Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1
Rozważmy następującą, uproszczoną wersję gry w ,,wojnę’’. Talia składa się z 52 kart.
Dobrze potasowane karty rozdajemy dwóm graczom, każdemu po 26 i układamy w dwie
kupki. Gracze wykładają kolejno po jednej karcie z wierzchu swojej kupki i sprawdzają
wysokość obu kart. Jeśli obie wyłożone karty są równej wysokości (dwa asy lub dwa króle
itd.) to mówimy, że następuje wojna. Po sprawdzeniu, obie karty odkładamy na bok i nie
biorą już one udziału w dalszej grze. Powtarzamy tę procedurę 26 razy; gra kończy się, gdy
obaj gracze wyłożą wszystkie karty.

Oblicz wartość oczekiwaną liczby wojen.

(A)

17

26

(B)

17

52

(C) 4

(D)

10

11

12

13

4

49

50

51

52

4

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

(E)

40

1

41

2

...

50

11

51

12

52

13

+

+

+

+

+

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2
Niech

3

2

1

,

,

W

W

W

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

wykładniczym o gęstości







<

≥

=

−

.

0

0

;

0

)

(

w

dla

w

dla

e

w

f

w

λ

λ

Oblicz medianę zmiennej losowej

3

2

1

W

W

W

+

.

(A)

1

+

=

λ

λ

med

(B)

2

2

=

med

(C)

1

2

−

=

med

(D)

3

2

=

med

(E)

2

1

=

med

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3
Załóżmy, że

K oznacza liczbę sukcesów w

n

próbach Bernoulliego z nieznanym

prawdopodobieństwem sukcesu

θ , czyli

k

n

k

k

n

k

K

−

−













=

=

)

1

(

)

Pr(

θ

θ

.

Rozważmy estymator parametru

θ postaci

n

b

K

a

+

+

=

θ

ˆ

.

Niech

16

=

n

.

Przypuśćmy, że

dodatnie liczby

a

i

b

dobrane zostały tak, że funkcja ryzyka

estymatora,

]

)

ˆ

[(

)

(

2

θ

θ

θ

θ

−

= E

R

jest funkcją stałą, czyli

R

R

=

)

(

θ

dla każdej wartości parametru

θ

.

Jeśli stwierdzisz, że

a

i

b

można tak dobrać, podaj liczbę R .

(A)

64

1

=

R

(B)

16

1

=

R

(C)

100

1

=

R

(D) nie istnieją takie liczby

a

i

b

dla których ryzyko jest stałe

(E)

4

1

=

R

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4
Wiemy, że zmienne losowe

n

m

X

X

X

X

,...,

,...,

,

2

1

są niezależne i mają jednakowy rozkład

prawdopodobieństwa. Zakładamy, że

n

m

<

<

1

i znamy

2

)

(

σ

=

i

X

Var

. Niech

m

m

X

X

X

S

+

+

+

=

...

2

1

i.

n

m

n

X

X

X

X

S

+

+

+

+

+

=

...

...

2

1

.

Oblicz )

|

(

n

m

S

S

Var

E

.

(A)

2

)

|

(

σ

n

m

S

S

Var

E

n

m

=

(B)

2

1

)

|

(

σ

+

=

n

m

S

S

Var

E

n

m

(C) podane informacje nie wystarczają do obliczenia

)

|

(

n

m

S

S

Var

E

(D)

2

1

)

|

(

σ

n

n

m

S

S

Var

E

n

m

−

=

(E)

2

)

|

(

σ

n

m

n

m

S

S

Var

E

n

m

−

=

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5
Załóżmy, że

Y

X , są zmiennymi losowymi o łącznym rozkładzie normalnym,

0

)

(

)

(

=

=

Y

E

X

E

, 1

)

(

)

(

=

=

Y

Var

X

Var

i

ρ

=

)

,

(

Y

X

Cov

.

Oblicz

)

(XY

Var

.

(A)

2

1

)

(

ρ

+

=

XY

Var

(B)

2

2

1

)

(

ρ

+

=

XY

Var

(C)

2

1

)

(

ρ

−

=

XY

Var

(D)

1

)

(

=

XY

Var

(E)

2

2

)

1

(

)

(

ρ

+

=

XY

Var

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6
Załóżmy, że

4

1

,..., X

X

jest próbką z rozkładu normalnego

)

1

,

(

µ

N

, zaś

9

1

,...,Y

Y

jest próbką z

rozkładu normalnego

)

2

,

(

2

µ

N

. Niech

∑

=

=

4

1

4

1

i

i

X

X

będzie średnią z pierwszej próbki;

∑

=

=

9

1

9

1

i

i

Y

Y

będzie średnią z drugiej próbki.

(Wariancja jest dla obu próbek znana, zaś

µ

jest nieznane).

Znajdź takie liczby

r i

d

, żeby przedział

]

)

1

(

,

)

1

(

[

d

Y

r

X

r

d

Y

r

X

r

+

−

+

−

−

+

był przedziałem ufności dla

µ

na poziomie ufności

95

.

0

1

=

−

α

i przy tym długość tego

przedziału (

d

2

) była najmniejsza.

(A)

=

r 0.47,

=

d

0.980

(B)

=

r

0.69,

=

d

1.022

(C)

=

r

0.50,

=

d

0.888

(D)

=

r 0.53,

=

d

1.960

(E)

64

.

0

=

r

,

784

.

0

=

d

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7
Niech

n

X

X

X

,...,

,

2

1

będzie próbką z rozkładu prawdopodobieństwa Pareto o dystrybuancie













<

≥

−

=

.

1

0

;

1

1

1

)

(

x

dla

x

dla

x

x

F

θ

θ

Przyjmując bayesowski punkt widzenia, przyjmujemy, że nieznany parametr

θ jest zmienną

losową o rozkładzie a priori wykładniczym, z gęstością







<

≥

=

−

.

0

0

;

0

)

(

θ

θ

λ

θ

π

θ

λ

dla

dla

e

Oblicz bayesowski estymator parametru

θ , czyli wartość oczekiwaną a posteriori:

)

,...,

|

(

ˆ

1

n

X

X

E

θ

θ

=

.

(A)

∑

+

+

=

λ

θ

i

X

n

ln

1

ˆ

(B)

n

X

i

∑

+

=

λ

θ

ln

ˆ

(C)

∑

+

+

=

λ

θ

i

X

n

1

ˆ

(D)

∑

+

+

=

i

X

n

ln

1

ˆ

λ

θ

(E)

∑

+

+

=

λ

λ

θ

i

X

n

ˆ

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8
Niech )

(

2

1

.

0

n

χ

oznacza kwantyl rzędu 0.1 rozkładu chi-kwadrat z

n

stopniami swobody

(liczbę, od której zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat jest mniejsza z prawdopodo-
bieństwem 0.1).

Oblicz

n

n

n

g

n

−

=

∞

→

)

(

lim

2

1

.

0

χ

.

(z dokładnością do 0.01).


(A)

81

.

1

=

g

(B)

28

.

1

−

=

g

(C)

81

.

1

−

=

g

(D)

56

.

2

−

=

g

(E) granica nie istnieje

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9
Niech

10

1

,..., X

X

będzie próbką z rozkładu prawdopodobieństwa o gęstości







<

<

=

−

.

0

;

1

0

)

(

1

przypadku

przeciwnym

w

x

dla

x

x

f

θ

θ

θ

Rozważmy test jednostajnie najmocniejszy hipotezy

1

:

0

=

θ

H

przeciwko alternatywie

1

:

1

>

θ

H

na poziomie istotności

01

.

0

=

α

. Dla jakich wartości parametru

θ ten test ma moc

nie mniejszą, niż

99

.

0

?

(Podaj wynik z dokładnością do 0.01).

(A) moc

99

.

0

≥

wtedy i tylko wtedy, gdy

55

.

4

≥

θ

(B)

moc

99

.

0

≥

wtedy i tylko wtedy, gdy

07

.

9

≥

θ

(C)

nie istnieje takie

1

>

θ

, dla którego test ma moc

99

.

0

≥

(D)

moc

99

.

0

≥

wtedy i tylko wtedy, gdy

61

.

4

≥

θ

(E) moc

99

.

0

≥

wtedy i tylko wtedy, gdy

09

.

8

≥

θ

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10
Rozważmy następujący schemat urnowy:

W każdej z 10 urn znajdują się 2 kule, oznaczone liczbami:

• W urnie 1 znajdują się 2 kule oznaczone liczbą 1,

• w urnie 2 znajdują się 2 kule oznaczone liczbą 2,

• ..................................................................

• w urnie 10 znajdują się 2 kule oznaczone liczbą 10.

Losujemy kulę z urny 1 i przekładamy ją do urny 2. Następnie (po wymieszaniu kul)
losujemy kulę z urny 2 i przekładamy do urny 3, itd., kulę wylosowaną z urny 9 przekładamy
do urny 10, wreszcie losujemy kulę z urny 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta ostatnia
wylosowana kula ma numer większy, niż 6 ?

(A)

10

7

(B)

81

80

(C)

11

7

(D)

243

241

(E)

81

77

Prawdopodobieństwo i statystyka

12.10.2002 r

.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko .................... K L U C Z O D P O W I E D Z I .........................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 A

2 C

3 C

4 E

5 A

6 E

7 A

8 C

9 A

10 B

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.