- 1 -

X. MES DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ TEORII

SPRĘŻYSTOŚCI

1. CELE ĆWICZENIA

1. Zapoznanie się z metodą elementów skończonych (MES) w aspekcie zastosowania do roz-

wiązywania dwuwymiarowych (płaskich) zagadnień teorii sprężystości, a w szczególności:

- wyprowadzenie podstawowych zależności metody elementów skończonych dla zagadnień

płaskich;

- budowa macierzy sztywności dla płaskich elementów trójkątnych i czworokątnych z li-

niowymi funkcjami kształtu.

2. Zapoznanie się z pakietem metody elementów skończonych PRO-MES 4.0 i jego obsługą w

przypadku zagadnień płaskich (dwuwymiarowych).

3. Wyznaczenie rozkładu naprężeń i przemieszczeń w środniku czołownicy suwnicy lejniczej

o udźwigu Q = 150/30 t.

2. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA

Analityczne wyznaczenie rozkładu przemieszczeń i naprężeń w konstrukcjach, w których

występuje płaski stan odkształcenia lub naprężenia jest możliwe tylko w szczególnym przy-

padku, gdy rozpatruje się prostą geometrię (Tarcze prostokątne lub kołowe) przy nieskompli-

kowanych warunkach brzegowych (podparcia i obciążenia).

W ogólnym przypadku należy skorzystać z metod numerycznych, do których należy metoda

elementów skończonych.

1)

Podstawy teoretyczne metody elementów skończonych dla zagadnień płaskich przedstawiono

poniżej.

1)

Patrz Wprowadzenie do metod elementów skończonych do rozwiązywania układów prętowych.

- 2 -

3. PODSTAWY TEORETYCZNE

Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości związane być mogą z:

-

płaskim stanem naprężenia;

lub:

-

płaskim stanem odkształcenia.

W obu przypadkach pole przemieszczeń określone jest przez wektor przemieszczenia u = (ui)
, i = 1,2.

W płaskim stanie naprężenia tensor stanu naprężenia określany jest następująco:

[ ]

T

0
0

0

0

0

,

11

12

21

22

σ

σ

σ

σ

σ

=

ª

¬

«

«

«

º

¼

»

»

»

(1)

tzn., że składowe

σ

σ

σ

13

23

33

0

=

=

= .

W płaskim stanie odkształcenia tensor stanu odkształcenia ma postać:

[ ]

T

0
0

0

0

0

,

11

12

21

22

ε

ε

ε

ε

ε

=

ª

¬

«

«

«

º

¼

»

»

»

(2)

gdzie

ε

ε

ε

13

23

33

0

=

=

= .

Płaski stan naprężenia występuje w cienkich tarczach obciążonych siłami leżącymi w płasz-

czyźnie środkowej tarczy (rys. 1).

Rys. 1 Tarcza w płaskim stanie naprężenia

- 3 -

Płaski stan odkształcenia występuje w ciałach o dużej szerokości obciążonych siłami równo-

miernie rozłożonymi wzdłuż powierzchni (rys. 2).

Warto przypomnieć, że nie można utożsamiać płaskiego stanu naprężenia z płaskim stanem

odkształcenia, ponieważ temu ostatniemu towarzyszą naprężenia

σ

33

:

(

)(

)

(

)

σ

ν

ν

ν

ε

ε

33

11

22

E

1

1 2

0,

=

+

−

+

≠

(3)

gdzie:

E - moduł Younga;

n - liczba Poissona.

Równania równowagi dla zagadnienia dwuwymiarowego teorii sprężystości mają postać:

∂σ

∂

∂σ

∂

∂σ

∂

∂σ

∂

11

1

12

2

1

21

1

22

2

2

x

x

(x) 0,

x

x

(x) 0,

+

+

=

+

+

=

Χ

Χ

(4)

dla

x (x , x )

1

2

=

∈Ω.,

gdzie:

x

1

i x

2

są składowymi sił objętościowych.

Równanie (4) w zapisie macierzowym przyjmuje postać:

Rys. 2 Płaski stan odkształcenia w ciele sprężystym

- 4 -

[ ]

{ } { }

T

X

0,

*

σ +

=

(5)

gdzie:

{ }

[

]

σ

σ

σ

σ

=

11

22

12

,

,

, ,

T

(5a)

{ }

[

]

X

X , X

1

2

T

=

,

(5b)

[ ]

T

x

x

x

x

*

.

=

ª

¬

«

«

«

«

º

¼

»

»

»

»

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

1

2

2

1

0

0

(5c)

między odkształceniami eij i przemieszczeniami ui można przedstawić następująco:

ε

∂
∂

ε

∂
∂

ε

ε

∂

∂

∂

∂

11

1

1

22

2

2

12

21

1

2

2

1

u
x

u
x

u

x

u

x

=

=

=

=

+

§
©

¨

·
¹

¸

;

;

; (6)

lub w zapisie macierzowym:

{ }

[ ]

{ }

ε

= T u ;

(7)

gdzie:

{ }

[

]

ε

ε

ε

ε

=

11

22

12

T

,

, 2

;

(7a)

{ }

[

]

u

u , u

,

1

2

T

=

(7b)

[ ]

T

x

0

0

x

x

x

.

1

2

2

1

=

ª

¬

«

«

«

«

«

«

«

º

¼

»

»

»

»

»

»

»

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

(7c)

Warto zwrócić uwagę, że między macierzami T i T

*

istnieje następująca zależność:

T

T

* T

=

.

(8)

Związki konstytutywne można przedstawić w postaci macierzowej:

{ }

[ ]

{ }

σ

ε

= c

;

(9)

gdzie:

[ ]

c

c

c

0

c

c

0

0

0

c

11

12

21

22

33

=

ª

¬

«

«

«

º

¼

»

»

»

.

(9a)

- 5 -

Stałe cij zależą od tego, czy mamy do czynienia z płaskim stanem naprężenia, czy też płaskim
stanem odkształcenia.

Dla płaskiego stanu naprężenia stałe cij mają następującą postać:

(

)

c

c

E

1

;

c

c

E

1

;

c

E

2 1

.

11

22

2

12

21

2

33

2

=

=

−

=

=

−

=

+

ν

ν

ν

ν

(10)

W przypadku płaskiego stanu odkształcenia stałe cij przyjmują wartości:

(

)

(

)

c

c

E 1

1

;

c

c

E

1

;

c

E

2 1

.

11

22

12

21

2

33

=

=

−

− −

=

=

− −

=

+

ν

ν

ν

ν

ν ν

ν

2

2

(11)

Wstawiając (9) i (7) do (5) otrzymujemy równania równowagi wyrażone w przemieszcze-

niach:

c

u

x

c

u

x x

c

u

x

u

x x

0;

c

u

x x

u

x

+ c

u

x x

c

u

x

+

0.

11

2

1

1

2

12

2

2

1

2

33

2

1

2

2

2

2

1

2

1

33

2

1

1

2

2

2

1

2

12

2

1

1

2

22

2

2

2

2

2

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

+

+

+

§
©

¨

·
¹

¸ +

=

+

§
©

¨

·
¹

¸

+

=

Χ

Χ

(12)

Równania (12) należy uzupełnić jeszcze o warunki brzegowe, które w przypadku ogólnym

mają postać warunków brzegowych mieszanych:

- dla przemieszczeń:

^

^

1

2

1

2

1

u

u , u

u

na

;

=

=

Γ

(13)

- dla sił powierzchniowych:

^

1

11 1

12 2

1

2

^

2

21 1

22 2

2

p

n

n

p ;

na

p

n

n

p .

σ

σ

σ

σ

½

=

+

=

°

Γ

¾

°

=

+

=

¿

;

(14)

gdzie:

Γ Γ

Γ Γ Γ

1

2

1

2

0

*



=

=

,

, ni są składowymi wektora normalnego

^

n do brzegu

Γ.

- 6 -

Warunki brzegowe dla sił powierzchniowych można wyrazić przez przemieszczenia, jeśli w

(14) uwzględnimy (9) i (7). Otrzymujemy wówczas:

p

c

u
x

c

u
x

n

c

u

x

u

x

n

p

c

u

x

u

x

n

c

u
x

c

u
x

n

1

11

1

1

12

2

2

1

33

1

2

2

1

2

2

33

1

2

2

1

1

12

1

1

22

2

2

2

=

+

§
©

¨

·
¹

¸ +

+

§
©

¨

·
¹

¸

=

+

§
©

¨

·
¹

¸ +

+

§
©

¨

·
¹

¸

∂
∂

∂
∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂
∂

∂
∂

;

.

(15)

Układ równań (12) wraz z warunkami brzegowymi (13) i (14) tworzą tzw. zagadnienie brze-

gowe teorii sprężystości.

Przybliżone rozwiązanie zagadnienia brzegowego teorii sprężystości otrzymać możemy przy

użyciu metody elementów skończonych. W tym celu płaski obszar

Ω dzielimy na elementy

skończone

Ωe, e = 1, 2,...E, w postaci trójkątów

lub czworokątów (rys. 3).

Objętość elementu skończonego

Ωe określona jest

przez Ve =

Ωe × (-1/2h, 1/2h), gdzie h jest gru-

bością elementu.

Na każdym elemencie skończonym

Ωe prze-

mieszczenia ui, i = 1, 2 aproksymowane są za
pomocą wielomianu

U (x , x ):

i

e

1

2

u (x , x ) U (x , x )

(u ) N (x , x );

i

1

2

e

1

2

i j

e

j

e

j 1

m

1

2

≈

=

=

¦

(16)

gdzie:

(u )

i j

e

- wartości wstępne przemiesz-

czeń;

N (x , x )

j

e

1

2

- funkcje kształtu (funkcje in-

terpolacyjne);

m

-

rząd aproksymacji.

Stosując zapis macierzowy aproksymację prze-

mieszczeń na elemencie skończonym można

przedstawić następująco:

Rys. 3 Elementy skończone

Ωe, a) trójkątne, b)

czworokątne

- 7 -

{ }

u

u

u

(u ) N

(u ) N

N

N ...N

0

0...0

0

0...0

N

N ... N

(u )
(u )

(u )

(u )
(u )

(u )

1

2

1 j

e

j

e

j 1

m

2 j

e

j

e

j 1

m

1

e

2

e

m

e

1

e

2

e

m

e

1 1

e

1 2

e

1 m

e

2 1

e

2 2

e

2 m

e

=

­

®

¯

½

¾

¿

=

­

®

°°

¯

°

°

½

¾

°°

¿

°

°

=

ª
¬

«

«

º
¼

»

»

­

®

°

°

°

°

°

¯

°

°

°

°

°

½

¾

°

°

°

°

°

¿

°

°

°

°

°

=

=

¦

¦





[ ]

{ }

=

=

ª

¬

«

«

«

º

¼

»

»

»

­

®

°

°

°

°

¯

°

°

°

°

½

¾

°

°

°

°

¿

°

°

°

°

=

N

0

N

0 ... N

0

0

N

0

N ... 0 N

(u )

(u )
(u )
(u )

(u )

(u )

N

1

e

2

e

m

e

1

e

2

e

m

e

1 1

e

2 1

e

1 2

e

2 2

e

1 m

e

2 m

e

e

e



∆ ;

(17)

gdzie:

[Ne] - macierz funkcji kształtu;

{

∆e} - macierz kolumnowa przemieszczeń węzłowych.

Odkształcenia i naprężenia w elemencie

Ωe określone są następująco:

{ }

[ ]

{ }

ε

e

e

e

B

,

=

∆

(18)

{ }

[ ][ ]

{ }

σ

e

e

e

e

C B

;

=

∆

(19)

gdzie:

[ ]

[ ]

[ ]

B

T N .

e

e

=

(20)

Z uwagi na przybliżenie rozwiązania zadania brzegowego wielomianem (16), równanie (12)

nie jest spełnione dokładnie, tzn.:

R = c

u

x

c

u

x x

c

u

x

u

x x

R = c

u

x x

u

x

+ c

u

x x

c

u

x

1

11

2

1

1

2

12

2

2

1

2

33

2

1

2

2

2

2

1

2

2

33

2

1

1

2

2

2

1

12

2

1

1

2

22

2

2

2

2

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

+

+

+

§
©

¨

·
¹

¸ +

≠

+

§
©

¨

·
¹

¸

+

+

≠

Χ

Χ

1

2

2

0

0

,

.

(21)

dla

u

U x x

i

e

≈

( , ).

1

2

W celu wyznaczenia nieznanych wartości węzłowych przemieszczeń, żądamy, aby równania

(12) były spełnione na elemencie skończonym

Ωe o objętości Ve w sensie całki ważonej:

- 8 -

R w dV

R w dV

V

V

e

e

1

1

2

2

0

0

=

=

³
³

,

.

(22)

gdzie w1 i w2 są funkcjami ważonymi.

Ponieważ przemieszczenia ui(x1, x2) nie zależą od współrzędnej x3, więc całki ważone (22)
przybierają postać:

h

R w dx dx

h

R w dx dx

e

e

e

e

1

1

1

2

2

2

1

2

0

0

=

=

³
³

,

.

Ω

Ω

(23)

gdzie:

he - grubość elementu Ωe.

Całkując (23) przez części otrzymujemy:

h

w

x

c

u
x

c

u
x

w

x

c

u

x

u

x

w

dx dx

h w p dS

h

w

x

c

u

x

u

x

w

x

c

u
x

c

u
x

w

e

e

e

e

e

∂

∂

∂
∂

∂
∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂
∂

∂
∂

1

1

11

1

1

12

2

2

1

2

33

1

2

2

1

1

1

1

2

1 1

2

1

33

1

2

2

1

2

2

12

1

1

22

2

2

0

+

§
©

¨

·
¹

¸

+

+

§
©

¨

·
¹

¸

−

ª
¬

«

º
¼

»

+

−

=

+

§
©

¨

·
¹

¸

+

+

§
©

¨

·
¹

¸

−

³

³

Χ

Ω

Γ

,

2

2

1

2

2

2

0

Χ

Ω

Γ

ª
¬

«

º
¼

»

+

−

=

³

³

e

e

dx dx

h w p dS

e

.

(24)

gdzie:

Γe jest krawędzią elementu skończonego Ωe.

W metodzie elementów skończonych w ujęciu Ritza przyjmuje się, że funkcje wagowe

przyjmują postać funkcji kształtu, tzn.

w

N i w

N

e

e

1

1

2

2

=

=

. Wówczas równania (24) można

przedstawić w następującej postaci macierzowej:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

{ }

{ }

{ }

{ }

K

K

K

K

u

u

F

F

11

12

21

22

1

2

1

2

ª
¬

«

º
¼

»

­

®

°
¯°

½

¾

°
¿°

=

­

®

¯

½

¾

¿

(25)

gdzie:

- 9 -

K

h

c

N

x

N

x

c

N

x

N

x

dx dx

K

K

h

c

N

x

N

x

c

N

x

N

x

dx dx

F

h

N X dx dx

h

N p dS

F

h

N

ij

e

i

e

j

e

i

e

j

e

ij

ji

e

i

e

j

e

i

e

j

e

i

e

i

e

e

i

e

i

e

i

e

e

e

e

e

e

11

11

1

1

33

2

2

1

2

12

21

33

1

1

22

2

2

1

2

1

1

1

2

1

2

=

+

§
©

¨

·
¹

¸

=

=

+

§
©

¨

·
¹

¸

=

+

=

³

³

³

³

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Ω

Ω

Ω

Γ

Ω

,

,

,

³

³

+

X dx dx

h

N p dS

e

i

e

e

2

1

2

2

Γ

.

Równanie (25) zapisać można także w bardziej zwartej postaci:

[ ]

{ } { }

K

F

e

e

e

∆ =

,

(26)

gdzie:

[ ]

[ ][ ][ ]

K

h

B C B dx dx

e

e

e

e

e

e

=

³

Ω

1

2

,

(27a)

[ ]

[ ]

F

h

N

X

X

dx dx

h

N

p

p

dS

e

e T

e

e T

e

e

2

1

2

1

2

1

2

=

­

®

¯

½

¾

¿

+

­

®

¯

½

¾

¿

³

³

Ω

Γ

.

(27b)

Macierz [Ke] jest macierzą symetryczną sztywności elementu skończonego o wymiarach

2m

×2m, natomiast {Fe} jest macierzą kolumnową sił o wymiarach 2m×1.

3.1. Elementy trójkątne

W przypadku elementów trójkątnych (rys. 4) należy w zależności (16) przyjąć

m = 3 i funkcje kształtu

N

i

e

mają postać wielomianów liniowych:

(

)

N x x

A

x

x

i

i

e

e

i

e

i

e

i

e

( , )

;

, , .

1

2

1

2

1

2

1 2 3

=

+

+

=

α

β

γ

(28)

gdzie:

α

β

γ

i

j

k

k

j

i

j

k

i

j

k

x

x

x

x

x

x

x

x

=

−

=

−

= −

+

( ) ( )

( ) ( ) ,

( )

( ) ,

( )

( ) .

1

2

1

2

2

2

1

2

dla

i

≠j≠k oraz wskaźniki i, j oraz k podlegają permutacji.

- 10 -

Funkcje kształtu

N

i

e

mają następującą własność:

N

x

x

i j

i

e

j

e

j

e

ij

( ) ,( )

;

,

, , .

1

2

1 2 3

=

=

δ

(29)

3.2. Elementy czworokątne.

W przypadku czworokątnych elementów skończonych (rys. 5) należy w zależności (16)

przyjąć m = 4 i w lokalnym układzie współrzędnych

x x

1

2

,

funkcje kształtu

N

i

e

mają postać:

N

x

a

x

b

N

x

a

x

b

N

x x

ab

N

x

a

x

b

e

e

e

e

1

1

2

2

1

2

3

1 2

4

1

2

1

1

1

1

=

−

§

©¨

·

¹¸ −

§

©¨

·

¹¸

=

−

§

©¨

·

¹¸

=

=

−

§

©¨

·

¹¸

,

,

,

.

(30)

Rys. 4 Trójkątny element skończony i funkcje kształtu

N

i

e

- 11 -

Graficzną interpretację funkcji kształtu dla elementu czworokątnego przedstawiono na rys. 5b.

4. PRZEBIEG ĆWICZENIA

W celu rozwiązania konkretnego zadania brzegowego należy utworzyć model numeryczny

rozpatrywanego układu. W rzeczywistym układzie mechanicznym wyodrębniamy części skła-

dowe, które modelujemy jako pręty (belki) lub elementy płaskie dwuwymiarowe (płytowe,

tarczowe, płytowo-powłokowe). Niektóre fragmenty konstrukcji mogą być modelowane ele-

mentami przestrzennymi (trójwymiarowymi). W przypadku występowania w konstrukcji

osiowej symetrii ze względu na geometrię i warunki brzegowe (podparcia i obciążenia) za-

gadnienie modeluje się elementami osiowo-symetrycznymi opisywanymi w przekroju osio-

wym konstrukcji. Elementy osiowo-symetryczne opisuje się tak jak elementy płaskie, przy

czym kontur przekroju osiowego (a w zasadzie jego połowa) jest brzegiem opisywanego ob-

Rys. 5 Element czworokątny i funkcje kształtu

N

i

e

- 12 -

szaru. W niniejszych rozwiązaniach ograniczono się do elementów dwuwymiarowych (płyty,

tarcze).

Płyty i tarcze modeluje się płaskimi dwuwymiarowymi elementami trójkątnymi lub czworo-

kątnymi. Ze względu na większą dokładność zaleca się stosować elementy czworokątne. Zale-

ca się stosować elementy czworokątne prostokątne lub zbliżone do prostokątów.

W każdym elemencie zadaje się grubość i rodzaj materiału.

W przypadku elementów tarczowych obciążenia i podparcia mogą występować tylko w płasz-

czyźnie elementu w kierunkach osi X,Y globalnego układu współrzędnych. W przypadku

elementów płytowych obciążenia i podparcia występują tylko w kierunku prostopadłym do

płaszczyzny elementu (w osi Z).

Podział układu na węzły i elementy musi uwzględniać rzeczywiste własności układu. Siły i

momenty mogą być przykładane tylko węzłach. Podczas tworzenia modelu numerycznego

na-

leży przestrzegać następujących zasad:

1.

Elementy mogą łączyć się tylko w węzłach.

2.

Siły i momenty mogą być zadawane tylko węzłach.

3.

Podpory mogą być umieszczane tylko w węzłach.

4.

Obciążenia ciągłe należy zastąpić obciążeniami skupionymi.

5.

Momenty ciągłe rozłożone należy zastąpić momentami skupionymi.

6.

Podparcie ciągłe należy zastąpić podporami w węzłach.

7.

Odległości pomiędzy węzłami powinny być w miarę równomierne.

8.

Różnica pomiędzy numerami węzłów w elemencie powinna być jak najmniejsza (pasmo minimal-

ne).

9.

Układ musi mieć tak narzucone więzy (punkty podparcia), aby nie tworzył mechanizmu.

10.

Przy opisie elementów dwuwymiarowych numery węzłów należy podawać w kierunku

od-

wrotnym do ruchu wskazówek zegara.

4.1. Przedmiot i zakres badań

Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy wytrzymałościowej środnika czołownicy suwnicy

lejniczej o udźwigu Q = 150/30t i rozpiętości L = 25m. Analizę należy przeprowadzić przy pomocy

metody elementów skończonych, wykorzystując w tym celu pakiet programów PRO

−MES 4.0 pracu-

jący na komputerach klasy IBM PC. Wyniki analizy numerycznej należy przedstawić w formie rysun-

ków ugięć i rozkładów naprężeń w środniku czołownicy .

- 13 -

4.2. Model obliczeniowy

Suwnica lejnicza o udźwigu Q = 150/30t i rozpiętości L = 25m posiada czterodźwigarowy

most. Wózek udźwigu głównego Qg = 150t jeździ po dźwigarach głównych usytuowanych na
zewnątrz mostu, a wózek pomocniczy o udźwigu Qp = 35t jeździ po dźwigarach pomocni-
czych wewnątrz mostu. Dźwigary połączone są na końcach czołownicami. Ze względu na na-

ciski na jezdnie suwnicy czołownice podparto w trzech punktach. W skrajnych punktach za-

stosowano balansjery o dwóch kołach, natomiast środek czołownicy podparto jednym kołem.

Taki sposób podparcia wymusił na konstruktorze przegubowe połączenie czołownicy w osi

środkowego podparcia. Podparcie w środku na jednym kole a końców na balansjerach cechuje

znaczna różnica wysokości. Różnicę tę zniwelowano wprowadzając przesunięcie osi czołow-

nicy w pionie.

W ćwiczeniu należy analizę wytrzymałościową ograniczyć tylko do środnika czołownicy.

Przyjąć też założenie, że środnik pracuje w stanie tarczowym. Obciążenia pionowe są do nie-

Rys. 4.6 Obciążenie główne

- 14 -

go wprowadzane przez przepony znajdujące się wewnątrz czołownicy w płaszczyznach środ-

ników dźwigarów. W modelu należy uwzględnić współpracę pasów czołownicy. Ponieważ

czołownica składa się z dwóch części połączonych przegubowo, można model ograniczyć tyl-

ko do połowy. Na rys. 4.6 pokazano przyjęty podział na elementy skończone. Przyjąć należy

tu tzw. elementy tarczowe, które odwzorowują pracę konstrukcji w płaskim stanie naprężenia.

Z lewej strony model podparto w punkcie odpowiadającym osi środkowego koła, a z prawej

strony nad punktem balansjery. W modelu założyć też należy różne grubości środnika. W niż-

szej części, w strefie kontaktu z dźwigarem pomocniczym, przyjąć należy grubość ok. 15 - 20

mm. W pozostałej strefie przyjąć grubość 10 mm.

Obciążenia wywołane oddziaływaniem dźwigara głównego oraz pomocniczego wprowadzić

należy w postaci sił rozłożonych równomiernie na wysokości środnika. Na rys. 4.6 pokazano

obciążenia wywołane dźwigarem głównym, a na rys. 4.7 obciążenia wywołane dźwigarem

pomocniczym. Ponieważ rozwiązuje się zagadnienie liniowe, przyjąć należy w danych jed-

nostkowe wartości obciążeń: 1000 kN dla dźwigara głównego i 100 kN dla dźwigara pomoc-

Rys. 4.7 Obciążenia pomocnicze

- 15 -

niczego. Dopiero na etapie wyników skalować obciążenia tak, aby otrzymać wartości rzeczy-

wiste.

Przy budowie modelu wykorzystać istniejące zbiory danych.

5. OPRACOWANIE WYNIKÓW

Obliczenia

przeprowadzić przy pomocy pakietu programów PRO

−MES 4.0 na kompute-

rach klasy IBM PC działających w sieci NOVELL.

Wyniki przedstawić w formie wydruków sporządzonych na drukarce igłowej.

Wyniki mają zawierać:

- rysunki ugięć środnika czołownicy dla różnych wariantów obciążenia [główne (1), po-

mocnicze (2), (1) + (2)];

- rysunki naprężeń składowych

σx i σy dla trzeciego wariantu obciążenia;

- rysunki naprężeń redukowanych dla trzeciego wariantu obciążenia.

5.1. Wytyczne do sprawozdania

Sprawozdanie powinno zawierać:

a) cel ćwiczenia;

b) krótkie omówienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie;

c) opis rozwiązywanego zagadnienia i modelu numerycznego (z rysunkami);

d) wyniki obliczeń;

e) analizę wyników;

f) wnioski.

6. PYTANIA KONTROLNE

1) Do czego służy metoda elementów skończonych?

2) Co to jest macierz sztywności i w jakim wzorze występuje?

3) Co to są funkcje kształtu?

4) Co to są elementy skończone i w jakich wielkościach są opisane?

5) Jakich zasad należy przestrzegać w przypadku rozwiązywania zagadnienia metodą elemen-

tów skończonych?

6) Podać prawo Hooke’a dla płaskiego stanu odkształcenia?

- 16 -

7. LITERATURA

1. O.C. Zienkiweicz: Metoda elementów skończonych, Arkady Warszawa 1972.

2. J. Szmelter: Metoda elementów skończonych w mechanice. PWN Warszawa 1980.

3. J. Szmelter: Metoda elementów skończonych w statyce konstrukcji. Arkady Warszawa

1979.

4. J. Szmelter: Metody komputerowe w mechanice. PWN Warszawa 1980.

5. J. Pietrzak, G. Rakowski, K. Wrześniowski: Macierzowa analiza konstrukcji. PWN War-

szawa - Poznań 1979.

6. J. Kruszewski: Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji. PWN Warszawa

1981.

7. A. Jaworski: Metoda elementów skończonych w wytrzymałości konstrukcji. Wyd. Pol.

Warsz., Warszawa 1981.

- 17 -

Politechnika Śląska

w Gliwicach

Wydział Mechaniczny Technologiczny

Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych

Mechaniki

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów

Protokół z ćwiczenia Nr 10

Temat: MES DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ
TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

Rok akademicki: . . . . . . . . . . ., Data wyk. ćwicz.: . . . . . . . . . ., Grupa: . . . . . . .

Prowadzący: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , podpis . . . . . . . . . . . . . . . .

Studenci:

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

- 18 -

1. Cel ćwiczenia i opis przebiegu ćwiczenia

:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Wyniki obliczeń

Wykonywanie ćwiczenia według zaleceń prowadzącego.

3. Analiza wyników

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Uwagi i wnioski:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Załączniki

1. Krótkie omówienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie.

2. Opis rozwiązywanego zagadnienia i modelu numerycznego (z rysunkami).