Parametry statystyczne   Parametry statystyczne - są to wielkości liczbowe, które służą do opisu struktury zbiorowości statystycznej w sposób systematyczny        Miary położenia   Miary pozycyjne modalna kwantyle: kwartyl pierwszy mediana (kwartyl drugi) kwartyl trzeci decyle   Miary przeciętne charakteryzują średni lub typowy poziom wartości cechy, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości analizowanej cechy średnia arytmetyczna średnia harmoniczna średnia geometryczna modalna   Średnia arytmetyczna   Średnią arytmetyczną - definiuje się jako sumę wartości cechy mierzalnej podzieloną przez liczbę jednostek skończonej zbiorowości statystycznej.    szereg szczegółowy (eq.1)  gdzie: n - liczebność zbiorowości próbnej (próby), xi - wariant cechy. Jest to tzn. średnia nieważna (prosta) - stosowana dla szeregów szczegółowych.  Średnia arytmetyczna ważona szereg rozdzielczy punktowy (eq.2) szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi (eq.3)  gdzie: oznacza środek przedziału klasowego Średnia arytmetyczna (średnia ważona) dla r-grup łącznie oraz średnich arytmetycznych cząstkowych i liczebności i-tej grupie ni: (eq.4) gdzie jest sumą liczebności we wszystkich r-grupach. Podstawiając w miejsce ni wskaźnik struktury wi otrzymamy zależności: lub Wybrane właściwości średniej arytmetycznej  suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej i liczebności zbiorowości: lub dla szeregu rozdzielczego , średnia arytmetyczna spełnia warunek: , suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero: lub , Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest minimalna: lub , średnią arytmetyczną można liczyć w zasadzie dla szeregów o zamkniętych przedziałach klasowych; jeżeli liczebność w otwartym przedziale klasowym stanowi niewielki odsetek, (praktycznie do 5%) możliwe jest domknięcie przedziałów klasowych oraz obliczenie średniej w innym przypadku do określenia zjawiska stosuje się parametry pozycyjne, średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy, średnia arytmetyczna z próby jest dobrym przybliżeniem wartości przeciętnej.   Średnia harmoniczna   Średnią harmoniczną - stosuje się wtedy, gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę  innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, wagi natomiast w jednostkach liczników tych cech, np. prędkość pojazdu w km/h.   szereg szczegółowy szereg rozdzielczy Przyjmując, że waga oraz :   Średnia geometryczna   Średnią geometryczną - stosuje się w badaniach średniego tempa zmian zjawisk, a więc gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie.      Modalna   Modalna Mo (dominanta D, moda, wartość najczęstsza - jest to wartość cechy statystycznej, która w danym rozdziale empirycznym występuje najczęściej   Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych punktowych modalna odpowiada wartości cechy o największej liczebności (częstości). W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się graficznie z histogramu liczebności (częstości) lub ze wzoru interpolacyjnego: gdzie: m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna, - dolna granica przedziału, w którym występuje modalna, nm - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m, nm-1; nm+1 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m - 1 i m + 1, hm - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna.    Kwantyle   Kwantyle - definiuje się jako wartości cechy badanej zbiorowości, przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek, części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.   Kwartyl pierwszy Q1 dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q1, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla Kwartyl drugi (mediana Me) dzieli zbiorowość na dwie równe części; połowa jednostek ma wartości cechy mniejsze lub równe medianie, a połowa wartości cechy równe lub większe od Me; stąd nazwa wartość środkowa Kwartyl trzeci Q3 dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q3, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla Decyle np. decyl pierwszy oznacza, że 10% jednostek ma wartości cechy mniejsze bądź równe od decyla pierwszego, a 90% jednostek wartości cechy równe lub większe od decyla pirwszego Kwartyl drugi (mediana Me) Dla szeregu szczegółowego  Dla szeregu rozdzielczego (graficznie lub analitycznie) gdzie: m - numer przedziału (klasy), w które występuje mediana, - dolna granica przedziału, w którym występuje mediana nm - liczebność przedziału mediany, tzn. klasy o numerze m,  - suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany, czyli liczebność skumulowana, hm - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest mediana, NMe - pozycja mediany, czyli   Kwartyl pierwszy Q1 i trzeci Q3 Dla szeregu szczegółowego kwartyl pierwszy i trzeci wyznacza się w ten sposób, że w dwóch częściach zbiorowości, które powstały po wyznaczeniu mediany, ponownie  wyznacza się medianę; mediana w pierwszej części odpowiada kwartylowi pierwszemu, a w drugiej kwartylowi trzeciemu. Dla szeregu rozdzielczego wyznaczenie kwartyli poprzedza się ustaleniem ich pozycji: Kwartyl pierwszy Q1 Kwartyl trzeci Q3 gdzie: m - numer przedziału (klasy), w którym występuje odpowiadający mu kwartyl, - dolna granica tego przedziału, nm - liczebność przedziału, w którym występuje odpowiedni kwartyl, - liczebność skumulowana do przedziału poprzedzającego kwartyl, hm - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest odpowiedni kwartyl.          Miary zmienności (rozproszenia, dyspersji)   Miary klasyczne Miary pozycyjne wariancja odchylenie standardowe odchylenie przeciętne współczynnik zmienności rozstęp odchylenie ćwiartkowe współczynnik zmienności    Rozstęp   Rozstęp - różnica pomiędzy wartością maksymalną, a minimalną cechy - jest miarą charakteryzującą empiryczny obszar zmienności badanej cechy, nie daje on jednak informacji o zróżnicowaniu poszczególnych wartości cechy w zbiorowości.   Wariancja   Wariancja - jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości.   szereg szczegółowy szereg rozdzielczy punktowy szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi Wykonując proste przekształcenia algebraiczne, otrzymamy:   szereg szczegółowy szereg rozdzielczy    Odchylenie standardowe, odchylenie przeciętne   Odchylenie standardowe s - jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji. Stanowi miarę zróżnicowania o mianie zgodnym z mianem badanej cechy, określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej.   Typowy obszar zmienności cechy - około 2/3 wszystkich jednostek badanej zbiorowości statystycznej posiada wartości cechy w tym przedziale:   Odchylenie przeciętne   Odchylenie przeciętne d - jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej. Określa o ile jednostki danej zbiorowości różnią się średnio, ze względu na wartość cechy, od średniej arytmetycznej.   szereg szczegółowy szereg rozdzielczy   Pomiędzy odchyleniem przeciętnym i standardowym, dla tego samego szeregu, zachodzi relacja: d < s.   Odchylenie ćwiartkowe   Odchylenie ćwiartkowe Q - jest to parametr określający odchylenie wartości cechy od mediany. Mierzy poziom zróżnicowania tylko części jednostek; po odrzuceniu 25% jednostek o wartościach najmniejszych i 25% jednostek o wartościach największych.     Typowy obszar zmienności cechy:   Współczynnik zmienności   Współczynnik zmienności - jest ilorazem bezwzględnej mary zmienności cechy i średniej wartości tej cechy, jest wielkością niemianowaną, najczęściej podawaną w procentach.   Klasyczne współczynniki zmienności: oraz   Pozycyjne współczynniki zmienności: oraz   Współczynnik zmienności stosuje się w porównaniach zróżnicowania: kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy, tej samej zbiorowości pod względem kilku różnych cech.       Miary asymetrii   wskaźnik skośności współczynnik skośności   Rozkłady różnią się między sobą kierunkiem i siła asymetrii (miary klasyczne): dla szeregów symetrycznych jeżeli asymetria prawostronna jeżeli asymetria lewostronna. Wskaźnik skośności - jest to wielkość bezwzględna wyrażona jako różnica między średnią arytmetyczną a modalną   Wskaźnik skośności można wyznaczyć również przy pomocy miar pozycyjnych: w rozkładzie symetrycznym: przy asymetrii prawostronnej: przy asymetrii lewostronnej: Współczynniki skośności (asymetrii) - są stosowane w porównaniach, do określenia siły oraz kierunku asymetrii, są to liczby niemianowane, im większa ich wartość tym silniejsza asymetria.   klasyczne oraz pozycyjny   Pozycyjny współczynnik asymetrii określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się miedzy pierwszym z trzecim kwartylem.       Miary koncentracji   współczynnik skupienia (koncentracji) (kurtoza) współczynnik koncentracji Lorenza   Współczynnik skupienia (koncentracji) (kurtoza) K - jest miarą skupienia poszczególnych obserwacji wokół średniej. Im wyższa wartość współczynnika tym bardziej wysmukła krzywa liczebności, większa koncentracja wartości cech wokół średniej.   gdzie: szereg szczegółowy szereg rozdzielczy   Jeżeli przyjmiemy, że zbiorowość ma rozkład normalny, to K = 3, są bardziej spłaszczony rozkład od normalnego ma K < 3, a brdziej wysmukły K > 3. Stąd:

 

---