Analiza funkcjonalna

Wykªad 1

Wst¦pne poj¦cia

0. Sprawy organizacyjne: Zasady zaliczania:

Kolokwia:

Egzamin:

Konsultacje:

Strona: www.im.pwr.wroc.pl/∼frej

Literatura:

1. Koªodziej Wybrane rozdziaªy analizy matematycznej

2. Musielak Wst¦p do analizy funkcjonalnej

3. Chmieli«ski Analiza funkcjonalna (notatki do wykªadu)

4. Alexiewicz Analiza funkcjonalna

5. Rudin Analiza funkcjonalna [trudna]

6. Rudin Analiza rzeczywista i zespolona [te» trudna]

7. Górniak, Pytlik Analiza funkcjonalna w zadaniach

8. Prus, Stachura Analiza funkcjonalna w zadaniach

9. Rusinek Zadania z analizy funkcjonalnej z rozwi¡zaniami

10. Conway A Course In Functional Analysis

1. Przypomnienie z kursu Algebra liniowa 2: przestrzenie liniowe

Denicja 1. Przestrze« liniowa nad ciaªem liczbowym K to zbiór V , w którym zostaªy

okreslone: dwuargumentowe dziaªanie dodawania +: V × V → V i dwuargumentowe dzi-

aªanie mno»enia (zewn¦trznego) ·: K × V → V , speªniaj¡ce warunki:

(PL1) dziaªanie dodawania jest przemienne, tzn. ¯u + ¯v = ¯v + ¯u ∀

¯

u,¯v∈V

(PL2) dziaªanie dodawania jest ª¡czne, tzn. (¯u + ¯v) + ¯w = ¯u + (¯v + ¯w) ∀

¯

u,¯v,¯w∈V

(PL3) istnieje element ¯0 ∈ V taki, »e ¯v + ¯0 = ¯v ∀

¯

v∈V

(PL4) ka»dy element ¯v ∈ V posiada element przeciwny, który oznaczamy przez −¯v, tzn.

taki, »e ¯v + (−¯v) = ¯0

(PL5) 1 · ¯v = ¯v dla ka»dego ¯v ∈ V

(PL6) α(β¯v) = (αβ)¯v ∀

α,β∈K

∀

¯

v∈V

(PL7) (α + β)¯v = α¯v + βv ∀

α,β∈K

∀

¯

v∈V

(PL8) α(¯u + ¯v) = α¯u + α¯v ∀

α∈K

∀

¯

u,¯v∈V

.

1

Poniewa» dziaªania + i · mogªyby by¢ na tym samym zbiorze okreslone w ró»ny sposób,

w istocie nale»aªoby mówi¢, »e przestrze« liniowa to zestaw (V, K, +, ·). Je±li K = R,

to mówimy, »e przestrze« liniowa jest rzeczywista, a je±li K = C mówimy o zespolonej

przestrzeni liniowej.

Denicja 2. Zbiór W ⊂ V , W 6= φ jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni V , gdy

∀

¯

w

1

,¯

w

2

∈W

¯

w

1

+ ¯

w

2

∈ W

∀

¯

w∈W,α∈K

α¯

w ∈ W.

Równowa»nie, W jest podprzestrzeni¡ liniow¡, gdy dla dowolnych α

1

, α

2

∈ K

, ¯w

1

, ¯

w

2

∈ W

.

Przykªady

W R

2

jedynymi podprzestrzeniami s¡ {(0, 0)}, proste przechodz¡ce przez (0, 0) i caªe R

2

.

W R

3

jedynymi podprzestrzeniami s¡ {(0, 0, 0)}, proste przechodz¡ce przez (0, 0, 0), pªasz-

czyzny zawieraj¡ce (0, 0, 0) i caªe R

3

.

Denicja 3. Niech A ⊂ V . Podprzestrzeni¡ liniow¡ generowan¡ przez A (rozpiet¡ przez
A

, powªok¡ liniow¡ zbioru A, otoczk¡ liniow¡ A) nazywamy zbiór

lin A =

span A

def

=

(

n

X

i=1

λ

i

¯

v

i

: n ∈ N, ∀

i=1,...,n

λ

i

∈ K

)

.

Twierdzenie 1.

1. Je±li A ⊂ B, to lin A ⊂ lin B.

2. lin A jest najmniejsz¡ podprzestrzeni¡ liniowa V zawieraj¡c¡ A.

Denicja 4. Sko«czony ukªad wektorów ¯v

1

, ..., ¯

v

n

nazywamy liniowo niezale»nym, gdy

warunek α

1

¯

v

1

+ ... + α

n

¯

v

n

= ¯

0 poci¡ga α

1

= ... = α

n

= 0

.

Niesko«czony ukªad wektorów jest liniowo niezale»ny, gdy ka»dy sko«czony podukªad wy-

brany z niego jest liniowo niezale»ny.

Ukªad jest liniowo zale»ny, gdy nie jest liniowo niezale»ny.

Twierdzenie 2. Wektory ¯v

1

, ..., ¯

v

n

s¡ liniowo zale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich

jest kombinacj¡ liniow¡ pozostaªych.

Je±li ukªad wektorów ¯v

1

, ..., ¯

v

n

jest liniowo niezale»ny, to ka»dy jego podukªad jest liniowo

niezale»ny (i odwrotnie  nie mo»na uniezale»ni¢ ukªadu przez dodanie do« wektorów).

Denicja 5. Przestrze« V jest n-wymiarowa (oznaczenie: dim V = n), je»eli zawiera
n

-elementowy ukªad liniowo niezale»ny, ale nie zawiera ukªadów liniowo niezale»nych o

wi¦kszej liczno±ci. Przyjmujemy przy tym, »e dim{¯0} = 0. Je±li mo»na znale¹¢ dowon¡

liczb¦ wektorów liniowo niezale»nych, to przestrze« nazywamy niesko«czenie wymiarow¡.

2. Na algebrze zajmowali±my si¦ przestrzeniami sko«czenie wymiarowymi, a teraz nie

b¦dziemy zwraca¢ uwagi na to ograniczenie, a nawet ch¦tniej b¦dziemy ogl¡da¢ przestrzenie

niesko«czenie wymiarowe.

Przykªady

1. Zbiór wszystkich ci¡gów o wyrazach zespolonych (lub rzeczywistych),

2. l

∞

- zbiór zespolonych ci¡gów ograniczonych,

2

3. l

1

= {(x

n

) :

P

∞
n=1

|x

n

| < ∞}

- zbiór ci¡gów bezwzgl¦dnie sumowalnych,

4. l

p

= {(x

n

) :

P

∞
n=1

|x

n

|

p

< ∞}

- zbiór ci¡gów sumowalnych z p-t¡ pot¦g¡, p > 0,

5. c - zbiór ci¡gów zbie»nych

6. c

0

- zbiór ci¡gów zbie»nych do zera,

7. c

00

- zbiór ci¡gów, których tylko sko«czenie wiele wyrazów jest ró»nych od zera,

8. C

R

(X)

- zbiór wszystkich rzeczywistych funkcji ci¡gªych na przestrzeni X, gdzie

X

jest dowolna przestrzeni¡, na której mo»na rozpatrywa¢ poj¦cie ci¡gªo±ci, czyli

przestrzeni¡ topologiczn¡, np. R, C, [0, 1]; przypadek zespolonych funkcji ci¡gªych

b¦dziemy oznacza¢ przez C(X),

9. C

1

R

(R) - zbiór wszystkich funkcji ró»niczkowalnych w sposób ci¡gªy,

10. L - zbiór wszystkich funkcji (zespolonych) mierzalnych na przestrzeni mierzalnej X,

11. L

∞

(µ)

- (zespolonych) funkcji istotnie ograniczonych na (X, µ),

12. L

1

(µ) =

f ∈ L : R |f | dµ < ∞

- funkcji caªkowalnych,

13. L

p

(µ) =

f ∈ L : R |f |

p

dµ < ∞

- funkcji caªkowalnych z p-t¡ pot¦g¡, p > 0,

14. M (X) - zbiór wszystkich miar znakowanych na ustalonej przestrzeni mierzalnej.

Denicja 6. Ukªad wektorów {b

t

: t ∈ T }

nazywamy baz¡ Hamela przestrzeni V , gdy

1. {b

t

: t ∈ T }

jest liniowo niezale»ny,

2. lin {b

t

: t ∈ T } = V

.

Inaczej, baza Hamela to maksymalny (w sensie zawierania) ukªad liniowo niezale»ny.

Twierdzenie 3. Ka»da przestrze« liniowa V 6= {¯0} ma baz¦ Hamela. Co wi¦cej, ka»dy

ukªad liniowo niezale»ny w V mo»na uzupeªni¢ do bazy Hamela.

Twierdzenie 4. Wszystkie bazy Hamela ustalonej przestrzeni liniowej s¡ równoliczne.

3. Przypomnienie z kursu Algebra liniowa 2: przeksztaªcenia liniowe i izomorzmy

Denicja 7. Niech V i W b¦d¡ przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciaªem liczbowym
K

. Przeksztaªcenie L : V → W jest liniowe, gdy

(1) L(¯v + ¯v

0

) = L(¯

v) + L(¯v

0

)

dla wszystkich ¯v, ¯v

0

∈ V

,

(2) L(α¯v) = αL(¯v) dla wszystkich ¯v ∈ V i α ∈ K.

Równowa»nie, L jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy L(α¯v + β¯v

0

) = αL(¯

v) + βL(¯v

0

)

dla wszystkich ¯v, ¯v

0

∈ V

, α, β ∈ K. Proste wªasno±ci: L0 = 0, L(¯v − ¯u) = L¯v − L¯u.

Twierdzenie 5. Ka»de przeksztaªcenie liniowe L: R

n

→ R

m

jest postaci L¯v = A¯v dla

pewnej macierzy wymiaru n×m. Co wi¦cej, mi¦dzy przeksztaªceniami liniowymi R

n

→ R

m

a macierzami wymiaru n × m istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiednio±¢.

3

Denicja 8. Je±li W = K (= C lub R), to mówimy, »e L jest funkcjonaªem liniowym lub

w przypadku sko«czenie-wymiarowym form¡ liniow¡. Formy liniowe na R

n

s¡ postaci

f (x

1

, ..., x

n

) =

n

X

i=1

α

i

x

i

(= [α

1

...α

n

] · [x

1

, ..., x

n

]

t

).

Funkcjonaªem liniowym na przestrzeni C([0, 1]) jest na przykªad caªka Riemanna. Funkcjo-

naªem na przestrzeni M

n

macierzy kwadratowych stopnia n jest na przykªad ±lad macierzy:

tr (A) = P

n
i=1

a

ii

.

Denicja 9. Izomorzmem algebraicznym przestrzeni liniowych V i W nazywamy przek-

sztaªcenie liniowe ϕ: V → W , które jest odwracalne (tzn. ró»nowarto±ciowe i na). Je±li

istnieje izmorzm mi¦dzy przestrzeniami liniowymi V i W , to takie przestrzenie nazywamy

algebraicznie izomorcznymi.

Stwierdzenie 1.

1. Je±li ϕ: V → W jest izomorzmem, to ϕ

−1

: W → V

te».

2. Je±li ϕ: V → W i ψ : W → U s¡ izomorzmami, to zªo»enie ψ ◦ ϕ: V → U te».

3. Wymiar jest niezmiennikiem izomorzmu.

4