Hipoteza oczekiwań struktury terminowej stóp procentowych i sposoby jej weryfikacji

Hipoteza
Natychmiastowa stopa zwrotu (spot yield) z inwestycji w -okresową obligację w okresie ,

n

t

( )

n

t

R

, jest równa średniej ważonej z bieżącej i oczekiwanych przyszłych stóp zwrotu z

inwestycji w jej -okresową odpowiedniczkę z okresów od

m

1

t

+ do t n

włącznie,

m

+ −

( )

m

t

R

, oraz premii płynności (liquidity premium),

(

)

,

n m

θ

:

(

1

( )

( )

0

1

,

k

n

m

t

t

t im

i

)

R

E R

n m

k

θ

−

+

=

=

+

∑

, (1)

gdzie:

– operator oczekiwań formułowanych na gruncie wiedzy z okresu ,

oraz

t

E

t

m

n

>

n

k

C

m

+

=

∈

.

Wersje hipotezy oczekiwań – wzorce zmienności premii płynności:

•

dla wszystkich i (hipoteza czysta; pure expectations hypo-thesis,

PEH);

(

)

,

n m

θ

= 0

n

m

•

dla wszystkich

n

i (hipoteza stałej premii; constant term

premium, CTP);

(

)

,

n m

const

θ

=

m

•

(

)

(

)

(

)

1

n,m

n

,m

m

,m

θ

θ

θ

>

−

>

>

+

…

1

(hipoteza preferencji płynności; liquidity

preference hypothesis, LPH);

•

(

)

, ,

n m t

θ

(hipoteza premii zmieniającej się w czasie (time-varying premia, TVP).

Sposoby weryfikacji
(A) Spred doskonale prognozowany (perfect foresight spred; PFS)
Odejmujemy od obu stron równania (1) stopę zwrotu

( )

m

t

R

. Otrzymujemy:

(

)

1

0

1

k

( n )

( m )

m

( m )

( n ,m )

t

t

t

t im

t

t

i

i

R

R

n,m

E

R

E PFS

k

θ

Δ

−

+

=

⎛

⎞

−

−

=

=

−

=

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

…

, (3)

gdzie

( )

( )

( )

m

m

m

m

t

t m

t

R

R

R

+

Δ

=

−

. Spred pomiędzy natychmiastowymi stopami zwrotu z inwestycji

w i -okresową obligację w okresie t ,

, odzwierciedla oczekiwane

zmiany przyszłych stóp zwrotu z obligacji o krótszej zapadalności. Zależność tą weryfikuje
się za pomocą regresji

n

m

( , )

( )

( )

n m

n

m

t

t

S

R

R

=

−

t

t n m

( , )

( , )

1

1

1,

n m

n m

t

t

PFS

S

α β

ε

+ −

=

+

+

, (4)

gdzie:

1

1

,

α β

– parametry strukturalne,

1,t n m

ε

+ −

– składnik losowy. W sytuacji, w której

hipoteza oczekiwań jest prawdziwa,

1

1

β

= . Zwiększenie (zmniejszenie) spredu

sygnalizuje wzrost (spadek) przyszłych stóp zwrotu z obligacji o krótszej zapadalności.

( , )

n m

t

S

(B) Stopy długie
Z równania (1) wyprowadza się także zależność

( , )

(

)

( )

n m

n m

n

t

t

t m

m

S

E R

n

m

−

+

t

R

⎡

⎤

=

−

⎣

⎦

−

. (5)

Spred

odzwierciedla oczekiwaną zmianę natychmiastowej stopy zwrotu z obligacji o

dłuższej zapadalności w ciągu

okresów. Tą z kolei zależność weryfikuje się za pomocą

regresji

( , )

n m

t

S

m

1

(

)

( )

( , )

2

2

2,

n m

n

n m

t m

t

t

t m

n

m

R

R

S

m

α

β

ε

−

+

+

− ⎡

⎤

−

=

+

+

⎣

⎦

,

(6)

gdzie:

2

,

2

α β

– parametry strukturalne,

2,t m

ε

+

– składnik losowy. W sytuacji, w której

hipoteza oczekiwań jest prawdziwa,

2

1

β

= . Zwiększenie (zmniejszenie) spredu

sygnalizuje wzrost (spadek) przyszłych stóp zwrotu z obligacji o dłuższej zapadalności.

( , )

n m

t

S

(C) Uwagi odnośnie do metody szacowania równań regresji (4) i (6)
Sposób szacowania równań regresji (4) i (6) zależy od własności składników losowych

1,t n m

ε

+ −

i

2,t m

ε

+

. W sytuacji, w której przypuszczenia odnośnie do przyszłych stóp zwrotu są

formułowane na gruncie racjonalnych oczekiwań, składniki te są nieskorelowane ze spredem

, stąd oba równania mogą być szacowane metodą najmniejszych kwadratów (MNK). Z

kolei dla n

i m większego od częstotliwości obserwacji składniki te są procesami

stochastycznymi typu średniej ruchomej rzędu odpowiednio

( , )

n m

t

S

m

−

1

n m

− − oraz

. Wówczas

błędy standardowe szacunku estymatorów parametrów strukturalnych

1

m

−

i

α

oraz

i

β

(

1, 2

i

=

)

wyznacza się używając procedury Newey’a-Westa lub Hansena-Hodricka.

Szeregi czasowe używane w procesie weryfikacji hipotezy oczekiwań i ich własności
Dane miesięczne, 1995M1-2008M12:

1

t

W W - WIBOR 1W,

1

t

W M – WIBOR 1M,

3

t

W M – WIBOR 3M,

6

t

W M – WIBOR 6M,

9

t

W M – WIBOR 9M,

12

t

W

M – WIBOR 12M,

1

t

t

DWxM

WxM

WxM

−

=

−

t

t

t

– pierwsze różnice zmiennych,

1

2

t

t

D WxM

DWxM

DWxM

−

=

−

–drugie różnice zmiennych,

t

t

SyMxM

WyM

WxM

=

−

– spred stóp procentowych,

(

)

( )

1

,

0

1

k

n m

m

m

t

t im

i

i

PFS

R

k

−

+

=

⎛

⎞

=

−

Δ

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

,

n

k

C

m

,

( )

( )

m

m

m

t

t m

t

R

R

R

+

Δ

=

−

,

+

= ∈

( )

( )

( )

( )

1

1

1

3

2

1

1

31

3

t

t

t

t

PFS

R

R

R

R

+

+

+

⎡

⎤

=

+

+

−

⎣

⎦

1

t

,

( )

( )

( )

( )

1

1

1

6

5

1

1

61

6

t

t

t

t

PFS

R

R

R

R

+

+

+

⎡

⎤

=

+

+ +

−

⎣

⎦

…

1

t

,

( )

( )

( )

( )

1

1

1

9

8

1

1

91

9

t

t

t

t

PFS

R

R

R

R

+

+

+

⎡

⎤

=

+

+ +

−

⎣

⎦

…

1

t

,

( )

( )

( )

( )

1

1

1

12

11

1

1

121

12

t

t

t

t

PFS

R

R

R

R

+

+

+

⎡

⎤

=

+

+

−

⎣

⎦

1

t

,

( )

( )

( )

3

3

6

3

1

63

2

t

t

t

PFS

R

R

R

+

+

⎡

⎤

=

+

−

⎣

⎦

3

t

,

( )

( )

( )

( )

3

3

3

9

6

3

1

93

3

t

t

t

t

PFS

R

R

R

R

+

+

+

⎡

⎤

=

+

+

−

⎣

⎦

3

t

,

( )

( )

( )

( )

( )

3

3

3

3

12

9

6

3

1

123

4

t

t

t

t

t

PFS

R

R

R

R

R

+

+

+

+

⎡

⎤

=

+

+

+

−

⎣

⎦

3

t

,

( )

( )

( )

6

6

12

6

1

126

2

t

t

t

PFS

R

R

R

+

+

⎡

⎤

=

+

−

⎣

⎦

6

t

,

2

(

)

( )

n m

n

t

t m

n

m

Lnm

R

R

m

−

+

− ⎡

⎤

=

−

⎣

⎦

t

⎤

⎦
⎤

⎦

⎤

⎦

⎤

⎦

,

( )

( )

( )

( )

2

3

3

3

1

1

31

2

2

t

t

t

t

t

L

R

R

R

R

+

+

⎡

⎤

⎡

=

−

≈

−

⎣

⎦

⎣

,

( )

( )

( )

( )

5

6

6

6

1

1

61

5

5

t

t

t

t

t

L

R

R

R

R

+

+

⎡

⎤

⎡

=

−

≈

−

⎣

⎦

⎣

,

( )

( )

( )

( )

8

9

9

9

1

1

91

8

8

t

t

t

t

t

L

R

R

R

R

+

+

⎡

⎤

⎡

=

−

≈

−

⎣

⎦

⎣

,

( )

( )

( )

( )

11

12

12

12

1

1

121 11

11

t

t

t

t

t

L

R

R

R

R

+

+

⎡

⎤

⎡

=

−

≈

−

⎣

⎦

⎣

,

( )

( )

3

6

3

63

t

t

t

L

R

R

+

=

−

,

( )

( )

6

9

3

93

2

t

t

t

L

R

R

+

⎡

⎤

=

−

⎣

⎦ ,

( )

( )

3

9

6

1

96

2

t

t

t

L

R

R

+

⎡

⎤

=

−

⎣

⎦ ,

( )

( )

9

12

3

123

3

t

t

t

L

R

R

+

⎡

⎤

=

−

⎣

⎦ ,

( )

( )

6

1

6

126

t

t

t

L

R

R

+

=

−

2

,

( )

( )

3

12

9

1

129

3

t

t

t

L

R

R

+

⎡

=

−

⎣

⎤

⎦

j

t

η

.

Stopień integracji zmiennych

Test pierwiastka jednostkowego ADF
Równanie pomocnicze:

0

1

1

1

k

t

t

j

t

j

Y

t

Y

Y

Δ

φ φ

δ

θ Δ

−

−

=

= +

+

+

+

∑

,

gdzie:

t

Y – zmienna poddana analizie,

0

1

1

, , , , ,

k

φ φ δ θ

θ

…

– parametry strukturalne

t

η

– składnik losowy.

Hipotezy:

0

:

H

0

δ

= – szereg czasowy zawiera pierwiastek jednostkowy (jest niestacjonarny),

t

Y

:

A

H

0

δ

< – szereg czasowy nie zawiera pierwiastka jednostkowego (jest stacjonarny).

t

Y

Opis testu, rozkład statystyki testowej

( )

t

δ

oraz wartości krytyczne [w] Magdalena Osińska,

Ekonometria finansowa. Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2006, s. 69-71.
Wyniki

Tabela 1: Wyniki testu ADF dla analizowanych zmiennych; dane miesięczne

z okresu styczeń 1995-grudzień 2008

Statystyka

Zmienna Liczba

obs.

DF/ADF Rząd aug.

W1M

t

W3M

t

W6M

t

W9M

t

W12M

t

ΔW1M

t

ΔW3M

t

ΔW6M

t

3

ΔW9M

t

ΔW12M

t

S3M1M

t

S6M1M

t

S9M1M

t

S12M1M

t

S6M3M

t

S9M3M

t

S9M6M

t

S12M3M

t

S12M6M

t

S12M9M

t

PFS31

t

PFS61

t

PFS91

t

PFS121

t

PFS63

t

PFS93

t

PFS123

t

PFS126

t

L31

t

L61

t

L91

t

L121

t

L63

t

L93

t

L96

t

L123

t

L126

t

L129

t

Wart. krytyczna

(

;

( )

0,05

1,95

t

δ

= −

2,89

−

3, 45

−

) dla

0

1

0

φ

φ

= =

(

0

1

0,

0

φ

φ

≠

= ;

0

1

0,

0

φ

φ

≠

= )

Zob. także testy ADF-GLS, Endersa-Grangera i KPSS.

Modelowanie spredu doskonale prognozowalnego oraz stóp dla depozytów o dłuższych
zapadalnościach

Tabela 2: Oszacowania równań regresji (4)

Parametry
strukturalne

Diagnostyka modelu

Zmienna
objaśniana

Liczba
obs.

α

i

β

i

Autokor. Heterosk.

R

2

PFS31

t

PFS61

t

PFS91

t

PFS121

t

4

PFS63

t

PFS93

t

PFS123

t

PFS126

t

W nawiasach pod ocenami parametrów strukturalnych ich błędy standardowe
szacunku; autokor. – statystyka LM o rozkł.

χ

2

(12); heterosc. – statystyka

White’a o rozkł.

χ

2

(1); czcionka pogrubiona – oceny błędów standardowych

szacunku z macierzy wariancji-kowariancji Newey’a-Westa z parametrem
obcięcia m=4;

∗ – istotność na poziomie istotności α=0,05

Tabela 3: Weryfikacja hipotezy oczekiwań struktury czasowej stóp procentowych

na podstawie regresji (4)

Hipoteza

Zmienna
objaśniana

Liczba
obs.

H

0

:

α

i

=0 H

0

:

β

i

=1 H

0

: (

α

i

=0

∧ β

i

=1)

PFS31

t

PFS61

t

PFS91

t

PFS121

t

PFS63

t

PFS93

t

PFS123

t

PFS126

t

Statystyka testowa o rozkładzie

χ

2

(k), k – liczba stopni swobody;

wartości krytyczne:

χ

2

0,05

(1)= 3,8415,

χ

2

0,05

(2)=5,9915

Tabela 4 : Oszacowania równań regresji (6)

Parametry
strukturalne

Diagnostyka modelu

Zmienna
objaśniana

Liczba
obs.

α

i

β

i

Autokor. Heterosk.

R

2

L31

t

L61

t

L91

t

L121

t

L63

t

L93

t

L96

t

5

L123

t

L126

t

L129

t

W nawiasach pod ocenami parametrów strukturalnych ich błędy standardowe
szacunku; autokor. – statystyka LM o rozkł.

χ

2

(12); heterosc. – statystyka

White’a o rozkł.

χ

2

(1); czcionka pogrubiona – oceny błędów standardowych

szacunku z macierzy wariancji-kowariancji Newey’a-Westa z parametrem
obcięcia m=4;

∗ – istotność na poziomie istotności α=0,05

Tabela 5: Weryfikacja hipotezy oczekiwań struktury czasowej stóp procentowych

na podstawie regresji (6)

Hipoteza

Zmienna
objaśniana

Liczba
obs.

H

0

:

α

i

=0 H

0

:

β

i

=1 H

0

: (

α

i

=0

∧ β

i

=1)

L31

t

L61

t

L91

t

L121

t

L63

t

L93

t

L96

t

L123

t

L126

t

L129

t

Statystyka testowa o rozkładzie

χ

2

(k), k – liczba stopni swobody;

wartości krytyczne:

χ

2

0,05

(1)= 3,8415,

χ

2

0,05

(2)=5,9915

Źródło: obliczenia własne

6