Matematyka II

Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej

19. 03. 2008 r.

1. Obliczyć całk¸e

Z

L

e

x

dx + z



x

2

+ y

2



3
2

dy + yz

3

dz ,

gdzie L jest krzyw¸

a zamkni¸et¸

a wyznaczon¸

a przez przeci¸ecie si¸e stożka z =

√

x

2

+ y

2

z płaszczyznami x = 0, x = 2, y = 0 i y = 1.

2. Obliczyć całk¸e

ZZ

S

x

2

dy ∧ dz + y

2

dz ∧ dx + z

2

dx ∧ dy ,

gdzie S jest cz¸eści¸

a powierzchni paraboloidy z =

H

R

2

(x

2

+ y

2

) leż¸

ac¸

a wewn¸

atrz walca

x

2

+ y

2

= R

2

zorientowan¸

a zgodnie z osi¸

a 0z.

1

Matematyka II

Egzamin pisemny poprawkowy z analizy matematycznej

10. 03. 2008 r.

1. Obliczyć całk¸e

ZZ

D

dxdy

(2 + x

2

+ y

2

)

2

,

gdzie D jest obszarem leż¸

acym mi¸edzy okr¸egami x

2

+ y

2

= 2x i x

2

+ y

2

= 4x.

2. Obliczyć całk¸e

Z

L

zx dy + xy dz − yz dx

(x − yz)

2

,

gdzie L jest łaman¸

a ł¸

acz¸

ac¸

a punkty A

1

(1, 0, 0), A

2

(2, 1, 1), A

3

(2, 0, 1) i A

4

(3, 1, 0).

3. Obliczyć całk¸e

ZZ

S

(1 − 2x) dy ∧ dz + 2y dz ∧ dx + 2z dx ∧ dy ,

gdzie S jest zewn¸etrzn¸

a stron¸

a połowy sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 2x, x ¬ 1.

4. Niech X = {1, 2, ..., n}, gdzie n > 2 i niech Σ składa si¸e ze zbioru pustego i wszystkich

zbiorów B ⊂ X, takich,że {1, n} ⊂ B albo {1} , {n} 6⊂ B. Niech µ(∅) = 0, µ({1, n}) = 0
oraz µ(B) b¸edzie liczb¸

a elementów zbioru B, różnych od 1 i n.

(a) Czy (X, Σ, µ) jest przestrzeni¸

a z miar¸

a?

(b) Czy µ jest miar¸

a zupełn¸

a?

5.

(a) Czy iloczyn dwóch funkcji prostych sumowalnych f, g jest funkcj¸

a prost¸

a sumowaln¸

a?

(b) Niech f =

m

P

i=1

a

i

χ

A

i

∈ P, g =

n

P

j=1

b

j

χ

B

j

∈ P , gdzie A

1

, A

2

, ..., A

m

∈ Σ s¸a parami

rozł¸

aczne i B

1

, B

2

, ..., B

n

∈ Σ s¸a parami rozł¸aczne, P oznacza zbiór funkcji prostych

sumowalnych. Obliczyć

R

X

f g dµ.

2

Matematyka II

Egzamin pisemny poprawkowy z analizy matematycznej

03. 03. 2008 r.

1. Obliczyć całk¸e

ZZZ

V



x

2

+ y

2



dxdydz ,

gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami x

2

+y

2

+z

2

= R

2

i x

2

+y

2

+z

2

= 2Rz.

2. Obliczyć całk¸e

Z

L

yz

1 + x

2

y

2

z

2

dx +

xz

1 + x

2

y

2

z

2

dy +

xy

1 + x

2

y

2

z

2

dz ,

gdzie L jest łaman¸

a ł¸

acz¸

ac¸

a punkty A(−1, −1, −1), B(1, −1, 1), C(−1, 1, −1) i D(1, 1, 1).

3. Obliczyć dwoma sposobami całk¸e

ZZ

S

2x dy ∧ dz + (1 − 2y) dz ∧ dx + 2z dx ∧ dy,

gdzie S jest zewn¸etrzn¸

a stron¸

a paraboloidy x

2

+y

2

= 1−2z leż¸

ac¸

a w półprzestrzeni z ­ 0.

4. Niech X b¸edzie zbiorem nieprzeliczalnym. Przez A oznaczmy zbiór wszystkich podzbiorów

zbioru X, a przez C zbiór wszystkich podzbiorów B zbioru X takich, że albo B jest
przeliczalny albo X \ B jest przeliczalny.

a) Dowieść, że C jest σ-algebr¸

a zbiorów.

b) Każda funkcja f : X −→ R C-mierzalna jest A-mierzalna.

c) Podać przykład funkcji A-mierzalnej, która nie jest C-mierzalna.

3

Matematyka II

Egzamin pisemny z analizy matematycznej

29. 01. 2008 r.

1. Obliczyć całk¸e

ZZZ

V

q

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz ,

gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchni¸

a x

2

+ y

2

+ z

2

+ z = 0.

2. Obliczyć całk¸e

(e,e,e)

Z

(1,1,1)

z

y

2

−

y

z

2

−

2yz

x

3

!

dx +

z

x

2

−

x

z

2

−

2xz

y

3

!

dy +

y

x

2

+

x

y

2

+

2xy

z

3

!

dz .

3. Obliczyć dwoma sposobami całk¸e

ZZ

S

yz dy ∧ dz + xz dz ∧ dx + xy dx ∧ dy,

gdzie S jest boczn¸

a powierzchni¸

a ostrosłupa o wierzchołku w punkcie C(0, 0, 2), którego

podstaw¸

a jest trójk¸

at o wierzchołkach 0(0, 0, 0), A(2, 0, 0) i B(0, 2, 0).

4. Obliczyć całk¸e

(L)

1

Z

0

[f (x) + g(x)] dx ,

gdzie

f (x) =











sin π x , dla x ∈ [0,

1
2

) \ C

cos π x , dla x ∈ [

1
2

, 1] \ C

0

dla x ∈ C

,

gdzie C jest zbiorem Cantora, a [x] jest cz¸eści¸

a całkowit¸

a z liczby x

g(x) =

(

1

x

2

e

−

[

1
x

], dla x ∈ (0, 1]

0

dla x = 0

.

4