono u n=12
losowo wybranych pacjentów czas snu
i otrzymano następujące wyniki
(w minutach):
435,389,533,324,561,395,416,500,499,397,
356,398.
Należy obliczyć średni czas snu:

583

,

433



x

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA
WAŻONA-

wyznacza się w szeregach rozdzielczych

punktowych i w szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi

SZEREG ROZDZIELCZY
PUNKTOWY

SZEREG ROZDDZIELCZY Z
PRZEDZIAŁAMI KLASOWYMI

Przykład: W tabeli poniżej zestawiono wyniki badań czasu pracy
wykonania 15 detali. Jest to szereg szczegółowy punktowy. Średnia
arytmetyczną czasu wyznaczymy na podstawie wzoru:

Numer

klasy

Czas w

min

Liczba

detal

i

Obliczenia

pomocnicze

i

x

i

n

i

x

i

*n

i

1

10

2

20

2

12

3

36

3

15

4

60

4

18

2

36

5

20

2

40

6

21

2

42

RAZEM

15

234

min

6

,

15

234

*

15

1





x

Ćwiczenie



Dziesięć osób czekających przed
gabinetami lekarskimi w przychodni
zapytano, ile razy korzystały z porad
lekarskich w ciągu ubiegłego roku
kalendarzowego. Uzyskane informacje
przedstawiono w postaci
następującego szeregu rozdzielczego

Oblicz ile razy w roku przeciętnie
korzystały z porad lekarza
badane osoby?

Liczba

porad

Liczba

osób

0
1
2
3
4
6

1
1
2
2
3
1

Razem

10

Oblicz średni czas reakcji na nowy lek:

Obliczenia pomocnicze

i

X



i

i

n

X



Numer

Klasy

Przedział
Klasowy

Liczebność

klasy

n

i

1

2

3

4

5

1
2
3
4
5
6
7

8-12

13-17
18-22
23-27
28-32
33-37
38-42

4

29
38
80
35

9
5

ŁĄCZNIE

200

24

200

4800





x

Jeżeli znamy średnie arytmetyczne dla pewnych
r-

grup i na tej podstawie chcemy wyznaczy średnią

arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie
wykorzystujemy wówczas następujący wzór:

i

r

i

i

n

x

N

x







1

1

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczy średni
czas wykonania detalu przez robotnika A i B. Obliczona w
ten sposób średnia nazywa się średnią ważona,
wyznaczona na podstawie
średnich cząstkowych :

min

6

,

15

15

4

,

15

x

10

16

x

5







x

B

A

x

x ;

Średnią harmoniczną



stosuje się wtedy, gdy wartości cechy są
podane w przeliczeniu na stałą
jednostkę innej zmiennej, czyli w postaci
wskaźników natężenia, np. prędkość
pojazdu w km/h ; pracochłonność w
min/szt. ; gęstość zaludnienia w osobach /
km

2

.

WZORY

SZEREG SZCZEGÓŁOWY

SZEREG ROZDZIELCZY

Średnią geometryczną



stosuje się w
badaniach średniego
tempa zmian zjawisk,
a więc gdy zjawiska
są ujmowane
dynamicznie.

n

n

G

x

x

x

x

*

...

*

*

2

1



Przykład:



Z danych o ludności pewnego miasta wynika, że

w trzech kolejnych okresach liczba ludności

wynosiła odpowiednio : 5000, 7500, 8250.

Obliczmy średni przyrost względny ludności:



Wartości cechy (współczynniki względne) w tym

zadaniu będą następujące:



Zgodnie z wzorem na obliczenie średniej

geometrycznej średni przyrost ludności w trzech

kolejnych latach wynosił:

5

,

1

5000

7500

1





X

1

,

1

7500

8250

2





X

28

,

1

1

,

1

5

,

1







G

X

Modalna Mo (dominanta D,
moda, wartość najczęstsza)



jest to wartość cechy statystycznej, która
w danym rozdziale empirycznym
występuje najczęściej



Dla

szeregów szczegółowych oraz

szeregów rozdzielczych punktowych
modalna odpowiada wartości cechy o
największej liczebności (częstości).



W

szeregach rozdzielczych z przedziałami

klasowymi

bezpośrednio można określić

tylko przedział, w którym modalna
występuje, jej przybliżoną wartość
wyznacza się graficznie z histogramu
liczebności (częstości)

gdzie:



m -

numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,



X

0m

dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,



n

m

-

liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m,



n

m-1

; n

m+1

-

liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m – 1 i

m + 1,



h

m

-

rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna

Określimy za pomocą modalnej przeciętną
liczbę przyjmowanych w ciągu dnia przez
pacjentów leków

Liczba przyjmowanych leków % pacjentów

0
1
2
3
4
5 i więcej

4
19
21
32
17
7

RAZEM

100

Obliczyć modalną dla podanych w poniższej
tabeli danych
Leczeni pacjenci według czasu reakcji na
podany lek

Czas reakcji w minutach Liczba osób

8-12
13-17
18-22
23-27
28-32
33-37
38-42

4
29
38
80
35
9
5

RAZEM

200

Kwantyle



definiuje się jako wartości cechy badanej
zbiorowości, przedstawionej w postaci
szeregu statystycznego, które dzielą
zbiorowość na określone części pod
względem liczby jednostek, części te
pozostają do siebie w określonych
proporcjach.

KWARTYL DRUGI

– MEDIANA Me



dzieli zbiorowość na dwie równe części;
połowa jednostek ma wartości cechy
mniejsze lub równe medianie, a połowa
wartości cechy równe lub większe od Me;
stąd nazwa wartość środkowa

MEDIANA

– SZEREG

SZCZEGÓŁOWY

Przykład:



wiek kobiet przyjętych w październiku 1999 na oddział

ginekologiczny z przyczyn nagłych można przedstawić w

postaci następującego szeregu statystycznego:

18, 57, 34, 32, 29, 31, 19, 19, 27, 26, 26, 22, 23, 26,

26, 34, 26,



Teraz należy ten szereg uporządkować:

18, 19, 19, 22, 23, 26, 26, 26, 26, 26,27, 29, 31, 32,

34, 34, 57.



Szereg ten składa się z

17

wartości zmiennych. Wartością

środkową – medianą- w tym przypadku będzie wartość
znajdująca się na pozycji

9,

czyli

Me =26

Przykład:



Weźmy pod uwagę tym razem wiek kobiet przyjętych w

październiku 1999 roku na oddział położniczy w sposób
zaplanowany.



Po uporządkowaniu szereg opisujący wiek tych kobiet
przedstawia się następująco:

19,21,22,28,28,29



Jak widać tym razem mamy 6 przypadków, czyli ilość

parzystą. Wartościami środkowymi będą wielkości z
pozycji 3 i 4 , czyli 22 i 28

. Medianą zatem będzie

średnia arytmetyczna z tych dwóch liczb, czyli

25

.



Wyznaczyć medianę dla wzrostu
podanego poniżej:

165, 166,167,170,172,173,175,175,181



Podejrzewano, że pewna choroba wiąże się z
podwyższonym poziomem białych krwinek.
W grupie pacjentów leczonych z powodu tej
choroby zbadano liczbę białych krwinek
w 1 mm3 krwi. Otrzymano następujące
wyniki; 7400, 6400, 7800, 7500, 6900, 7300,
8000, 15900, 6700, 16300. Należy wyznaczyć
medianę dla tego szeregu

MEDIANA

– SZEREG

ROZDZIELCZY

GDZIE



m -

numer przedziału (klasy), w którym

występuje mediana,



X

0m

dolna granica przedziału, w którym

występuje mediana



n

m

-

liczebność przedziału mediany, tzn.

klasy o numerze m,

suma liczebności przedziałów

poprzedzających przedział mediany, czyli
liczebność skumulowana,

h

m

-

rozpiętość przedziału klasowego, w którym

jest mediana,
N

Me

- pozycja mediany, czyli

Zastosowanie mediany



W mikrobiologii do ustalenia przeciętnej liczby
drobnoustrojów.



W hematologii

– do ustalania przeciętnej

wartości erytrocytów lub leukocytów we krwi.



Przy ustalaniu przeciętnej przeżywalności
pooperacyjnej oraz dożywalności po leczeniu
wielu nieuleczalnych dotychczas chorób (np. po
operacjach nowotworów złośliwych).

Wyznaczyć medianę czasu reakcji na lek,
korzystając z danych zawartych w tabeli

Numer
klasy

Przedział
klasowy

Liczebność
klasy

Liczebność
skumulowana

1
2
3
4
5
6
7

8-12
13-17
18-22
23-27
28-32
33-37
38-42

4
29
38
80
35
9
5

4
33
71
151
186
195
200

RAZEM

200

KWARTYL PIERWSZY Q

1



dzieli zbiorowość na dwie części w ten
sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma
wartości cechy niższe bądź równe
kwartylowi pierwszemu Q

1, a 75% równe

bądź wyższe od tego kwartyla

KWARTYL TRZECI Q

3



dzieli zbiorowość na dwie części w ten
sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma
wartości cechy niższe bądź równe
kwartylowi trzeciemu Q

3, a 25% równe

bądź wyższe od tego kwartyla

DECYLE



Np. decyl pierwszy oznacza, że 10%
jednostek ma wartości cechy mniejsze
bądź równe od decyla pierwszego, a 90%
jednostek wartości cechy równe lub
większe od decyla pierwszego

Miary zmienności
(rozproszenia,
dyspersji)

MIARY KLASYCZNE

MIARY POZYCYJNE

MIARY KLASYCZNE



wariancja



odchylenie standardowe



odchylenie przeciętne



współczynnik zmienności

MIARY POZYCYJNE



rozstęp



odchylenie ćwiartkowe



współczynnik zmienności

Rozstęp

różnica pomiędzy wartością maksymalną, a minimalną
cechy -

jest miarą charakteryzującą empiryczny obszar

zmienności badanej cechy, nie daje on jednak informacji o
zróżnicowaniu poszczególnych wartości cechy w
zbiorowości .

Wariancja

jest to średnia arytmetyczna odchyleń kwadratów poszczególnych

wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości



Szereg szczegółowy



Szereg rozdzielczy punktowy



Szereg rozdzielczy z przedziałami
klasowymi

Odchylenie standardowe s



jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji.
Stanowi miarę zróżnicowania o mianie
zgodnym z mianem badanej cechy,
określa przeciętne zróżnicowanie
poszczególnych wartości cechy od
średniej arytmetycznej.

Wzór

2

s

s





Odchylenie standardowe jest obok
średniej arytmetycznej najczęściej
stosowanym parametrem statystycznym



Jest wielkością obliczoną na podstawie
wszystkich obserwacji danego szeregu



Im zbiorowość jest bardziej zróżnicowana,
tym większa jest wariancja i oczywiście
odchylenie standardowe

Z odchyleniem standardowym wiąże się tzw. Reguła trzech

sigm, oparta na nierówności Czybyszewa, która mówi, ze

wystąpienie obserwacji o wartości cechy poza przedziałem

)

3

;

3

(

s

x

s

x





Odchylenie standardowe spełnia regułę trzech sigm w
przypadku rozkładu normalnego lub zbliżonego do
normalnego ponad 2/3 wszystkich zaobserwowanych wartości
zmiennej (68,28%) różni się od średniej nie mniej niż o
wartość odchylenia standardowego (+-s), 95,45% obserwacji
różni się od średniej o dwa odchylenia standardowe, natomiast
99,73% obserwacji mieści się w przedziale średnia +-3
odchylenia standardowe

Jest mało prawdopodobne

Odchylenie standardowe

Typowy obszar zmienności cechy

Reguła trzech sigm

2

s

s



s

x

x

s

x

typ









)

3

;

3

(

s

x

s

x





Współczynnik zmienności



jest ilorazem bezwzględnej miary
zmienności cechy i średniej wartości tej
cechy, jest wielkością niemianowaną,
najczęściej podawaną w procentach.

Współczynnik zmienności stosuje

się zwykle w porównaniach, gdy

chcemy ocenić zróżnicowanie:



Kilku zbiorowości pod względem tej samej
cechy,



Tej samej zbiorowości pod względem kilku
różnych cech.

Klasyczny współczynniki
zmienności

x

s

V



Województwa Polski scharakteryzowano przez dwie

cechy: powierzchnię X i liczbę ludności Y.

Należy obliczy dla powyższych cech współczynniki

zmienności



Wyznaczone dla
cechy X parametry
przedstawiają się
następująco:



Wyznaczone dla
cechy Y parametry
przedstawiają się
następująco:

24

,

2

;

28

,

6





s

x

590

;

784





s

y

Obliczone współczynniki zmienności wskazują, że zarówno
pod względem powierzchni jak i liczby ludności
województwa są silnie zróżnicowane, przy czym różnią się
one znacznie bardziej pod względem liczby mieszkańców

%

7

,

35

100

28

,

6

24

,

2







X

V

Powierzchnia

%

3

,

75

100

784

590







Y

V

Liczba ludności

Współczynnik zmienności charakteryzuje
stosunek nasilenia przyczyn ubocznych
do przyczyn głównych



Wartości liczbowe współczynników zmienności
najczęściej są podawane w procentach.
Przyjmuje się, że jeżeli współczynnik zmienności
jest poniżej 10%, to cechy wykazują
zróżnicowanie nieistotne statystycznie. Duże
wartości tego współczynnika świadczą o
zróżnicowania a więc niejednorodności
zbiorowości.

MIARY ASYMETRII

wskaźnik skośności
współczynnik skośności

W wielu sytuacjach badanie średniego
poziomu cechy i rozproszenia jej wartości
nie wykazuje istnienia różnic między
analizowanymi zbiorowościami. Obserwacja
rozkładów empirycznych tych cech wyklucza
natomiast podobieństwo struktury
rozważanych zbiorowości.

W tabeli przedstawiono strukturę
czasu reakcji na lek w trzech
grupach

CZAS REAKCJI

Odsetek pacjentów

GRUPA I

GRUPA II

GRUPA III

10-20

10

5

10

20-30

20

35

25

30-40

40

25

25

40-50

20

25

35

50-60

10

10

5

RAZEM

100

100

100

średnia

35

35

35

odchylenie stand

120

120

120

mediana

35

34

36

modalna

35

27,5

42,5

GRUPA I

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Grupa I

10 20 30 40 50 60

GRUPA II

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Grupa II

10 20 30 40 50 60

GRUPA III

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Grupa III

10 20 30 40 50 60



Rozkłady różnią się między sobą kierunkiem i
siłą asymetrii (miary klasyczne):



dla szeregów symetrycznych



jeżeli

asymetria prawostronna



jeżeli

asymetria lewostronna.

Im większe są różnice pomiędzy średnią
arytmetyczną a modalną, tym bardziej
asymetryczny jest rozkład badanej cechy.

Skośność dodatnia (prawostronna)

ma miejsce wówczas, gdy dłuższe ramię
krzywej charakteryzującej rozkład
liczebności szeregu znajduje się po
prawej stronie średniej.

Jeżeli dłuższe ramię krzywej

znajduje się po lewej stronie średniej,
wówczas można mówić o skośności
ujemnej (lewostronnej).

Charakter asymetrii można również

określać na podstawie punktów
wyznaczonych przez dominantę, medianę i
średnią arytmetyczną.

W szeregu symetrycznym wszystkie miary

pozycyjne są sobie równe.

W szeregu asymetrycznym miary te

kształtują się na różnym poziomie: im
większa skośność, tym większe są różnice
pomiędzy dominantą, medianą i średnią
arytmetyczną.

Jednym z mierników skośności jest

wskaźnik skośności (inaczej: bezwzględna
miara skośności):

Wskaźnik ten jest bezwzględną

miarą asymetrii posiadającą miano
badanej cechy. Z tego względu ma
on ograniczone zastosowanie w
analizie porównawczej. Poza tym,
wskaźnik skośności określa jedynie kierunek
asymetrii (prawo-, czy lewostronna) nie
wskazując jej siły.

Mo

x

Ws







W szeregach asymetrycznych wskaźnik
asymetrii może być większy lub mniejszy
od zera. Wówczas mówimy o asymetrii
prawostronnej lub lewostronnej. I tak:



asymetria prawostronna



- asymetria lewostronna

Mo

Me

x

czyli

Mo

x









0

Mo

Me

x

czyli

Mo

x









0

Współczynniki skośności (asymetrii)

są stosowane w porównaniach, do określenia siły oraz

kierunku asymetrii,



Wielkość różnicy pomiędzy średnią arytmetyczną a
wartością modalną jest jednak zależna od wielkości
jednostek statystycznych . Dla otrzymania miary
asymetrii, uniezależnionej od wielkości obserwacji, a
zależnej tylko od struktury zbiorowości statystycznej,
różnicę pomiędzy średnią i modalną dzielimy przez
odchylenie standardowe i w ten sposób otrzymujemy
współczynnik asymetrii,

Miarą określającą zarówno kierunek

jak i siłę asymetrii jest współczynnik
skośności:

Współczynnik ten przyjmuje

zazwyczaj wartości z przedziału:
<-1;1>. Jedynie przy bardzo silnej
asymetrii wartość współczynnika może
wykroczyć poza w/w przedział.

s

D

x

As





Jeżeli dany rozkład jest symetryczny,

wówczas

W przypadku asymetrii prawostronnej:

Dla rozkładu o asymetrii lewostronnej:

0



As

0



As

0



As

Współczynniki asymetrii

Rozkłady symetryczne (mają oś symetrii a po obu
jej stronach rozkład ilości jest taki sam); rozkłady
symetryczne można podzielić na normalne,
spłaszczone i wysmukłe

n

i

x

i

n

i

x

i

n

i

x

i

r. normalny

r. wysmukły

r. spłaszczony

Współczynnik koncentracji



to wielkość statystyczna
zwana inaczej

kurtozą

lub

współczynnikiem

skupienia. Jest to miara
skupienia, którą możemy
wyliczyć ze wzoru:

4

4

s

m

K



gdzie:



a) dla szeregu
punktowego



b) dla szeregu
rozdzielczego

4

1

4

)

(

1

x

x

n

m

n

i

i









i

k

i

i

n

x

x

n

m











4

1

4

)

(

1

Analiza zależności

korelacyjnej
pomiędzy cechami

Współczynnik korelacji



Przy analizie zjawisk procesów stanowiących
przedmiot badania zazwyczaj charakteryzujemy

jednostki badane za pomocą więcej niż jednej
cechy.



Bardzo często interesują nas powiązania jakie

zachodzą pomiędzy analizowanymi cechami i w

związku z tym zachodzi potrzeba ich łącznego
badania



Celem takiej analizy jest stwierdzenie, czy

między badanymi zmiennymi zachodzą jakieś

zależności , jaka jest ich siła , jaka jest ich

postać i kierunek

Typy zależności



Zależność funkcyjna



Zależność statystyczna

Związek funkcyjny



Odznacza się tym, że każdej wartości jednej zmiennej

niezależnej (będziemy ją oznaczać jako X) odpowiada

tylko jedna, jednoznacznie określona wartość zmiennej

zależnej (Y).



Takie jednoznaczne związki funkcyjne obserwujemy w

zaplanowanym eksperymentach czy urządzeniach

technicznych. Np. wiemy, że objętość strzykawki jest

jednoznacznie wyznaczona przez jej wymiary, że droga

poruszającego się ciała zależy od prędkości według

zależności funkcyjnej S=vt.



W badaniach biomedycznych takiej jednoznacznej

zależności funkcyjnej nie obserwujemy.

Związek statystyczny



polega na tym, że określonym wartościom jednej
zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie
wartości drugiej zmiennej. Można zatem
obliczyć, jak się zmieni (średnio biorąc) wartość
zmiennej zależnej Y w zależności od wartości
zmiennej niezależnej X. Np. jak zmieni się
średnio hematokryt –HTC w zależności od
zmian hemoglobiny

– HGB w krwince czerwonej.



Zanim przystąpimy do zbadania zależności
należy uzasadnić logicznie istnienie związku
pomiędzy badanymi cechami



Liczbowe stwierdzenie występowania zależności
nie zawsze oznacza występowanie związku
przyczynowo-

skutkowego między badanymi

zmiennymi.

Współwystępowanie dwóch zjawisk może również

wynikać z bezpośredniego oddziaływania na nie
jeszcze innego, trzeciego zjawiska.

ANALIZA KORELACJI

jest matematycznym narzędziem

pozwalającym na stwierdzenie

powiązania, określenia jego siły i kierunku

między dwiema zmiennymi X i Y.

Korelacja między
zmiennymi X i Y

jest miarą

siły liniowego związku
między tymi zmiennymi.

Wykresy rozrzutu



Analizę związku korelacyjnego między
badanymi cechami rozpoczynamy zawsze
od sporządzenia wykresu. Wykresy, które
reprezentują obrazowo związek pomiędzy
zmiennymi, nazywane są wykresami
rozrzutu

Korelacyjne wykresy rozrzutu; 1 - korelacja liniowa dodatnia, 2 - korelacja

liniowa ujemna, 3 - brak korelacji, 4 - korelacja krzywoliniowa

Miara zależności



Powinna przyjmować największe wartości
dla cech całkowicie zależnych
(układających się na wykresie w linię
prostą),



Powinna odróżniać od siebie cechy o tym
samym kierunku wzrostu od cech o
kierunku przeciwnym



Powinna być łatwa w interpretacji

Współczynnik korelacji to miara
zależności liniowej o następujących
własnościach:



Przyjmuje wartości od -1 do + 1



Jeżeli wartość współczynnika korelacji wynosi 1, to

cechy są ściśle zależne a ich wartości równocześnie

rosną lub maleją



Jeżeli wartość współczynnika korelacji wynosi – 1, to

cechy są ściśle zależne, a wzrostowi wartości jednej

cechy odpowiada spadek wartości drugiej cechy



Jeżeli wartość współczynnika korelacji wynosi 0 , to

cechy są niezależne liniowo- to znaczy, że żadna

funkcja liniowa nie opisuje jakiegokolwiek związku
obu cech



Wzrostowi współczynnika korelacji od 0 do 1

odpowiada wzrost zależności między cechami o
zgodnej tendencji, natomiast spadkowi od 0 do – 1,

odpowiada wzrost zależności między cechami o
przeciwnej tendencji.



Im większa wartość współczynnika, tym większa jest

zależność liniowa między zmiennymi. r

xy

= 0 oznacza

brak korelacji, r

xy

= 1 oznacza maksymalną korelację,

natomiast r

xy

= - 1 oznacza korelację ujemną, tzn.

jeżeli zmienna x rośnie, to y maleje i na odwrót.



Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie
[ - 1,1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny
badanych zmiennych.

Interpretacja wartości współczynnika
korelacji



-1< ρ < - 0,7 – bardzo silna korelacja ujemna



-0,7< ρ < - 0,5 – silna korelacja ujemna



-0,5< ρ < - 0,3- korelacja ujemna o średnim natężeniu



-0,3< ρ < - 0,2 – słaba korelacja ujemna



-0,2< ρ < 0,2- korelacja nieistotna, nie ma związku

liniowego między cechami



0,2 < ρ < 0,3 – słaba korelacja dodatnia



0,3 < ρ < 0,5 – korelacja dodatnia o średnim

natężeniu



0,5 < ρ < 0,7 – silna korelacja dodatnia



0,7 < ρ < 1 – bardzo silna korelacja dodatnia

Współczynnik korelacji Pearsona



wyliczamy wówczas, gdy obie zmienne są

mierzalne i mają rozkład zbliżony do

normalnego, a zależność jest

prostoliniowa (stąd nazwa). Przy

interpretacji współczynnika korelacji

liniowej Pearsona należy więc pamiętać,

że wartość współczynnika bliska zeru nie

zawsze oznacza brak zależności, a

jedynie brak zależności liniowej.



Znak współczynnika korelacji informuje nas o
kierunku korelacji, natomiast jego

bezwzględna wartość - o sile związku.

Oczywiście r

XY

jest równe r

YX .

Jeśli r

XY

= 0,

oznacza to zupełny brak związku

korelacyjnego między badanymi zmiennymi X
i Y . Im wartość bezwzględna współczynnika

korelacji jest bliższa jedności, tym zależność

korelacyjna między zmiennymi jest silniejsza.
Gdy r

XY

= |1|, to zależność korelacyjna

przechodzi w zależność funkcyjną (funkcja
liniowa).



Znak „+” przy wartości współczynnika oznacza, że
wraz ze wzrostem wartości jednej zmiennej
obserwujemy wzrost wartości drugiej zmiennej. Znak
„-” przy wartości współczynnika oznacza, że wraz ze
wzrostem jednej zmiennej obserwujemy spadek
wartości drugiej zmiennej.



Wartość współczynnika korelacji nie zależy od
jednostek miary, w jakich wyrażamy badane
zmienne, np. korelacja miedzy wzrostem a ciężarem
będzie taka sama bez względu na to w jakich
jednostkach wyrazimy badane wielkości.

Wielkość współczynnika korelacji zależy
od zakresu zmienności badanych cech

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

2

4

6

8



Uwzględniając w
badaniach tylko punkty
zaznaczone w
prostokącie moglibyśmy
wnioskować o braku
związku pomiędzy
cechami. Zwiększenie
liczby obserwacji sprawia,
ze współczynnik korelacji
może być znaczący.

Współczynnik korelacji, podobnie jak średnia
arytmetyczna podlega wpływom wartości skrajnych-

odrzucenie zaznaczonych na wykresie obserwacji zwiększy
wartość wyznaczanego współczynnika korelacji

0

5

10

15

20

25

30

35

0

2

4

6

8

10