R ´

OWNANIA R ´

O ˙

ZNICZKOWE ZWYCZAJNE, SEMESTR LETNI 2012/2013

WYK LAD I ´

CWICZENIA W TYGODNIU ZACZYNAJA

¸ CYM SIE

¸ 25.02.2013

Wyk lad

1. Definicja r´

ownania r´

o˙zniczkowego zwyczajnego (RRZ) rz¸edu n, definicja rozwi¸

azania r´

ownania.

2. Przyk lad y

(n)

= f (x), gdzie f = f (x) jest dan¸

a funkcj¸

a, niejednoznaczno´

s´

c rozwi¸

azania.

3. Zagadnienie Cauchy’ego.

4. Definicja uk ladu r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych zwyczajnych.

5. Sprowadzenie dowolnego uk ladu r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych zwyczajnych do uk ladu r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych

zwyczajnych rz¸edu pierwszego. Uk lad normalny - uk lad r´

owna´

n rz¸edu pierwszego z wydzielon¸

a pochodn¸

a.

6. R´

ownania r´

o˙zniczkowe zwyczajne liniowe i nieliniowe, przyk lady.

7. R´

ownanie liniowe rz¸edu pierwszego o zmiennych wsp´

o lczynnikach, y

′

+ p(t)y = g(t). Rozwi¸

azanie

r´

ownania metod¸

a czynnika ca lkuj¸

acego.

Sugerowane zadania do przerobienia na ´

cwiczeniach

(niekt´

ore zadania mog¸

a by´

c opuszczone, inne za´

s dodane)

1. Narysowa´

c pole kierunk´

ow (w kilku punktach) dla r´

ownania y

′

= 3

− 2y. Korzystaj¸ac z tego pola

wektorowego, zbada´

c zachowanie si¸

e rozwi¸

azania y = y(t) gdy t

→ ∞. Czy to zachowanie zale˙zy od

warunku pocz¸

atkowego dla t = 0?

2. Narysowa´

c pole kierunk´

ow (w kilku punktach) dla r´

ownania y

′

= ty + t

2

.

3. Narysowa´

c pole kierunk´

ow (w kilku punktach) dla r´

ownania y

′

= y(4

− y). Korzystaj¸ac z tego pola

wektorowego, zbada´

c zachowanie si¸

e rozwi¸

azania y = y(t) gdy t

→ ∞. Czy to zachowanie zale˙zy od

warunku pocz¸

atkowego dla t = 0?

4. Rozwi¸

aza´

c r´

ownanie

dv

dt

= 9.8

−

v

5

z warunkiem pocz¸

atkowym v(0) = 0. Narysowa´

c kilka rozwi¸

aza´

n

z r´

o˙znymi warunkami pocz¸

atkowymi.

5. Wyprowadzi´

c r´

ownanie na rozk lad materia lu radioaktywnego, kiedy czas po lowy rozk ladu wynosi T

0

.

6. Wyja´

snienie prawa Newtona o och ladzaniu si¸

e obiektu.

Jesli T jest sta l¸

a temperatur¸

a otoczenia,

w´

owczas prawo to zapisuje si¸e r´

ownaniem

du

dt

=

−k(u − T ), gdzie u = u(t) jest temperatur¸a obiektu

w czasie t, a k jest sta l¸

a dodatni¸

a.

7. Zbada´

c liniowo´

s´

c r´

ownania t

2

d

2

y

dt

2

+ t

dy

dt

+ 2y = sin t.

8. Zbada´

c liniowo´

s´

c r´

ownania y

2

d

2

y

dt

2

+ t

dy

dt

+ 2y = sin t.

9. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′

+ (cos t)y = 0.

10. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania

dy

dt

+

1

2

y =

1

2

e

t/3

.

Zadania domowe

1. Narysowa´

c pole kierunk´

ow (w kilku punktach) dla r´

ownania y

′

= 2y

− 3. Korzystaj¸ac z tego pola

wektorowego, zbada´

c zachowanie si¸e rozwi¸

azania y = y(t) gdy t

→ ∞. Czy to zachowanie zale˙zy od

warunku pocz¸

atkowego dla t = 0?

2. Narysowa´

c pole kierunk´

ow (w kilku punktach) dla r´

ownania y

′

= y + 2. Korzystaj¸

ac z tego pola

wektorowego, zbada´

c zachowanie si¸

e rozwi¸

azania y = y(t) gdy t

→ ∞. Czy to zachowanie zale˙zy od

warunku pocz¸

atkowego dla t = 0?

3. Narysowa´

c pole kierunk´

ow (w kilku punktach) dla r´

ownania y

′

= 2t

− 1 − y

2

. Korzystaj¸

ac z tego pola

wektorowego, zbada´

c zachowanie si¸

e rozwi¸

azania y = y(t) gdy t

→ ∞. Czy to zachowanie zale˙zy od

warunku pocz¸

atkowego dla t = 0?

4. Narysowa´

c pole kierunk´

ow (w kilku punktach) dla r´

ownania y

′

= y(y

− 2)

2

. Korzystaj¸

ac z tego pola

wektorowego, zbada´

c zachowanie si¸

e rozwi¸

azania y = y(t) gdy t

→ ∞. Czy to zachowanie zale˙zy od

warunku pocz¸

atkowego dla t = 0?

5. Kulista kropla wody wyparowuje proporcjonalnie do jej powierzchni. Napisa´

c r´

ownanie r´

o˙zniczkowe

na obj¸eto´

s´

c kropli jako funkcji czasu.

6. Pewne lekarstwo jest do˙zylnie podawane pacjentowi w szpitalu. P lyn zawieraj¸

acy 5 mg/cm

3

tego

lekarstwa wchodzi do obiegu krwiono´

snego pacjenta z szybko´

sci¸

a 100 cm

3

/h.

Lekarstwo jest ab-

sorbowane przez tkanki lub opuszcza system krwiono´

sny z szybko´

sci¸

a proporcjonaln¸

a do ilo´

sci w sys-

temie, ze sta l¸

a proporcjonalno´

sci 0.4 h

−1

.

(a) Napisa´

c r´

ownanie r´

o˙zniczkowe na ilo´

s´

c lekarstwa w obiegu krwiono´

snym w czasie t.

(b) Przyjmujemy, ˙ze dla t = 0, ilo´

s´

c lekarstwa wynosi zero. Ile lekarstwa pozostaje w uk ladzie krwio-

no´

snym po bardzo d lugim czasie?

7. Rozwi¸

aza´

c problem

dy

dt

=

−y + 5 z warunkiem pocz¸atkowym y(0) = y

0

.

8. Radium-226 ma czas po lowy rozk ladu 1620 lat. Obliczy´

c okres podczas kt´

orego ilo´

s´

c tego materia lu

radioaktywnego zmniejsza si¸e do ´

cwierci oryginalnej wielko´

sci.

9. Rozwi¸

aza´

c r´

ownanie z prawa Newtona o och ladzaniu si¸

e obiektu.

10. Niech dany b¸

edzie zbiornik zawieraj¸

acy 1000 L czystej wody. Woda zawieraj¸

aca pewn¸

a substancj¸e

chemiczn¸

a w ilo´

sci 1g/L wp lywa do zbiornika z szybko´

sci¸

a 300 L/h, jest wszystko dok ladnie wymieszane

w zbiorniku, i jednocze´

snie wyp lywa mieszanka w takim samym tempie ze zbiornika.

(a) Niech Q(t) oznacza ilo´

s´

c substancji chemicznej w zbiorniku w czasie t.

Znale´

z´

c odpowiednie

r´

ownanie r´

o˙zniczkowe z warunkiem pocz¸

atkowym (problem pocz¸

atkowy) dla Q(t).

(b) Rozwi¸

aza´

c problem pocz¸

atkowy z punktu (a).

(c) Ile substancji chemicznej b¸

edzie w zbiorniku po jednym roku?

11. Zbada´

c liniowo´

s´

c r´

ownania (1 + y

2

)

d

2

y

dt

2

+ t

dy

dt

+ y = e

t

.

12. Zbada´

c liniowo´

s´

c r´

ownania

d

2

y

dt

2

+ sin(t + y) = sin t.

13. Zbada´

c liniowo´

s´

c r´

ownania

d

3

y

dt

3

+ t

dy

dt

+ (cos t)y = t

3

.

14. Znale´

z´

c wszystkie warto´

sci r dla kt´

orych funkcja y(t) = e

rt

jest rozwi¸

azaniem r´

ownania y

′′

+y

′

−6y = 0.

15. Znale´

z´

c wszystkie warto´

sci r dla kt´

orych funkcja y(t) = e

rt

jest rozwi¸

azaniem r´

ownania y

′′′

−3y

′′

+2y

′

=

0.

16. Znale´

z´

c wszystkie warto´

sci r dla kt´

orych funkcja y(t) = t

r

jest rozwi¸

azaniem r´

ownania t

2

y

′′

+4ty

′

+2y =

0.

17. Znale´

z´

c wszystkie warto´

sci r dla kt´

orych funkcja y(t) = t

r

jest rozwi¸

azaniem r´

ownania t

2

y

′′

−4ty

′

+4y =

0.

18. Znale´

z´

c og´

olne rozwi¸

azanie r´

ownania y

′

+ 2ty = 2te

−t

2

.

19. Znale´

z´

c og´

olne rozwi¸

azanie r´

ownania ty

′

+ 2y = t

2

− t + 1.

20. Rozpatrzmy problem pocz¸

atkowy y

′

+

2
3

y = 1

−

1
2

t, y(0) = y

0

. Znale´

z´

c tak¸

a warto´

s´

c y

0

dla kt´

orej

rozwi¸

azanie dotyka, lecz nie przecina t-osi.