Poj¦cie przestrzeni wektorowej. Podprzestrzenie liniowe

1. Wykaza¢, K

n

, gdzie K jest ciaªem liczb rzeczywistych lub ciaªem liczb zespolonych,

z dziaªaniami:

(x

1

, x

2

, ..., x

n

) + (y

1

, y

2

, ..., y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, ..., x

n

+ y

n

) ,

α (x

1

, x

2

, ..., x

n

) = (αx

1

, αx

2

, ..., αx

n

) ,

α

, x

i

, y

i

∈ K dla i ∈ {1, 2, ..., n} , jest przestrzeni¡ wektorow¡ nad ciaªem K.

2. Wykaza¢, »e zbiór C

(a,b)

wszystkich funkcji okre±lonych na przedziale (a, b) , przyjmu-

j¡cych warto±ci rzeczywiste, stanowi przestrze« wektorow¡ nad ciaªem liczb rzeczy-

wistych. ( Dodawanie funkcji i mno»enie funkcji przez liczbe rzeczywist¡ okre±lone

jest w sposób standardowy)

3. Wykaza¢, »e zbiór wielomianów o wspóªczynnikach rzeczywistych, stopnia ≤ n, n ∈ N,

ze zwykªym dodawaniem i mno»eniem przez liczby rzeczywiste, stanowi przestrzen

wektorow¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych.

4. Pokaza¢, korzystaj¡c z denicji, »e zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójk¡t-

nych górnych stopnia 2, wraz dodawaniem macierzy i mno»eniem macierzy przez

liczby rzeczywiste, stanowi przestrze« wektorow¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych.

5. Sprawdzi¢, czy W = {(x, y) ; x ∈ R, y = 0 ∈ R} z dziaªaniami:

(x, 0)
(x

0

, 0) = (x + x

0

, 0) ,

α

(x, 0) = (αx, 0) , α

∈ R,

jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni R

2

.

6. Sprawdzi¢, czy zbiór

U =

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

∈ R

4

; x

1

+ x

2

− x

3

= 0

stanowi podprzestrze« liniow¡ przestrzeni R

4

.

7. Sprawdzi¢, czy zbiór

U =

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

)

∈ R

5

; x

1

+ 2x

2

− x

4

= 0, x

2

− 4x

3

+ x

5

− 1 = 0

jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni R

5

.

1

8. Uzasadni¢, »e podane zbiory W s¡ podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni

liniowych V:
a) W =

{(x, y) ∈ R

2

; 2x = 3y

} , V = R

2

.

b) W =

{(x, y, z); x − y = y + z = 0} , V = R

2

.

9. Czy podane zbiory W s¡ podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni

liniowych V?

a) W =



x

y

x + y 2x



; x, y

∈ R



,

V = M

2

(R) ,

b) W =



A; A A

T

=

 0 0

0 0



,

V = M

2

(R).

10. Który z nast¦puj¡cych zbiorów jest podprzestrzeni¡ przestrzeni R

3

?

a)

U =

{ (x, y, 1) ; x, y ∈ R} ,

b)

U =

{ (x, y, z) ; x + 2y − z = 0, x, y, z ∈ R} ,

c)

U =

{ (0, 0, z) ; z ∈ R} ,

d)

U =

{ (x, y, 0) ; x

2

= y

2

, x, y

∈ R} ,

e)

U =

{ (x, y, z) ; x

2

+ y

2

+ z

2

, x, y, z

∈ R} ,

f )

U =

{ (x, x, z) ; x, z ∈ R} .

g)

 a b

0 c



; a, b, c

∈ R



,

h)

 a b

c d



; a + b = c + d, a, b, c, d

∈ R



.

11. Które z podanych zbiorów s¡ podprzestrzeniami przestrzeni macierzy M

2

(R)

?

c)

 A ; A ∈ M

2

(R), A = A

T

d)

{ A ; A ∈ M

2

(R), A B = 0

} , gdzie B jest pewn¡ macierz¡ nale»¡c¡ do M

2

(R),

e)

{ A ; A ∈ M

2

(R), A

2

= A

} ,

f )

{A; A ∈ M

2

(R), det A = 0

} .

Liniowa zale»no±¢ wektorów

12. Wektory (3,-2,5), (0,1,0) przedstawi¢ jako kombinacje liniowe wektorów:

a)

(3,

−2, 5) ,

(0,

−1, −1) ;

b)

(3,

−2, 5) ,

(1, 1, 1) ,

(0,

−5, 2) ;

c)

(1,

−2, 3) ,

(1, 0, 1) ,

(

−1, −2, 1) .

13. Zbada¢ liniow¡ zale»no±¢ nast¦puj¡cego ukªadu wektorów przestrzeni R

3

2

a) (1, 0, 2) ,

(1, 3, 0),

(1, 1, 1),

b) (2, 3, 1) ,

(3, 2, 0) ,

(7, 8, 2) .

14. Wyznaczy¢ wszystkie warto±ci parametru a ∈ R takie, »e ukªad wektorów

(1, 2, 2a) ,

(3, 2, 1) ,

(2, 0, a)

jest liniowo niezale»ny w R

3

.

15. Wyznaczy¢ wszystkie warto±ci parametru m dla których ukªad wektorów

(1, 2, 0) ,

(2,

−1, −1) ,

(0, m, 2)

w przestrzeni liniowej R

3

jest liniowo zale»ny.

16. Zbada¢, czy je±li wektory

u, v, w

∈ V(K) s¡ liniowo niezale»ne, to wektory

a)

u + v,

u + v + w,

w,

b)

u + v

− w,

u

− v,

u + v;

te» s¡ liniowo niezale»ne?

17. Zbada¢ liniow¡ niezale»no±¢ wektorów I, A, A

2

,

dla A =

 1 −1

2

1



w przestrzeni

M

2

R.

18. Sprawdzi¢, czy wektor v jest elementem podprzestrzeni lin(u, w).

a)

v = (1,

−1, 2),

u = (1, 1, 1),

w = (0, 1, 3);

b)

v = (3, 1,

−3),

u = (1, 1, 1),

w = (0, 1, 3);

c)

v = (4, 1,

−3, 1),

u = (1, 0, 1, 0),

w = (2, 0, 1, 3);

f )

v =



1

3

−1 1



,

u =

 1 −1

2

1



,

w =

 2 1

1 0



;

g)

v =

 1 −4

5

3



,

u =

 1 −1

2

1



,

w =

 2 1

1 0



.

19. Sprawdzi¢, czy przestrze« M

2

(R)

jest rozpi¦ta na wektorach

 1 0

0 0



,

 1 0

0 1



,

 0 1

1 0



,

 1 1

0 1



.

3

Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

20. Sprawdzi¢ czy nast¦puj¡cy ukªad wektorów stanowi baz¦ przestrzeni wektorowej V,

a) ((1, 0, −1) , (1, −1, 0), (0, 1, −1)); V = R

3

,

b) ((1, 2, −1) , (3, −1, 0), (5, 3, −2)); V = R

3

,

c)



1

2

−1 0



,



1

0

−1 0



,

 1 2

0 0



,



0

2

−1 1



;

V = M

2

(R)

,

21. Znale¹¢ baz¦ i wymiar nast¦puj¡cych podprzestrzeni przestrzeni R

4

.

a)

{(a, a + b, a − b, b) ; a, b ∈ R} ,

b)

{(a, b, c, d) ; a + 2b − c + 3d = 0, a, b, c, d ∈ R} ,

c)

{(a, b, c, d) ; a − 2b = 3c − d, 3b − 4d = a − 2c, a, b, c, d ∈ R} .

22. Znale¹¢ baz¦ i wymiar nast¦puj¡cych podprzestrzeni przestrzeni przestrzeni M

2

(K).

a)

A ; A

T

=

−A

,

b)



A ; A



1

1

−1 0



=



1

1

−1 0



A



;

c)



A ; A



1

0

−1 0



=

 0 0

0 0



A



,

d)



A ; A



1

1

−1 0



=



0

1

−1 1



A



.

23. Niech v = (1, 2, 0, 1, 3) ∈ R

5

.

a) Znale¹¢ baz¦ przestrzeni R

5

zawieraj¡c¡ wektor v,

b) Znale¹¢ baz¦ przestrzeni R

5

nie zawieraj¡c¡ wektora v.

24. Wyznaczy¢ baz¦ i wymiar podprzestrzeni liniowej U zªo»onej ze wszystkich wektorów

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

)

∈ R

5

speªniaj¡cych ukªad równa«:

x

1

− 2x

2

− x

3

+ x

4

− x

5

= 0,

x

2

− x

3

+ x

4

− x

5

= 0,

x

1

− x

2

+ 2x

3

− 2x

4

+ 2x

5

= 0,

x

1

+ 3x

2

− 2x

3

+ 2x

4

− 2x

5

= 0.

25. Wyznaczy¢ baz¦ i wymiar podprzestrzeni liniowej U zªo»onej ze wszystkich wektorów

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

∈ R

4

speªniaj¡cych ukªad równa«:

4

2x

1

− x

2

+ x

3

+ x

4

= 0,

x

1

+ 2x

2

− x

3

− x

4

= 0,

x

1

− 3x

2

− x

3

− 2x

4

= 0,

x

1

+ x

2

− 2x

3

+ 2x

4

= 0.

26. Zaªó»my, »e ukªad wektorów (u, v, w) stanowi baze przestrzeni liniowej V. Które

z nast¦puj¡cych ukªadów wektorów przestrzeni V stanowi¡ baz¦ tej przestrzeni?

a) (u + v, u + w, v + w) ,

b) (2u + v+3w, 3u + v

− w, v−4w) ,

b) (u, u + v + w) ,

d) (u + v + w, 3u + v,

−w, v−4w) ,

27. Czy istniej¡ takie warto±ci parametrów a i b, by wektory (a, a + b, 0, 1) , (b, 2, a, 0)

stanowiªy ukªad wektorow liniowo niezale»nych?

Ukªady równa« liniowych. Rz¡d macierzy

1. Rozwi¡za¢ podane ukªady równa« stosuj¡c metod¦ macierzy odwrotnej:

a)

x +

y +

z =

4

2x

− 3y + 5z = −5

−x + 2y −

z =

2

;

b)

y + z + t =

4

x

+ z + t =

−1

x + y

+ t =

2

x + y + z

=

−2

;

c)

x + y

=

3

y + z

=

5

z + u

=

7

u + v =

9

10x

+ v = 15

2. Rozwi¡za¢ przy pomocy wzorów Cramera nast¦puj¡ce ukªady równa«

a)

2x

− y + 3z =

9

b)

2x

− y − 6z + 3 = 0

3x

− 5y + z = −4

7x

− 4y + 2z − 15 = 0

4x

− 7y + z =

5,

x

− 2y − 4z + 9 = 0.

c)

2x

1

+ 2x

2

− x

3

+ x

4

=

4

d)

x

1

+ x

2

+ x

3

+ x

4

= 0

4x

1

+ 3x

2

− x

3

+ 2x

4

=

6

2x

1

− 3x

2

+ 4x

3

− 2x

4

= 17

8x

1

+ 5x

2

− 3x

3

+ 4x

4

= 12

− x

1

+ 3x

3

− x

4

= 7

3x

1

+ 3x

2

− 2x

3

+ 2x

4

=

6,

3x

1

+ 4x

2

+ 2x

3

− 3x

4

= 9,

5

e)

x

1

+ x

2

+ x

3

− x

4

− x

5

=

3

f )

x

1

+ 2x

2

+ 5x

3

+ 9x

4

= 79

2 x

1

+ 3x

2

+ 4x

3

− 5x

4

+ x

5

=

5

3 x

1

+ 13x

2

+ 18x

3

+ 30x

4

= 263

−2 x

2

− 2x

3

+ 3x

4

+ 3x

5

=

−6

2 x

1

+ 4x

2

+ 11x

3

+ 16x

4

= 146

4x

1

+ x

2

− 3x

4

− 2x

5

=

5

x

1

+ 9x

2

+ 9x

3

+ 9x

4

= 92,

x

1

− 2x

2

+ 3x

3

+ x

4

=

0,

g)

a x

1

+ x

2

+ ... + x

n

−1

+ x

n

= 1

x

1

+ a x

2

+ ... + x

n

−1

+ x

n

= 1

.................................................

x

1

+ x

2

+ ... + x

n

−1

+ a x

n

= 1, a

∈ R,

3. Pokaza¢, »e wektory postaci







t

− s − 1

t + s + 1

s

t







, s, t ∈ R, stanowi¡ rozwi¡zanie ukªadu

równa«

x

1

− 2x

2

+ 3x

3

+ x

4

=

−3,

2x

1

− x

2

+ 3x

3

− x

4

=

−3.

4. Zapisa¢ na dwa sposoby wszystkie rozwi¡zania równania

2x

− 3y − z = 0, x, y, z ∈ R.

5. Znale¹¢ warto±ci parametrów a, b, c ∈ R dla których ukªad równa« posiada jedno

rozwi¡zanie, niesko«czenie wiele rozwiaza«, nie posiada rozwi¡za«;

a)

3x + y

− z = a

a)

2x + y

− z = a

c)

− x + 3y + 2z = −8

x

− y + 2z = b

2y + 3z = b

x + z = 2

5x + 3y

− 4z = c

x

− z = c

3x + 3y + az = b

d)

a x

1

+ x

2

+ x

3

= 1

e)

a x + y + z = 1

f )

x + 4y

− 2z = −b

x

1

+ a x

2

+ x

3

= 1

x + b y + z = 1

3x + 5y

− bz = 3

x

1

+ x

2

+ a x

3

= 1,

x + y + c z = 1,

bx + 3by + z = b.

7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« z parametrem a ∈ R

6

a x + y + z + t = 1

x + a y + z + t = a

x + y + a z + t = a

2

x + y + z + a t = a

3

.

Rz¡d macierzy

8. Znale¹¢ rz¦dy podanych macierzy wskazuj¡c niezerowe minory maksymalnych stopni:

a)





1

2 3 4

−1 0 1 0

0

2 4 4





,

b)









1 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
1 0 1 0 2









.

9. Znale¹¢ rz¡d macierzy wykonuj¡c operacje elementarne na wierszach lub kolumnach

a)





2

−1 3 −2 4

4

−2 5

1

7

2

−1 1

8

2





,

b)







1

3

5

−1

2

−1 −3

4

5

1

−1

7

7

7

9

1







, 2

c)









3

5

1

7

−1 −3 −3 −5

3

2

−5

1

2

3

0

4

5

4

7

1









,

d)









4 3

−5 2

3

8 6

−7 4

2

4 3

−8 2

7

4 3

1

2

−5

8 6

−1 4 −6









, e)





47

−67 35

201

155

26

98

23

−294 86

16

−428 1

1284

52





, f )









17

−28 45

11

39

24

−37 61

13

50

25

−7 32 −18 −11

31

12

19

−43 −55

42

13

29

−55 −68









.

g)







1

1 0 2 1

0

1 2 5 0

2

0 1 4 1

−1 2 3 7 0







,

h)









3 2 1 3
1 0 1 2
2 1 3 3
0 4 1 1
1 1 3 4









,

i)









1

0 1

0

2

2

0 0

− 3

−2 3 0 0 0

0

3 1

0

2

1

2 1

3

3









.

10. Znale¹¢ warto±ci parametru λ dla których macierz

7







3 1

1

4

λ 4 10 1

1 7 17 3
2 2

4

3







ma najmniejszy rz¡d.

11. Jak przedstawia si¦ rz¡d macierzy A w zale»no±ci od parametru λ ?

a) A =





1

λ

−1 2

2

−1

λ

5

1

10

−6 1





,

b) A =





1

−1 1

−1

1

λ

λ

λ

λ





.

12. W podanych ukªadach równa« liniowych okre±li¢ (nie rozwi¡zuj¡c ich) liczby rozwi¡za«

oraz liczby parametrów

a)

x

− y + 2z + t = 1

b)

2x + 2y

− z + t = 1

3x + y + z

− t = 2

x

− y − z + 3t = 2

5x

− y + 5z + t = 4,

3x + 5y

− 4z − t = 0.

Ukªady równa« liniowych jednorodnych i niejednorodnych

13. Wyznaczy¢ przestrzenie rozwi¡za« podanych ukªadów równa«, znale¹¢ ich wymiary

i bazy.

a)

x

− y

+

z

+ 2t = 0

3x

− 3y + 2z + t = 0

,

b)

x

+

y

+

z

− t + 4s = 0

2x

− y

+ 2t +

s

= 0

4x

− y

− 3z − t − s = 0

3x + 2y

− z

= 0

.

14. Przedstawi¢ rozwi¡zania podanych ukªadów równa« niejednorodnych w postaci kom-

binacji liniowych rozwi¡za« odpowiednich ukªadów jednorodnych i rozwi¡za« szczegól-

nych:

a)

2x + 3y +

z

− 2s −

t

=

6

4x + 7y + 2z

− 5s +

t

= 17

6x + 5y + 3z

− 2s − 9t = 1

2x + 6y +

z

− 5s − 10t = 12

;

b)

x

− 3y + z

− 2s − t =

0

3x + 4y

− z

+

s

+ 3t =

1

x

− 8y + 5z − 9s + t = −1

.

8

15. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce ukªady równa«:

a)

2x

1

+ 7x

2

+ 3x

3

+

x

4

= 6

3x

1

+ 5x

2

+ 2x

3

+ 2x

4

= 4

9x

1

+ 4x

2

+

x

3

+ 7x

4

= 2

;

b)

x

1

− 5x

2

+ 2x

3

+ 4x

4

= 2

7x

1

− 4x

2

+

x

3

+ 3x

4

= 5

5x

1

+ 7x

2

− 4x

3

− 6x

4

= 3

;

c)

3x

1

+ 2x

2

+ 2x

3

+ 2x

4

= 2

2x

1

+ 3x

2

+ 2x

3

+ 5x

4

= 3

9x

1

+

x

2

+ 4x

3

− 5x

4

= 1

2x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 4x

4

= 5

7x

1

+

x

2

+ 6x

3

− x

4

= 7

;

d)

6x

1

+ 3x

2

+ 2x

3

+ 3x

4

+ 4x

5

= 5

4x

1

+ 2x

2

+

x

3

+ 2x

4

+ 3x

5

= 4

4x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 2x

4

+

x

5

= 0

2x

1

+

x

2

+ 7x

3

+ 3x

4

+ 5x

5

= 1

;

e)

x

1

− x

3

+ x

5

=

0

x

2

− x

4

+ x

6

=

0

x

1

− x

2

+ x

5

− x

6

= 0

x

2

− x

3

+ x

6

=

0

x

1

− x

4

+ x

5

=

0

;

f )

x

1

− x

3

=

0

x

2

− x

4

=

0

−x

1

+ x

3

− x

5

= 0

−x

2

+ x

4

− x

6

= 0

−x

3

+ x

5

=

0

−x

4

+ x

6

=

0

.

9