Matematyka ekonomiczna

Lista 4

Zad. 1. Niech zmienne losowe X i T

x

oznaczaj ˛a odpowiednio czas trwania ˙zycia noworodka oraz przyszły czas ˙zycia x–

latka. Zinterpretowa´c poni˙zsze zapisy i rozstrzygn ˛a´c, które s ˛a równowa˙zne:

a) Pr(X

6 x)

b) Pr(X > x)

c) s(x), s(t)

d) F (z) − F (x)

e) Pr(x < X

6 z)

f) s(z) − s(x)

g) X

h) Pr(T

x

> t)

i) Pr(T

x

6 t)

j) Pr(x < X

6 z|X > x)

k) T

0

l)

s

(x) − s(z)

s

(x)

m) Pr(T

0

> t)

n) Pr(X > x

+ t|X > x)

o)

t

q

x

p)

t

p

x

r) Pr(T

0

> x + t|T

0

> x)

s) Pr(u < T

x

6 u + t)

t)

t

p

x

+u

u)

t

q

x

+u

v) Pr(T

x

> u + t|T

x

> u)

w) Pr(T

x

6 u + t|T

x

> u)

z)

u | t

q

x

Zad. 2. Zakładaj ˛ac, ˙ze jest spełnione: Pr(T

x

> t) ≡ Pr(T

0

> x + t|T

0

> x) (hipoteza jednorodnej populacji) pokaza´c, ˙ze:

•

t

p

0

= s(t)

•

t

p

x

=

s (x

+t)

s (x )

Zad. 3. Czas trwania ˙zycia noworodka X opisuje dystrybuanta

F

(x)

= 1 −



1 −

x

120



1/6

,

dla 0 x 120.

Obliczy´c prawdopodobie´nstwo tego (zakładaj ˛ac hipotez ˛e jednorodnej populacji), ˙ze: (a) noworodek osi ˛agnie przynaj-
mniej 30 lat, (b) osoba w wieku 30 lat umrze przed upływem 50 lat, (c) osoba w wieku 40 lat osi ˛agnie przynajmniej
65 lat, (d) osoba w wieku 50 lat prze˙zyje przynajmniej 15 lat pod warunkiem, ˙ze prze˙zyła ju˙z 8 lat.

Zad. 4. Pokaza´c, ˙ze g ˛esto´s´c zmiennej losowej T

x

mo˙zna wyrazi´c jako iloczyn funkcji prze˙zycia

t

p

x

i nat ˛e˙zenia zgonów

µ

x

+t

– czyli f

x

(t)

=

t

p

x

µ

x

+t

.

Zad. 5. Warto´s´c oczekiwana przyszłego czasu ˙zycia x-latka jest równa

o

e

x

= E[T

x

]

=



∞

0

t

p

x

dt

Wykorzystuj ˛ac dystrybuant ˛e z zadania 3 obliczy´c przeci ˛etny, przyszły czas ˙zycia 30 latka i 80 latka.

(Uwaga: najpierw

trzeba znale´z´c rozkład dalszego czasu trwania ˙zycia x-latka. W zadaniu 3 jest on podany dla noworodka. Skorzysta´c z hipotezy

jednorodnej populacji.)

Zad. 6. Maj ˛ac dan ˛a funkcj ˛e nat ˛e˙zenia zgonów:

µ

x

=

1

100 − x

,

0 x < 100

obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze 20 latek prze˙zyje wi ˛ecej ni˙z 50 lat.

( Wskazówka: wiemy, ˙ze µ

x

+t

=

f

x

(t )

1− F

x

(t )

, wi ˛ec

µ

x

+t

= −

∂ ln(1−F

x

(t ))

∂t

.Wystarczy scałkowa´c obustronnie)

Zad. 7. Nat ˛e˙zenie zgonów opisuje funkcja µ

x

= x/100. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze osoba w wieku 15 lat

umrze miedzy 35 a 45 rokiem ˙zycia. Dodatkowo narysowa´c wykres zale˙zno´sci tego prawdopodobie´nstwa od wieku
osoby.

Zad. 8. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze osoby w wieku: 10, 30, 50 i 70 lat prze˙zyj ˛a wi ˛ecej ni˙z 10 lat, je´sli rozkład

trwania ˙zycia osoby nowo narodzonej podlega prawu Gompertza, o funkcji trwania ˙zycia:

s

(x)

= exp



−

B

ln c

(c

x

− 1)



,

B

> 0,

c

> 1,

x

0.

Do oblicze´n przyj ˛a´c oszacowania parametrów B

= 5.2967 ∗ 10

−5

i c

= 1.0926.

1