2009-03-23

1

Model ryzyka łącznego i jego

charakterystyki

Matematyczne podstawy teorii ryzyka

i ich zastosowanie

Semestr letni 2008/2009

R. Łochowski

Model ryzyka łącznego

– rozkłady łącznej wartości szkód

• Łączna wartość szkód wyraża się wzorem

• Wartości poszczególnych szkód dla

wszystkich ryzyk w portfelu są nawzajem
niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie

• N jest zmienną losową o rozkładzie dyskretnym

(np. o rozkładzie Poissona, dwumianowym lub
ujemnym dwumianowym), niezależną od
wartości szkód

1

2

N

X

Y

Y

Y

=

+

+

+

1

2

3

,

,

,...

Y Y Y

1

2

3

,

,

,...

Y Y Y

Model ryzyka łącznego

– podstawowe charakterystyki

• Wartość oczekiwana łącznej wartości szkód

• Ze wzoru na dekompozycję wariancji

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( ) ( )

1

2

1

2

1

1

1

1

|

|

|

|

N

N

N

X

Y

Y

Y

Y

Y

Y

N

Y

N

Y

N

Y

N

N

Y

N

Y

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

⋅

=

E

E

E E

E E

E

E

E

E

E

E

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

|

|

X

X N

X N

=

+

2

2

2

D

E D

D E

2009-03-23

2

Model ryzyka łącznego

– podstawowe charakterystyki, c. d.

• Oznaczmy Ponieważ

więc otrzymujemy

• Ile wynosi

(

)

|

Y

X N

N

µ

=

⋅

E

( )

1

.

Y

Y

µ

=

E

(

)

(

)

(

)

( )

2

|

Y

Y

X N

N

N

µ

µ

=

⋅

=

2

2

2

D E

D

D

(

)

(

)

|

?

X N

2

E D

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2

2

2

1

1

|

|

Y

n

n

i

Y

i

Y

i

i

X

N

n

X

N

N

n

Y

n

Y

n

Y

µ

µ

µ

=

=

=

=

−

=

=

−

=

−

=

⋅

∑

∑

2

2

D

E

E

E

D

Model ryzyka łącznego

– podstawowe charakterystyki, c. d.

• Zatem

• Ostatecznie

• Zadanie: porównać wariancję łącznej wartości

szkód, gdy N ma rozkład Poissona, ujemny
dwumianowy i dwumianowy z wariancją, gdy
N jest deterministyczne, równe wartościom
oczekiwanym powyższych rozkładów.

(

)

( )

|

X

N

N

Y

=

⋅

2

2

D

D

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( ) (

)

2

|

|

X

X

N

X

N

N

Y

N

Y

=

+

=

⋅

+

⋅

2

2

2

2

2

D

E D

D

E

E

D

D

E

Funkcja generująca kumulanty

rozkładu złożonego

• Rozkład zmiennej X równej łącznej wartości

szkód nazywa się rozkładem złożonym

• Jak policzyć momenty wyższych rzędów i

kumulanty rozkładu złożonego?

• Mamy

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

1

1

1

exp

exp

|

exp

exp

ln

exp

exp

N

X

i

i

N

Y

M

t

tX

t

Y

N

tY

N

tY

N C

t

=

=

=

=

=

=

∑

E

E E

E E

E

E

E

i

i

2009-03-23

3

Funkcja generująca kumulanty

rozkładu złożonego

• Wniosek:

• Funkcja generująca kumulanty rozkładu

złożonego jest złożeniem funkcji
generujących kumulanty!

• Kumulanty wyższych rzędów rozkładu

złożonego obliczymy więc z formuły

( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

ln

exp

X

Y

N

Y

C

t

N C

t

C

C

t

=

=

E

i

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

,

0

0

n

n

n X

X

N

Y

t

c

C

C

C

t

=





=

= 







Kumulanty rozkładu złożonego

• Zachodzą formuły

• Zadanie: wyprowadzić powyższe wzory dla

wartości oczekiwanej i wariancji

2

2

2

2

3

2

2

3,

3,

3,

4

2

2

2

4,

4,

3,

3,

2

4

4,

,

,

3

,

6

4

3

X

N

Y

X

N

Y

N

Y

X

N

Y

N

Y

Y

N

Y

X

N

Y

N

Y

Y

N

Y

Y

N

Y

N

Y

c

c

c

µ

µ µ

σ

σ

µ

µ σ

µ

µ

µ

σ

µ σ

µ µ

µ

µ

µ

σ

σ

µ µ

σ

σ

µ

=

=

+

=

+

+

=

+

+

+

+

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

Złożony rozkład Poissona

• Gdy zmienna N ma rozkład Poissona, wówczas

rozkład zmiennej X nazywa się złożonym
rozkładem Poissona (CPD) o parametrach

gdzie zaś jest dystrybuantą
rozkładu zmiennej Y

• Funkcja generująca kumulanty CPD

gdzie jest FGM rozkładu zmiennej Y

( ,

),

Y

F

λ

N

λ = E

Y

F

( )

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

exp

1

1 ,

X

N

Y

Y

Y

C

t

C

C

t

C

t

M

t

λ

λ

=

=

−

=

−

Y

M

2009-03-23

4

Kumulanty złożonego rozkładu

Poissona

• W przypadku złożonego rozkładu Poissona

zachodzi

w szczególności

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

,

0

,

0

1

0

,

1,2,...

n

n

n X

X

Y

n

t

n

n

Y

n Y

d

c

C

M t

dt

M

m

Y

n

λ

λ

λ

λ

=





=

=

−









=

=

=

=

E

i

i

(

)

2

2

2

2,

,

X

Y

X

Y

Y

Y

m

µ

λ µ

σ

λ

λ σ

µ

=

=

=

+

i

i

i

Twierdzenie o dodawaniu dla

złożonego rozkładu Poissona

• Niech będą niezależnymi

zmiennym o złożonych rozkładach Poissona z
parametrami

• Niech wówczas

gdzie

1

2

,

,...,

n

X

X

X

(

) (

)

(

)

1

1

2

2

,

,

,

,...,

,

n

n

F

F

F

λ

λ

λ

1

2

...

,

n

S

X

X

X

=

+

+

+

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

1

1

1

1

1

...

1

...

1

...

1

n

S

X

X

n

n

n

n

C

t

C

t

C

t

M t

M

t

M t

M

t

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

+

+

=

−

+

+

−





=

+

+

−









1

2

...

n

λ

λ

λ

λ

=

+

+

+

Twierdzenie o dodawaniu dla

złożonego rozkładu Poissona, c. d.

• Twierdzenie: Suma niezależnych zmiennych o

złożonym rozkładzie Poissona z parametrami

ma również

złożony rozkład Poissona z parametrami

gdzie

• Pytanie: czy da się sformułować analogiczne

twierdzenie dla złożonych rozkładów –
dwumianowego i ujemnego dwumianowego?

(

) (

)

(

)

1

1

2

2

,

,

,

,...,

,

n

n

F

F

F

λ

λ

λ

(

)

,

,

F

λ

( )

( )

( )

1

1

1

...

,

...

n

n

n

F t

F t

F t

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

+

+

=

+

+

2009-03-23

5

Twierdzenie o dodawania CPD -

uzasadnienie

• Dla zmiennej X o dystrybuancie zachodzi

wzór

• Jeżeli są dystrybuantami,

wówczas ich kombinacja wypukła jest
dystrybuantą pewnej zmiennej Y i zachodzi

X

F

( )

( )

( )

xt

xt

X

X

X

M

t

e f

x dx

e dF

x

+∞

+∞

−∞

−∞

=

=

∫

∫

1

2

,

,...,

n

F F

F

1

n

i

i

i

F

α

=

∑

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

1

1

1

1

yt

Y

Y

n

n

yt

yt

i

i

i

i

i

i

n

n

yt

i

i

i

i

i

i

M

t

e dF

y

e d

F y

e

dF y

e dF y

M t

α

α

α

α

+∞

−∞

+∞

+∞

=

=

−∞

−∞

+∞

=

=

−∞

=

=

=

=

=

∫
∑

∑

∫

∫

∑

∑

∫

Twierdzenie o dodawaniu dla innych

rozkładów złożonych

• X – złożony rozkład dwumianowy, wówczas

gdzie

•

- złożone rozkłady dwumianowe

• Zachodzi słaba wersja twierdzenia o

dodawaniu, gdy

• Zadanie: sformułować słabą wersję

twierdzenia o dodawaniu dla

( )

( )

(

)

( )

(

)

ln 1

,

X

N

Y

Y

C

t

C

C

t

m

p

pM

t

=

=

−

+

(

)

~

,

N

Bin m p

1

2

,

,...,

n

X

X

X

( )

( )

(

)

1

...

1

ln 1

,

n

n

X

X

i

i

i

C

t

m

p

pM t

+

+

=

=

−

+

∑

1

1

...

,

...

n

n

p

p M

M

=

=

=

=

(

)

~

,

N

NegBin r q