1

BETON JAKO MATERIAŁ KONSTRUKCYJNY

5.1. Uwagi wstępne

5.2. Wytrzymałość próbek i wytrzymałość betonu w konstrukcji

5.3. Wytrzymałość na ściskanie – badanie próbek

5.4. Badanie wytrzymałości na rozciąganie

5.5. Wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie i klasy betonu

5.5.1. Wytrzymałość betonu jako zmienna losowa

5.5.2. Wytrzymałość charakterystyczna betonu – definicja, ocena zgodności ze

specyfikacją

5.5.3. Klasy wytrzymałości i znormalizowane cechy mechaniczne betonu

5.6. Wytrzymałość obliczeniowa

5.7. Zależność naprężenie – odkształcenie przy obciążeniu krótkotrwałym

5.8. Wpływ wieku na wytrzymałość i moduł sprężystości betonu

5.9. Hipotezy wytężeniowe i beton skrępowany

Uwagi: Można rozwinąć zagadnienia wytężenia i dodać coś o mechanice pękania

2

BETON JAKO MATERIAŁ KONSTRUKCYJNY

Beton -

sztuczny kamień

- kruszywo, drobne kryształy i koloidy powstałe w wyniku

hydratacji i krystalizacji zaczynu, woda i para wodna.

Betony

zwykłe

- 20 ÷ 28 kN/m

3

(zwykle w zestawieniach obciążeń przyjmuje się

24kN/m

3

, żelbet 25 kN/m

3

)

Betony

lekkie

- projektowanie na podstawie norm pokrewnych, opartych na normie

dotyczącej betonu zwykłego (w normie - jeden z rozdziałów)

Betony

ciężkie

– do celów specjalnych (np. budowle w energetyce jądrowej).

5.2. Wytrzymałość próbek i wytrzymałość betonu w konstrukcji

Podstawową własnością betonu jest wytrzymałość na ściskanie. Zwykle do celów
praktycznych inne cechy mechaniczne wyznacza się na podstawie tablic z normy, w
których wartości charakteryzujące te inne cechy (np. wytrzymałość na rozciąganie,
moduł sprężystości, odkształcenia graniczne) są przyporządkowane wytrzymałości
na ściskanie. Inna możliwość to eksperymentalne wyznaczanie tych cech, stosowane
wtedy, gdy precyzyjne określenie ich wartości ma szczególne znaczenie.

5.1. Uwagi wstępne

3

Projektując konstrukcję zakłada się, że wytrzymałość betonu jest stałą materiałową,
tzn. że każdy

myślowo wycięty z konstrukcji element z betonu ma taką samą

wytrzymałość.

Tak rozumiana wytrzymałość jest pojęciem

abstrakcyjnym

, które nie odpowiada

ściśle rzeczywistości. Np. obszary betonu przylegające do deskowania mają często
wytrzymałość

większą

niż obszary leżące w

głębi

(tzw. efekt ściany), gdyż przy

brzegu występuje mniejsze zagęszczenie kruszywa grubego, a więc większy jest
udział zaprawy i zaczynu, które są bogatsze w cement. Zjawisko to ma oczywiście
większy wpływ na elementy małe niż na duże. Tym niemniej idea wytrzymałości
niezależnej od kształtu i rozmiarów elementu jest użyteczna i na ogół wystarczająca
do celów praktycznych.

Wytrzymałość wyznacza się eksperymentalnie na podstawie badań próbek. Wyniki
takich badań zależą od czynników, które są związane z techniką przeprowadzania
doświadczenia, a nie tylko – jak chcielibyśmy – z właściwościami samego betonu.
Wyniki badań próbek zależą od techniki zagęszczania i pielęgnacji próbek, a
wytrzymałość betonu w konstrukcji od techniki wznoszenia konstrukcji.

4

Dlatego sposób badania musi być

znormalizowany

. Także maszyna do badań

powinna być zgodna z odpowiednią normą (PN-EN 12390-4:2001). Wtedy wyniki
badań uzyskane w różnych laboratoriach można

porównywać

, a do określania

wytrzymałości betonu w konstrukcji stosować

jednolite

postępowanie, w którym

bierze się pod uwagę różnicę między próbkami a większymi od nich elementami
konstrukcji.

5.3. Wytrzymałość na ściskanie – badanie próbek

Wymagania dotyczące betonu są określone w wielu normach. Podstawowe znaczenie
ma norma europejska:
PN-EN 206-1: Beton. Część 1: Wymagania, właściwości, produkcja i zgodność,
czerwiec 2003
Komentarze i wyjaśnienia do tej, niezbyt jasnej, normy można znaleźć w:
Beton według normy PN-EN 206-1 - komentarz (praca zbiorowa pod kierunkiem L.
Czarneckiego), Polski Cement, Kraków 2004

5

Norma PN-EN 206-1 powołuje się na ponad 20 innych norm dotyczących
właściwości składników betonu i metod badań.

Badania wytrzymałości dotyczą normy:
PN-EN 12390-1: 2001 Badania betonu – Część 1: Kształt, wymiary i inne
wymagania dotyczące próbek do badania i form
PN-EN 12390-2: 2001 Badania betonu – Część 2: Wykonywanie i pielęgnacja
próbek do badań wytrzymałościowych
PN-EN 12390-2: 2002 Badania betonu – Część 3: Wytrzymałość na ściskanie
próbek do badania
PN-EN 12390-6: 2001 Badania betonu – Część 6: Wytrzymałość na rozciąganie
przy rozłupywaniu próbek do badania
Norma PN-EN 12390-5 (nie zacytowana w PN-EN 206-1) dotyczy badania
wytrzymałości betonu na zginanie).

Uwaga. Przed wejściem w życie normy PN-EN 206-1 niektóre omówione tu
zagadnienia były znormalizowane w PN-88/B-06250. Beton zwykły (dziś nieaktualna).

6

Wytrzymałość na ściskanie określa się na podstawie badań próbek

sześciennych

o

boku 150 mm (wytrzymałość kostkowa f

c,cube

) lub próbek

walcowych

o średnicy

150 mm i wysokości 300 mm (wytrzymałość walcowa f

c,cyl

). Zwykle badanie

przeprowadza się po 28 dniach dojrzewania.

150

300

P

Walec - próbka

podstawowa

według Eurokodu (także USA)

Sześcian o boku 150 mm
według norm polskich
(także wielu innych),
dozwolony wg Eurokodu

160

160

Walec wg norm
polskich przed 1975 r. -
tzw. szesnastka

Można stosować także inne próbki pod warunkiem, że związek
wyników badań tych próbek z wynikami normowymi zostanie
ustalony i udokumentowany z wystarczającą dokładnością.

7

Przeliczanie wyników uzyskanych na różnych próbkach. Np. (dane orientacyjne),
żeby uzyskać "wytrzymałość" kostek 15 cm wynik uzyskany na kostkach 20 cm
należy pomnożyć przez 1,05, a wynik na kostkach 10 cm przez 0,90.

"Techniczny" charakter "wytrzymałości" wyznaczonej przez badanie próbek – na
wyniki wpływ mają

tempo

obciążania, stosowanie

podkładek

(np. sklejka 4 mm,

gips) lub

wyrównywania

powierzchni. Dziś stosuje się

wyrównywanie

powierzchni przez szlifowanie lub nakładanie cienkiej warstwy wyrównującej
(zaprawy z cementem glinowym lub mieszanki siarkowe, nakładki piaskowe).

Wygląd próbki po zniszczeniu (wpływ sił tarcia, zniszczenie próbek badanych
z wyeliminowaniem tarcia).

8

Wyniki badania

zależą

od:

• wysokości i proporcji próbki,
• rozmiarów (efekt skali - jego przyczyny na tle statystycznej teorii wytrzymałości
i mechaniki pękania),
• kształtu próbki,
• warunków przekazania obciążenia (mniej lub bardziej dokładna realizacja
jednorodnego osiowego ściskania, tempo obciążania).

5.4. Badanie wytrzymałości na rozciąganie

t - tension, rozciąganie

P

Badanie wytrzymałości przez rozciąganie

osiowe

próbek

c

n

ct

A

P

f

=

9

Badanie wytrzymałości na rozciąganie przez rozłupywanie walców lub kostek
(metoda brazylijska - tensile splitting strength).

d

L

F

2

,

2

d

F

f

sp

ct

π

=

Walec:

Sześcian o boku d:

d

L

F

f

sp

ct

π

2

,

=

Według normy można przyjmować: f

ct

= 0,9f

ct,sp

10

Wytrzymałość na rozciąganie przy zginaniu (flexural tensile strength)

l/3

l/3

l/3

P

n

M

n

b

h

f

ct

6

3

1

2

bh

l

P

W

M

f

n

n

fl

,

ctm

=

=

Wytrzymałość na
rozciąganie przy zginaniu
jest większa niż przy
rozciąganiu osiowym.

1,6

1,0

600 mm

h

ctm

fl

,

ctm

f

f

Zwykle jednak wytrzymałość na
rozciąganie określa się na podstawie
wytrzymałości na ściskanie, korzystając
z tablicy w normie.

11

Wyniki badań próbek wykazują

losowe

fluktuacje; wskaźnik zmienności wyników

doświadczeń zwykle wynosi od

kilku do kilkunastu procent

. Wytrzymałość jest więc

zmienną losową. Za podstawę zastosowań praktycznych przyjęto wytrzymałość
charakterystyczną.

Doświadczenie (abstrakcyjne) polegające na badaniu dużej liczby próbek pochodzących
z jednorodnej populacji.

g(f)

f

f

i

f

i+1

Funkcja gęstości rozkładu
zmiennej losowej

Stosunek liczby wyników z
przedziału (f

i

, f

i+1

) do

liczby prób

5.5. Wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie i klasy betonu

5.5.1. Wytrzymałość betonu jako zmienna losowa

12

f

1

f

2

f

(

)

∫

=

<

<

2

1

)

(

2

1

f

f

df

f

g

f

f

f

P

Funkcja gęstości rozkładu wytrzymałości betonu f

Wytrzymałość średnia:

f

m

(m -medium - średni)

Odchylenie standardowe s

n

(z próby, estymator odchylenia standardowego

wyznaczony na podstawie n wyników)

(

)

1

1

2

−

−

=

∑

=

n

f

f

s

n

i

m

i

n

f

p

- kwantyl rzędu p - wartość taka, że:

(

)

p

f

f

P

p

=

<

Np. kwantyl rzędu 0,05:

(

)

05

,

0

05

,

0

=

< f

f

P

13

Interpretacja

geometryczna

kwantyla

rzędu

0,05

(na

przykładzie

wytrzymałości betonu f

c

)

g(f

c

)

k

n

s

n

f

c

f

cm

f

c

pole równe 1,0

Pole równe 0,05

Estymator kwantyla rzędu p:

n

n

cm

p

s

k

f

f

−

=

Jeżeli informacje o zmiennej losowej czerpiemy wyłącznie z rozpatrywanego
doświadczenia, to współczynnik k

n

zależy od rozkładu zmiennej losowej, rzędu

wyznaczanego kwantyla i od liczby prób n. Jeżeli – jak często się zakłada –
zmienna losowa ma rozkład

normalny

, to przy n → ∞ dla kwantyla rzędu 0,05

współczynnik ten wynosi w przybliżeniu 1,64.

14

5.5.2. Wytrzymałość charakterystyczna betonu – definicja, ocena zgodności ze
specyfikacją

Według PN-EN 1990: 2002 Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji „wartość
charakterystyczna (X

k

lub R

k

)” to „wartość właściwości materiału lub wyrobu,

odpowiadająca założonemu

prawdopodobieństwu nieprzekroczenia

w teoretycznie

nieograniczonej serii prób. Zwykle odpowiada ona określonemu kwantylowi
przyjętego rozkładu statystycznego określonej właściwości materiału lub wyrobu. W
pewnych okolicznościach za wartość charakterystyczną przyjmuje się wartość
nominalną”.

Według EN-206-1 wytrzymałość charakterystyczna to „wartość wytrzymałości,

poniżej której może się znaleźć 5%

populacji wszystkich możliwych oznaczeń

wytrzymałości dla danej objętości betonu” (Niejasne – co oznacza w tym kontekście
słowo „może”. Należy się domyślać, że w definicji w EN-206-1 chodzi o 5% kwantyl,
ale dlaczego nie użyto po prostu tego słowa - może autorzy EN 206-1 uważali, że
pojęcie „kwantyl” przekracza możliwości intelektualne osób zajmujących się
betonem).

Tak więc za wytrzymałość charakterystyczną betonu f

ck

będziemy uważali kwantyl

rzędu 0,05 wytrzymałości walcowej f

c,cyl

.

15

Wartość f

ck

wyznacza się empirycznie na podstawie

badań próbek

(można stosować

także próbki kostkowe – wtedy wynik badań powinien być odpowiednio większy,
wg zasady wyrażonej w nazwach klas betonu. Np. próbki walcowe z betonu C30/37
powinny spełniać wymagania zgodności dla f

ck

= 30 MPa a próbki kostkowe dla

wytrzymałości 37 MPa .

Jeżeli założyć, że wytrzymałość ta ma rozkład normalny, to w wyniku „teoretycznie
nieograniczonej serii prób”, w której odchylenie standardowe wyniosło s:

s

,

f

f

cm

ck

64

1

−

=

Przy

ograniczonej

liczbie prób w grę wchodzi zagadnienie wymaganego poziomu

ufności

i przy racjonalnym poziomie ufności wartości k

n

są większe.

Z drugiej strony, rzadko (a może nigdy) zdarza się taka sytuacja, żeby ocena
wytrzymałości była oparta wyłącznie na wynikach rozpatrywanej właśnie próby -
zwykle dysponujemy doświadczeniem z

wcześniejszych

badań. Dlatego

sprawdzając, czy osiągnięto wymaganą wytrzymałość charakterystyczną rozróżnia
się produkcję

początkową

i produkcję

ciągłą

.

16

Przykład tzw. „skróconego oznaczenia” betonu projektowanego (nie zajmujemy się
tu betonem recepturowym) obejmującego podstawowe dane, które powinny być
zawarte w specyfikacji:

EN 206-1; C30/37; XC2 (PL); Cl 0,2; D

max

8; V2.

Skrót ten oznacza, że beton zgodny z EN 206-1, ma wytrzymałość

charakterystyczną

odpowiadającą klasie C30/37 (tzn. f

ck

wynosi co najmniej 30 MPa), graniczne

wartości składu betonu (np. zawartości cementu i w/c) są odpowiednie dla

klasy

ekspozycji

XC2 według przepisów polskich, klasa

zawartości chlorków

wynosi

Cl 0,2, maksymalny

wymiar ziaren kruszywa

8 mm,

konsystencja

mieszanki V2.

Wyznaczanie (sprawdzanie) f

ck

betonu jest związane z pobieraniem próbek z

pewnej

populacji

. W zależności od tej populacji i od celu badań mogą wystąpić następujące

zagadnienia

Kontrola f

ck

jest elementem kontroli produkcji, której powinien podlegać beton

(wyczerpujące informacje w PN-EN 206-1). Producent jest odpowiedzialny za

zgodność

betonu ze specyfikacją, która powinna obejmować wszystkie istotne wymagania.

17

B) Badania elementów z betonu do celów naukowych lub
technicznych (Projektowanie wspomagane badaniami według normy PN-
EN 1990: 2000 Podstawy projektowania konstrukcji).

C) Ocena wytrzymałości charakterystycznej betonu w istniejącej
konstrukcji

A) Badania związane z produkcją betonu
A1) kontrola zgodności ze specyfikacją,
A2) badanie wstępne,
A3) badanie identyczności

W żadnym z tych przypadków nie dysponujemy wynikami „teoretycznie
nieograniczonej serii prób” – zachodzi potrzeba estymacji parametrów
rozkładu na podstawie ograniczonej liczby próbek.

A1) Kontrola zgodności ze specyfikacją przy produkcji betonu
Producent (np. wytwórnia betonu) produkuje beton – wymagane
właściwości (w tym wytrzymałość charakterystyczna) są określone w
specyfikacji – producent ma obowiązek sprawdzania, czy beton jest
zgodny z tą specyfikacją (ocena zgodności). To zagadnienie występuje
przy każdej budowie.

18

Do określenia kryteriów zgodności zastosowano w normie metodę funkcji operacyjno-
charakterystycznych (operating characteristic curves) – jest to pewna metoda
statystycznego sterowania jakością (PN-ISO 3534-2: 1994 Statystyka. Statystyczne
sterowanie jakością. Terminologia i symbole).

Rozróżnia się produkcję początkową i produkcję ciągłą.

Produkcja początkowa (zaczynamy produkować beton według nowej specyfikacji). Z
pierwszych 50 m

3

pobiera się 3 próbki, a następnie jedną próbkę z każdych 200 m

3

lub

dwie na tydzień produkcji (wymagana częstotliwość pobierania próbek zależy od tego,
czy produkcja betonu jest certyfikowana, tzn. kontrola produkcji prowadzona przez
producenta jest oceniana i nadzorowana, a następnie poświadczana przez „uznaną
jednostkę certyfikującą” - tu założono, że produkcja jest certyfikowana). Produkcja
początkowa zostaje uznana za zakończoną, gdy uzyska się co najmniej 35 wyników
badań, w okresie nie dłuższym niż 12 miesięcy.
Rozpatruje się serie po trzy próbki. Beton uznaje się za zgodny (ze specyfikacją, w
której wymaga się wytrzymałości charakterystycznej f

ck

) wtedy, gdy spełnione jest tzw.

podwójne kryterium zgodności, tzn. średnia w każdej serii f

cm

spełnia zależność

(wszystkie wytrzymałości w MPa)

f

cm

≥ f

ck

+ 4,

a wytrzymałość każdej pojedynczej próbki

f

ci

≥ f

ck

– 4.

19

Produkcja ciągła (tzn. po wcześniejszym wyprodukowaniu takiej ilości betonu,
która pozwala uznać produkcję początkową za zakończoną). Próbki pobiera się
rzadziej - jedną próbkę z każdych 400 m

3

lub jedną na tydzień produkcji (mowa

tu o produkcji certyfikowanej) i bada się serie złożone z nie mniej 15 próbek.
Kryterium zgodności ma teraz postać:

f

cm

≥ f

ck

+ 1,48σ,

f

ci

≥ f

ck

– 4.

Jako oszacowanie odchylenia standardowego σ stosuje się wartość s (według
wzoru na odchylenie wyznaczone z próby) obliczoną na podstawie co najmniej 35
wyników badań uzyskanych w okresie trzech miesięcy bezpośrednio
poprzedzających sprawdzenie zgodności. Tę wartość odchylenia standardowego
stosuje się tak długo, jak długo odchylenie standardowe ostatnich 15 oznaczeń s

15

spełnia warunek

0,63σ ≤ s

15

≤ 1,37σ.

Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, to należy zmienić wartość σ (norma
podaje tu dwie metody).

20

A2. Badania wstępne
Badaniami wstępnymi nazywa się badania prowadzone w celu ustalenia

składu betonu

,

który ma

spełnić określone wymagania

– wykonuje się je przed zastosowaniem nowego

betonu (rodziny betonów). Podane w normie kryteria akceptacji są w tym przypadku
określone z zapasem (f

cm

= f

ck

+ 12 MPa), co ma zapewnić późniejszą zgodność z

wymaganiami wg A1. Warto zauważyć, że w PN-EN 206-1 nie bierze się pod uwagę
ewentualnych negatywnych konsekwencji nadmiernej wytrzymałości betonu).

A3) Badanie identyczności
Badanie identyczności to sprawdzanie,

czy określona objętość betonu rzeczywiście

należy do populacji

, która jest weryfikowana przez badanie zgodności wg p.A1.

Przeprowadza się je, gdy np. istnieją wątpliwości co do jakości zarobu lub ładunku, lub
jeśli wymaga tego specyfikacja (np. specyfikacja może wymagać zbadania betonu
przeznaczonego na grupę belek lub słupów). Pobiera się od 2 do 6 próbek.
W Załączniku B do PN-EN 206-1 zamieszczono zależne od liczby tych próbek kryteria
stosowane przy badaniu identyczności

21

B) Badania elementów z betonu do celów naukowych lub technicznych
(Design assisted by testing - część normy PN-EN 1990: 2000 Podstawy
projektowania konstrukcji).

Jeżeli wynik badań ma być zastosowany w praktyce, to często trzeba go uzależnić
od charakterystycznej wytrzymałości betonu – zachodzi potrzeba wyznaczenia tej
wytrzymałości na podstawie badań próbek.
Ilości betonu, które występują w takich doświadczeniach, są wielokrotnie

mniejsze

od uzyskiwanych w produkcji ciągłej – zasady pobierania próbek

stosowane do produkcji

tu nie dadzą się zastosować

(trzeba przyjąć zasady

odpowiednie dla wykonywanego eksperymentu). Współczynniki k

n

we wzorze na

estymator kwantyla (tablica D1 w PN-EN 1990) są zależne od liczby prób i od
tego, czy odchylenie standardowe jest znane „a priori”, czy też jest nieznane.
Warto zauważyć, że dla n = 1 przy znanym odchyleniu standardowym k

n

= 2,31,

co umożliwia wnioskowanie na podstawie jednej próby (ważne przy kosztownych,
wykonywanych jednorazowo doświadczeniach – np. badanie całej budowli).

C) Ocena wytrzymałości charakterystycznej betonu w istniejącej konstrukcji
Nie dysponujemy wynikami badań próbek lub też wyniki te uważamy za

niewiarygodne

(np. na skutek różnicy w warunkach dojrzewania betonu w

próbkach i w konstrukcji, zaobserwowanych zarysowań itp.).

22

określaniu wytrzymałości na podstawie

liczby odbicia młotka udarowego

(badania nieniszczące),

określaniu wytrzymałości na podstawie pomiaru

prędkości

przechodzących przez beton fal ultradźwiękowych

.

Badania betonu w konstrukcjach mogą polegać na:

badaniu

odwierconych

z konstrukcji rdzeni (uważa się, że wyniki badań

rdzeni o średnicy 100÷150 mm i o podobnej wysokości odpowiadają
wynikom badań sześcianów o boku 150 mm),

Badanie betonu w konstrukcjach objęte jest normami serii PN-EN 12504
i Instrukcją ITB nr 194

23

5.5.3. Klasy wytrzymałości i znormalizowane cechy mechaniczne betonu

Klasyfikacja betonu opiera się na

charakterystycznej

wytrzymałości walcowej.

Klasę betonu

oznacza się literą C i następującymi po niej dwiema liczbami (np. C16/20).

Pierwsza liczba oznacza wymaganą charakterystyczną wytrzymałość (5% kwantyl)
walcową osiąganą po 28 dniach, określoną na próbkach wykonanych i pielęgnowanych
zgodnie z EN 12390 (tytuły norm EN 12390 przytoczono w punkcie dotyczącym badania
próbek), druga kostkową. Symbol f

ck

oznacza wytrzymałość charakterystyczną określoną

na walcach.

Uwaga: W wydrukowanych bezpośrednio po wejściu w życie egzemplarzach normy polskiej z 2002 r. klasy są
oznaczone literą B i liczbą związaną z wytrzymałością kostkową, zwaną wytrzymałością gwarantowaną (np.
B20 według PN oznacza tę samą klasę co C16/20 według norm europejskich).

W tablicy 5.5.3.1 zestawiono określone w normie wartości wytrzymałości średniej
na ściskanie (f

cm

) i na rozciąganie (f

ctm

). Tablica zawiera także wartosci dolnego

(zwanego wytrzymałością charakterystyczną na rozciąganie i oznaczanego także
przez f

ctk

) i górnego kwantyla wytrzymałości na rozciąganie

24

Klasa

betonu

f

cm

MPa

f

ctm

MPa

f

ctk,0,05

MPa

f

ctk,0,95

MPa

E

cm

GPa

ε

c1

‰

ε

cu1

‰

ε

c2

‰

ε

cu2

ε

cu3

‰

n

ε

c3

‰

C12/15

20

1,6

1,1

2,0

27

1,8

3,5

2,0

3,5

2,0

1,75

C16/20

24

1,9

1,3

2,5

29

1,9

C20/25

28

2,2

1,5

2,9

30

2,0

C25/30

33

2,6

1,8

3,3

31

2,1

C30/37

38

2,9

2,0

3,8

33

2,2

C35/45

43

3,2

2,2

4,2

34

2,25

C40/50

48

3,5

2,5

4,6

35

2,3

C45/55

53

3,8

2,7

4,9

36

2,4

C50/60

58

4,1

2,9

5,3

37

2,45

C55/67

63

4,2

3,0

5,5

38

2,5

3,2

2,2

3,1

1,75

1,8

C60/75

68

4,4

3,1

5,7

39

2,6

3,0

2,3

2,9

1,6

1,9

C70/85

78

4,6

3,2

6,0

41

2,7

2,8

2,4

2,7

1,45

2,0

C80/95

88

4,8

3,4

6,3

42

2,8

2,8

2,5

2,6

1,4

2,2

C90/105

98

5,0

3,5

6,6

44

2,9

2,8

2,6

2,6

1,4

2,3

Tablica 5.5.3.1. Cechy mechaniczne betonu w zależności od klasy wytrzymałości

25

a wytrzymałości na

rozciąganie

ze wzorów

Średnią

(walcową) wytrzymałość na ściskanie można według normy wyznaczać ze

wzoru

8

+

=

ck

cm

f

f

3

2

30

0

ck

ctm

f

,

f

=

ctm

ctk

f

,

f

70

0

=

MPa,

Jeżeli wytrzymałość na rozciąganie wyznaczono przez rozłupywanie (indeks
„sp”), to zarówno do wytrzymałości średniej jak i do charakterystycznej można
stosować zależność

f

ct

= 0,9 f

ct,sp

Moduł sprężystości

betonu silnie zależy od jego składu (szczególnie od rodzaju

kruszywa) i dlatego wartości podane w tablicy 5.5.3.1, jednoznacznie
przyporządkowane klasom wytrzymałości, dają jedynie wskazówki właściwe w
powszechnych zastosowaniach. Jeżeli konstrukcja jest wrażliwa na odchylenia od
założonej wartości modułu sprężystości, to należy ten moduł wyznaczyć
eksperymentalnie

26

Wartości w tablicy reprezentują moduł sprężystości wyznaczony jako tangens kąta
nachylenia siecznej wykresu naprężenie – odkształcenie, poprowadzonej przez
początek układu współrzędnych i przez punkt w którym naprężnie wynosi 0,4f

cm.

Wartości te są odpowiednie dla betonu z kruszywem kwarcytowym. Dla kruszyw
wapiennych należy je zmniejszyć o 10%, a dla piaskowych o 30%. Dla kruszyw
bazaltowych wartości modułu należy zwiększyć o 20%.

Można przyjmować, że współczynnik Poissona betonu niezarysowanego wynosi
0,2. Po zarysowaniu współczynnik ten (reprezentujący teraz uśrednione cechy
żelbetu) spada i można przyjąć, że jest równy zeru.

Można przyjmować (jeśli nie ma potrzeby szczególnie dokładnej analizy zjawisk
termicznych), że współczynnik

rozszerzalności termicznej

betonu wynosi 0,00001 K

-1

27

5.6. Wytrzymałość obliczeniowa f

cd

(d - design)

c

ck

cc

cd

f

f

γ

α

=

W obliczeniach dotyczących stanu granicznego nośności stosuje się

obliczeniową

wartość wytrzymałości betonu na ściskanie

(design value of concrete compressive

strength) - krócej – wytrzymałość obliczeniową betonu.

c

ctk

cc

ctd

f

f

γ

α

05

,

0

,

=

Wytrzymałość obliczeniowa na ściskanie

Wytrzymałość obliczeniowa na rozciąganie

Współczynnik częściowy do betonu γ

C

w normie europejskiej jest równy 1,5.

PKN ustalił w Załączniku krajowym, że

w Eurokodzie stosowanym jako norma

polska γ

C

= 1,4.

W Załączniku A do Eurokodu określono warunki, w których można zmniejszyć
współczynnik γ

C .

Zmniejszenie jest możliwe, gdy współczynnik zmienności

wytrzymałości betonu nie przekracza 10%, a w obliczeniach uwzględnia się
niekorzystne odchyłki wymiarów konstrukcji albo stosuje się wymiary pomierzone
w gotowej konstrukcji (szczegóły w Załączniku A).

W obliczeniach nośności pali betonowanych in situ bez stałej obudowy należy
stosować współczynnik γ

C

pomnożyć przez 1,1.

28

tan

α

= E

cm

σ

c

ε

c1

ε

cu1

ε

c

f

cm

0,4f

cm

α

Jeżeli f

ck

≤ 50 MPa, to

przyjmuje się, że odkształcenie
graniczne (ultimate) ε

cu1

jest

równe 3,5‰ (3,5 promila).

Odkształcenia graniczne
betonów f

ck

> 50 MPa są

mniejsze.

Zależność naprężenie-odkształcenie „do analizy
konstrukcji” (np. MES) – wykres nr 1

Kształt wykresu σ

c

- ε

c

zależy od czterech stałych: f

cm

, E

cm

, ε

c1

i ε

cu1

(wartości

stałych w tablicy 5.5.3.1)

5.7. Zależność naprężenie – odkształcenie przy obciążeniu krótkotrwałym

(

)

cm

c

f

k

k

η

η

η

σ

2

1

2

−

+

−

=

1

c

c

ε

ε

η

=

cm

c

cm

f

E

,

k

1

1

1

ε

=

29

Odkształcenie trwałe

σ

c

ε

c

Obciążenie wielokrotne

Zależności

σ

σσ

σ

c

-

εεεε

c

przy naprężeniach od obciążeń w SGU

ε

c

σ

c

W projektach zwykle oblicza się naprężenia i odkształcenia przy obciążeniach
znacznie mniejszych od obciążeń granicznych

Liniowa sprężystość,
obliczanie naprężeń i ugięć

30

f

cd

ε

c2

0,0035

ε

c

σ

c

0,0020

ε

cu2

dla f

ck

≤ 50 MPa

ε

c

f

cd

σ

c

Wykres nr 2: złożony z dwóch
prostych (sprężysto-plastyczny
(dalej nie będę o nim mówił)

Do obliczania nośności granicznej i do wymiarowania można zastosować
każdą z trzech poniższych możliwości (tu narodowe komitety normalizacyjne
mogły dokonać wyboru). Polski Komitet pozostawił tekst EC2 bez żadnych
zmian i ograniczeń – mamy zatem trzy możliwości.

Wykres nr 1: paraboliczno-prostokątny

Możliwość 1

Możliwość 2

Pochodna funkcji σ

c

(ε

c

) w zerze jest równa 1000f

cd

,

a więc nie przybliża dobrze modułu sprężystości -
wykres stosuje się tylko do obliczeń nośności

(

)

cd

c

c

c

f

ε

ε

σ

250

1

1000

−

=

Parabola:

31

f

ck

= 60

f

ck

= 90

σ

c

[MPa]

1,0

2,0

3,0

3,5‰

f

ck

= 30 MPa

f

ck

= 50

f

ck

= 55

f

ck

= 80

f

ck

= 70

ε

c



























−

−

=

n

c

c

cd

c

f

2

1

1

ε

ε

σ

Równanie krzywoliniowej części wykresu

Dla f

ck

≤ 50 MPa

przyjmuje się n = 2 oraz
odkształcenia graniczne
ε

c2

= 2‰,

ε

cu2

=3,5‰

Jeżeli f

ck

> 50 MPa, to

przyjmuje się n < 2,
ε

c2

większe od 2‰,

ε

cu2

mniejsze od 3,5‰

32

Można przyjmować, że

wykres naprężeń w strefie ściskanej jest prostokątny

, a

naprężenie graniczne równe ηf

cd

. Zasięg strefy, w której panują naprężenia

ściskające jest mniejszy niż zasięg strefy, w której beton podlega skróceniu.

MPa

50

dla

8

,

0

≤

=

ck

f

λ

MPa

90

50

dla

200

50

8

,

0

≤

<

−

−

=

ck

ck

f

f

λ

MPa

50

dla

0

,

1

≤

=

ck

f

η

MPa

90

50

dla

200

50

0

,

1

≤

<

−

−

=

ck

ck

f

f

η

F

c

z = d – 0,5λx

ηf

cd

ε

cu3

b

d

x

A

s1

λx

F

s

F

c

– wypadkowa naprężeń w betonie

F

s

– siła w zbrojeniu

Prostokątny wykres naprężeń w betonie

Uwaga. Jeżeli szerokość strefy ściskanej zmniejsza się w kierunku skrajnego
włókna ściskanego, to wartość ηf

cd

należy zmniejszyć o 10%

Możliwość 3

33

Wytrzymałość na ściskanie w wieku t zależy od rodzaju cementu, temperatury i
warunków pielęgnacji.
Przy

średniej temperaturze 20°C i pielęgnacji zgodnej z EN 12390

średnią

wytrzymałość betonu w zależności od wieku f

cm

(t) można oszacować za pomocą

wzorów

f

cm

średnia wytrzymałość na ściskanie po 28 dniach (f

ck

+ 8 MPa),

t

wiek betonu w dniach,

s

współczynnik zależny od klasy cementu































−

=

t

s

t

cc

28

1

exp

)

(

β

f

cm

(t) =

β

cc

(t) f

cm

β

cc

(t)

t (dni)

3 14

28

90

1,0

0,5

s = 0,25

Przy t → ∞ wsp. β

cc

dąży do 1,22 (dla s = 0,20); 1,28 (dla s = 0,25); 1,46 (dla s = 0,38)

5.8. Wpływ wieku na wytrzymałość i moduł sprężystości betonu

34

Wartości współczynnika s

s = 0,20 dla cementów klas wytrzymałości CEM 42,5R, CEM 52,5N

oraz CEM 52,5R (klasa R),

s = 0,25 dla cementów klas wytrzymałości CEM 32,5R, CEM 42,5 (klasa N),
s = 0,38 dla cementów klasy wytrzymałości CEM 32,5 N (klasa S).

Wczesna wytrzymałość

betonu ma znaczenie przy określaniu terminów usunięcia

deskowania konstrukcji. Istotny wpływ na

wytrzymałość

i

stan konstrukcji

po

stwardnieniu betonu mają warunki

pielęgnacji

.

Orientacyjne

terminy rozformowania:

2 dni - części deskowania nie przenoszące obciążeń
5 dni - deskowanie stropów
10 dni - części deskowania przenoszące bezpośrednio obciążenia, jak np. dolne
deskowania belek i płyt.

Jeżeli beton nie spełnia podanych w specyfikacji wymagań dotyczących
wytrzymałości po 28 dniach, to stosowanie wzorów uzależniających wytrzymałość
od wieku do udowodnienia, że beton może spełnić wymagania w wyniku

późniejszego przyrostu nie jest właściwe

.

35

Zależny od czasu przyrost wytrzymałości na rozciąganie silnie zależy od
warunków pielęgnacji i wysychania jak również od wymiarów elementów
konstrukcyjnych. Jako pierwsze przybliżenie można przyjąć, że wytrzymałość na
rozciąganie f

ctm

(t) jest równa

f

ctm

(t) = (

β

cc

(t))

α

f

ctm

.

W powyższym wzorze

β

cc

(t) oblicza się jak przy ściskaniu, a

α

= 1

dla t < 28,

α

= 2/3 dla t ≥ 28.

Uwaga: Jeśli przyrost w czasie wytrzymałości na rozciąganie jest istotny, to zaleca
się przeprowadzenie badań, w których należy wziąć pod uwagę warunki ekspozycji i
wymiary elementu konstrukcyjnego.

Jeżeli element jest poddany

obróbce cieplnej

, to wytrzymałość betonu w funkcji

wieku można obliczyć według zasad podanych w rozdziale normy dotyczącym
konstrukcji prefabrykowanych

..

Moduł sprężystości w zależności od wieku betonu można określać ze wzoru

cm

cm

cm

cm

E

f

t

f

t

E

3

,

0

)

(

)

(













=

w którym E

cm

(t) i f

cm

(t) są wartościami modułu w wieku t dni, a E

cm

i f

cm

są

wartościami określonymi w wieku 28 dni.

36

5.9. Hipotezy wytężeniowe i beton skrępowany

Ogólnie hipotezy wytężenia najczęściej opisuje się definiując powierzchnię graniczną
w przestrzeni naprężeń głównych - zastosowania przede wszystkim w algorytmach
MES służących do "realistycznych" analiz elementów i konstrukcji z betonu.
Zagadnienie to ma bardzo obszerne piśmiennictwo - w tym polskie. W tych wykładach
nie będzie się go rozpatrywać.

Wytrzymałość przy dwuosiowym ściskaniu jest większa niż przy ściskaniu
jednoosiowym, ale różnica ta nie ma zasadniczego praktycznego znaczenia.

c

f

1

σ

c

f

2

σ

σ

1

> 0

σ

2

> 0

σ

3

= 0

37

Skrępowanie betonu

gęsto rozmieszczonym zbrojeniem poprzecznym ma wpływ

nie tylko na wytrzymałość betonu (w związku z hipotezami wytężenia), ale także na
współpracę zbrojenia z betonem (polepsza warunki przyczepności zbrojenia
podłużnego, zwłaszcza w silnie zbrojonych elementach). .

Uzwojenie,
gęste strzemiona,
rura

Praktyczne znaczenie może mieć wytrzymałość przy

trójosiowym ściskaniu

w

elementach, w których gęste zbrojenie poprzeczne (np. uzwojenie w słupach)
ogranicza poprzeczne odkształcenia betonu (confined concrete – beton
skrępowany – podstawowe zależności w p. 3.1.9 Eurokodu 2).

38

A - beton nieskrępowany

W punkcie „Beton skrępowany” EC2 zawiera wzory pozwalające na
uwzględnienie

zwiększenia wytrzymałości i odkształcalności betonu

, który nie ma

swobody odkształceń w kierunku prostopadłym do największego ściskania (np.
ma silne zbrojenie poprzeczne). Niestety, wzory te uzależniają wytrzymałość
betonu skrępowanego od naprężeń poprzecznych, a norma nie podaje, jak te
naprężenia obliczyć. Wzorów do obliczania słupów uzwojonych w EC2 nie ma.