Wykład drugi

Ciągi liczbowe

Def. 1.

Ciągiem liczbowym

(nieskończonym) nazywamy każdą funkcję a określoną na zbiorze

liczb naturalnych N o wartościach rzeczywistych. Wartość funkcji a(n) oznacza się przez a

n

i

nazywa n - tym wyrazem ciągu (a

n

).

Ciąg (a

n

) jest

1.

rosnący

, jeśli a

n

< a

n+1

dla każdej liczby naturalnej n;

2.

niemalejący

, jeśli a

n

¬ a

n+1

dla każdej liczby naturalnej n;

3.

malejący

, jeśli a

n

> a

n+1

dla każdej liczby naturalnej n;

4.

nierosnący

, jeśli a

n

­ a

n+1

dla każdej liczby naturalnej n.

Ciąg (a

n

) jest

1.

ograniczony z góry

, jeśli ∃M ∈ R ∀n ∈ N [a

n

¬ M ];

2.

ograniczony z dołu

, jeśli ∃m ∈ R ∀n ∈ N [a

n

­ m];

3.

ograniczony

, jeśli jest ograniczony z dołu i z góry.

Def. 2. Liczba a ∈ R jest

granicą ciągu

liczbowego (a

n

) (ozn, lim

n→∞

a

n

= a), jeżeli

∀ > 0 ∃n

0

∈ N ∀n > n

0

|a

n

− a| < 

Ciąg jest

zbieżny

, jeśli posiada granicę liczbową. Ciąg jest

rozbieżny

, jeśli zachodzi jeden z

warunków:

1. nie posiada granicy;

2. ∀M ∈ R ∃n

0

∈ N ∀n > n

0

a

n

> M - jest rozbieżny do +∞ (ozn. lim

n→∞

a

n

= +∞);

3. ∀m ∈ R ∃n

0

∈ N ∀n > n

0

a

n

< m - jest rozbieżny do −∞ (ozn. lim

n→∞

a

n

= −∞).

Twierdzenia o ciągach

1. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

2. Jeżeli lim

n→∞

a

n

= a, to lim

n→∞

|a

n

| = |a|. (implikacja w drugą stronę jest prawdziwa tylko dla

a = 0)

3. Jeżeli lim

n→∞

a

n

= a i lim

n→∞

b

n

= b oraz istnieje n

0

∈ N takie, że a

n

¬ b

n

dla n ­ n

0

, to a ¬ b.

4. (tw. o 3 ciągach) Jeżeli lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a oraz istnieje n

0

∈ N takie,że a

n

¬ b

n

¬ c

n

dla n ­ n

0

, to lim

n→∞

b

n

= a.

5. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

1

6. (tw. o działaniach arytmetycznych na granicach) Jeżeli lim

n→∞

a

n

= a i lim

n→∞

b

n

= b, to ciągi

(a

n

+ b

n

) , (a

n

− b

n

) , (a

n

b

n

) ,



a

n

b

n



b

n

6= 0 są zbieżne i

(a) lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = a + b

(b) lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = a − b

(c) lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = a · b

(d) jeśli b 6= 0, to lim

n→∞



a

n

b

n



=

a

b

Znane granice

1. lim

n→∞

n

√

a = 1 , dla a > 0;

2. lim

n→∞

n

√

n = 1;

3. lim

n→∞

a

n

=



















0

gdy |a| < 1

1

gdy a = 1

+∞

gdy a > 1

nie istnieje gdy a ¬ −1

4. lim

n→∞



1 +

1

n



n

= e , lim

n→∞



1 −

1

n



n

=

1

e

Oznaczenia

O = (x

0

− δ ; x

0

+ δ) –

otoczenie

punktu x

0

∈ R o promieniu δ

S = (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

; x

0

+ δ) –

sąsiedztwo

punktu x

0

∈ R o promieniu δ

(x

0

− δ ; x

0

) –

sąsiedztwo lewostronne

punktu x

0

∈ R

(x

0

; x

0

+ δ) –

sąsiedztwo prawostronne

punktu x

0

∈ R

δ - dowolnie mała liczba dodatnia.

Granica funkcji

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

; x

0

+ δ).

Def. Liczba g jest

granicą

funkcji f w punkcie x

0

(ozn. lim

x→x

0

f (x) = g), jeśli spełniony jest jeden

z dwóch równoważnych warunków:

(1) ∀ > 0∃δ > 0 [|x − x

0

| < δ ⇒ |f (x) − g| < ] - def.Cauchy’go

(2) ∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → g)] – def.Heinego

Uwaga 1. Jeżeli istnieje ciąg (x

n

) taki, że (x

n

→ x

0

) ∧ (f (x

n

) → g

1

) ∧ g

1

6= g, to lim

x→x

0

f (x) 6= g.

Jeżeli istnieją dwa różne ciągi (x

0

n

), (x

”
n

) takie, że

(x

0

n

→ x

0

) ∧ (f (x

0

n

) → g

1

) i (x

”
n

→ x

0

) ∧ (f (x

”
n

) → g

2

) oraz g

1

6= g

2

,

2

y = sin(1/x)

w punkcie x = 0 nie

istnieje granica funkcji

-0.04

-0.02

0.02

X

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Y

to lim

x→x

0

f (x) nie istnieje.

Tw.1 ( działaniach arytmetycznych na granicach). Jeżeli funkcje f

1

,f

2

są określone na pewnym

sąsiedztwie punktu x

0

oraz lim

x→x

0

f

1

(x) = g

1

i lim

x→x

0

f

2

(x) = g

2

, to

1. lim

x→x

0

(f

1

(x) + f

2

(x) = g

1

+ g

2

,

2. lim

x→x

0

(f

1

(x) − f

2

(x) = g

1

− g

2

,

3. lim

x→x

0

f

1

(x) · f

2

(x) = g

1

· g

2

,

4. lim

x→x

0

f

1

(x)

f

2

(x)

=

g

1

g

2

, jeśli g

2

6= 0.

Tw.2 (O trzech funkcjach) Jeżeli w pewnym sąsiedztwie S punktu x

0

zachodzą nierówności

f (x) ¬ h(x) ¬ k(x) dla każdego x ∈ S oraz lim

x→x

0

f (x) = lim

x→x

0

k(x) = g, to lim

x→x

0

h(x) = g.

Tw.3 (O granicy funkcji złożonej) Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = g, f (x) 6= g dla x 6= x

0

oraz lim

y→g

h(y) = p,

to lim

x→x

0

h(f (x)) = p.

Def. Liczba g jest

granicą lewostronną

(odp.

granicą prawostronną

) funkcji f w punkcie x

0

,

(ozn. lim

x→x

−
0

f (x) = g, odp. lim

x→x

+
0

f (x) = g) jeśli

∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

< x

0

∧ x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → g)]

(odp.∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

> x

0

∧ x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → g)])

Tw.4 lim

x→x

0

f (x) = g ⇔ lim

x→x

−
0

f (x) = lim

x→x

+
0

f (x) = g.

Uwaga 2. Twierdzenia (1)–(3) pozostają prawdziwe dla granic jednostronnych.

Ważne granice. lim

x→0

sin x

x

= 1, lim

x→0

a

x

− 1

x

= ln a (lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1).

3

y = sinx/x dla x ¹ 0

y = 1 dla x = 0

-15

-10

-5

5

10

X

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Y

Granice niewłaściwe

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

; x

0

+ δ).

Def. Funkcja f posiada w punkcie x

0

granicę niewłaściwą +∞ (odp.−∞) (ozn. lim

x→x

0

f (x) = +∞,

odp. lim

x→x

0

f (x) = −∞), jeśli

∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → +∞)]

odp.∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → −∞)]

Granice w nieskończoności

Def. Funkcja f posiada w +∞ granicę g, jeśli

∀(x

n

) ⊂ D

f

[(x

n

→ +∞) ⇒ (f (x

n

) → g)]. (ozn. lim

x→+∞

f (x) = g)

Podobnie definiuje się granice w −∞ (właściwe i niewłaściwe).

Uwaga 3. Twierdzenia (1)–(3) pozostają prawdziwe dla granic w nieskończoności.

Ważne granice. lim

x→+∞



1 +

1

x



x

= lim

x→−∞



1 +

1

x



x

= e, lim

x→+∞



1 −

1

x



x

=

1

e

.

Symbole nieoznaczone

0

0

,

∞
∞

, ∞ − ∞ , 0 · ∞ , 0

0

, ∞

0

, 1

∞

4